Практическое занятие 5. Прямая и плоскость

Вопросы для повторения

• 1. Общее уравнение прямой.
• 2. Понятие направляющего и нормального вектора прямой.
• 3. Каноническое уравнение прямой.
• 4. Векторное параметрическое уравнение прямой.
• 5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
• 6. Расчет угла между прямыми.
• 7. Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.
• 8. Понятие поверхностиго порядка.
• 9. Общее уравнение плоскости.
• 10. Понятие нормального вектора плоскости.
• 11. Уравнение плоскости в отрезках.
• 12. Нормальное уравнение плоскости.
• 13. Вычисление отклонения точки от плоскости.

Задача 39.

Определить площадь треугольника, образованного прямой с осями координат.

Ответ: 20 кв.ед.

Задача 40.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

Указание:

Использовать уравнение и формулу .

Ответ: или .

Задача 41.

Прибыль от продажи 50 шт. товара составляет 50 ден. ед., 100 шт. — 200 ден. ед. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара, при условии, что функция прибыли линейна.

Ответ: 1400 ден. ед.

Задача 42.

Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью угол .

Ответ: .

Задача 43.

Показать, что прямые и перпендикулярны.

Решение:

Преобразуем уравнения прямых и, т. е. и. Поскольку то прямые перпендикулярны.

Задача 44.

Написать уравнение прямых, проходящих через точку под углом к прямой .

Ответ: и .

Задача 45.

Показать, что прямые и пересекаются, и найти координаты точки пересечения.

Решение:

Так как, т. е., то прямые пересекаются. В результате решения системы уравнений.

находятся координаты точки пересечения, .

Задача 46.

Издержки перевозки двумя средствами транспорта выражаются функциями и, где — расстояние перевозки в сотнях километров, а — транспортные расходы в денежных единицах. Определить, начиная с какого расстояния, более выгодным становится второе средство.

Ответ: .

Задача 47.

Определить расстояние от точки до прямой .

Решение:

.

Задача 48.

Стороны треугольника описываются уравнениями (AB); (BC); (AC). Найти длину высоты, проведенной из вершины B.

Ответ: .

Задача 49.

Определить расстояние между параллельными прямыми и .

Ответ: .

Задача 50.

Составить уравнение плоскости, походящей через точку и перпендикулярной вектору .

Ответ:

Задача 51.

Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и .

Ответ: