Разработка системы управления технологическим сегментом сети

Курсовая работа

по дисциплине Теория управления нелинейными системами на тему Анализ и синтез цифровой нелинейной системы управления с переменной структурой

• Введение
• 1. Изучение свойств управляемого объекта
• 1.1 Общие сведения об управляемом объекте
• 1.2 Исследование свойств управляемого объекта
• 1.2.1 Исходные данные:
• 1.2.2 Модель управляемого объекта в виде уравнений
• 1.2.3 Модель управляемого объекта в пространстве состояний
• 1.2.4 Исследование свойств управляемых объектов при подаче типовых воздействий
• 1.2.5 ЛЧХ системы
• 2. Обоснование выбора структуры системы управления
• 2.1 Постановка задачи
• 2.2 Исследование системы управления с пропорциональным регулятором
• 2.3 Исследование системы управления с пропорционально-дифференциальным регулятором
• 2.4 Оценка влияния нелинейного элемента на свойства линейной системы
• 3. Построение систем с переменной структурой
• 3.1 Основные виды СПС
• 3.2 Система с переменной структурой с устойчивым вырожденным движением
• 3.3 Система с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения
• 3.4 Система с переменной структурой со скользящим режимом движения
• 4. Синтез СПС со скользящим режимом методами фазового пространства
• 4.1 Синтез управляющего устройства СПС третьего порядка без учета нелинейности
• 4.2 Учет ограничений управляющего воздействия в СПС
• 5. Синтез нелинейной СПС при больших отклонениях от равновесного состояния
• 5.1 Анализ и синтез релейной системы
• 5.2 Исследование свойств спроектированной нелинейной СПС
• 5.3 Редуцирование системы третьего порядка до системы второго порядка
• 6. Дискретизация непрерывной модели СПС
• 6.1 Состав, структура и особенности цифровых систем управления
• 6.2 Выбор разрядности АЦП
• 6.3 Расчет периода квантования для цифровой системы по условиям ее устойчивости
• Заключение
• Список литературы

Успешное решение задач автоматизации в настоящее время тесным образом связано с использованием современных технологий теоретических и практических разработок автоматических систем управления.

Синтез структуры и определение параметров управляющего устройства выполняются в определенной последовательности по классической схеме. Вначале исследуются свойства управляемого объекта по его характеристикам. Структура и параметры объекта при этом считаются известными, процессы в объекте описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейность объекта вызвана нелинейностью одного из устройств с типовой нелинейной характеристикой. Определение требуемой структуры управляющего устройства ведется путем итераций от самых простых решений до сложных структур на основе требований технического задания. Вначале исследуются возможности системы регулирования с пропорциональным и пропорционально — дифференциальным регуляторами. Показывается, какие требования технического задания могут быть удовлетворены с помощью указанных структур управляющего устройства. Известно, что с помощью линейных регуляторов можно получить требуемое качество переходной характеристики по форме, однако при этом можно потерять другие качества системы, такое как быстродействие. Из теории линейных систем известно, что монотонный характер переходной характеристики можно получить при плохом быстродействии системы управления. В тоже время при применении нелинейных структур управляющих устройств, в частности, систем с переменной структурой, эти противоречия можно успешно разрешить. В связи с этим обстоятельством основное внимание в работе уделено вопросам синтеза одной из наиболее распространенных разновидностей систем с переменной структурой, а именно: системы со скользящим режимом движения.

При синтезе систем с переменной структурой со скользящим режимом движения решаются основные теоретические вопросы — выясняются условия существования скользящих режимов, условия устойчивости скользящих режимов при больших и малых начальных отклонениях. Существенные коррективы в структуру управляющего устройства системы вносит наличие в составе системы нелинейного элемента.

В качестве примера в работе рассмотрен синтез системы с переменной структурой при наличии в системе нелинейного элемента вида насыщение, это обстоятельство значительно усложняет теоретические разработки, так как при больших начальных отклонениях система управления становится релейной. Исследование релейных систем приводится для любых видов релейных характеристик, так как в разрабатываемой системе могут быть нелинейности с разнообразными характеристиками. Для исследования релейных систем высокого порядка на фазовой плоскости используется редуцирование или понижение порядка дифференциального уравнения. Из известных методов редуцирования приводится один, а именно, редуцирование путем приведения исходной системы к каноническому виду.

В последнем разделе курсовой работы рассмотрены вопросы, связанные с реализацией управляющего устройства на цифровой элементной базе. Цифровая система имеет свои специфические особенности, которые необходимо учесть при синтезе цифрового управляющего устройства. Показан выбор периода квантования непрерывных сигналов для обеспечения устойчивости разрабатываемой системы.

1. Изучение свойств управляемого объекта

1.1 Общие сведения об управляемом объекте

Управляемый объект-это техническое средство, предназначенное для замены труда

человека в технологических операциях. Функционирование управляемого объекта происходит в соответствии с физическими законами, которые были положены в основу его создания. Функционирование управляемого объекта означает, что в нем протекают технические процессы, ход которых оценивается изменением во времени физических величин. Состояние управляемого объекта определяется значениями этих величин в каждый момент времени, которые называются переменными состояния. Та часть переменных состояния, которая доступна наблюдению или измерению, называется выходными координатами управляемого объекта. Измеряемыми выходными координатами называются те физические величины, значения которых можно определить путем измерения с помощью измерительных преобразователей. Наблюдаемыми считаются те выходные координаты, значения которых можно вычислить по значениям измеряемых выходных координат по известным соотношениям между ними в силу физических законов.

Так как управляемый объект предназначен для выполнения определенных технологических операций, то для правильного функционирования объекта ход технического процесса в нем должен быть подчинен определенной совокупности правил и предписаний. Эта совокупность правил и предписаний, ведущая к правильному ходу технического процесса в управляемом объекте, называется алгоритмом его функционирования .Для обеспечения правильности хода технического процесса в управляемом объекте его состояние должно изменяться. Изменение состояния управляемого объекта происходит под действием на него физических величин, способных вызвать это изменение, и которые бывают двух видов — управляющие воздействия и возмущения. Управляющие воздействия — это специально организованные воздействия извне для наилучшего достижения алгоритма функционирования управляемого объекта. Для осуществления управляющих воздействий в управляемом объекте при его создании предусматриваются специальные функциональные устройства — управляющие органы. Управляющие воздействия подаются непосредственно на управляющие органы управляемого объекта. Поэтому точки приложения управляющих воздействий известны и эти точки принято называть входами управляемого объекта. Изменение состояния управляющих органов приводит к изменению состояния всего управляемого объекта. Характерной особенностью взаимодействия управляющих органов с управляемым объектом является то, что энергия, необходимая для изменения состояния управляющих органов, гораздо меньше энергии, возникающей в управляемом объекте при изменении его состояния под действием управляющих воздействий. Возмущения препятствуют нормальному ходу технического процесса в управляемом объекте и бывают двух видов — нагрузка и помехи. Нагрузка оказывает влияние на состояние управляемого объекта в силу физических законов, на которых основано его функционирование. Помехи характеризуют влияние окружающей среды на состояние управляемого объекта. Точки приложения возмущений обычно заранее неизвестны. На рис. 1 показан некоторый управляемый объект УО, имеющий органы управления ОУ и выходные координаты, на входы которого подаются управляющие воздействия и на который действуют возмущения :

Между указанными физическими величинами при функционировании объекта существует связь, которую можно записать следующим образом:

где под, А следует понимать оператор для динамических объектов или функцию для объектов статических. И в том, и в другом случаях, А учитывает свойства объекта.

Рис. 1 Условное обозначение управляемого объекта

Другими словами, в первом случае связь между выходными координатами, управляющими воздействиями и возмущениями описывается интегро-дифференциальными уравнениями, а во второмалгебраическими. Для правильного функционирования управляемого объекта необходимо, чтобы выходные координаты управляемого объекта изменялись в соответствии с заданным алгоритмом его функционирования. Алгоритм функционирования представляет собой заданный закон изменения выходных координат, который можно записать в общем виде следующим образом:

Для систем стабилизации, а для следящих систем является заранее неизвестной функцией времени. Цель управления состоит в том, чтобы в любой момент времени

Однако это условие соответствует идеальному случаю управления, которого на практике не получить. В реальных условиях цель управления формулируется менее жестко

Как отмечалось выше, достижение цели управления осуществляется за счет формирования соответствующим образом управляющих воздействий.

1.2 Исследование свойств управляемого объекта

На этапе аналитического конструирования системы управления изучение свойств управляемого объекта выполняется по его математической модели. Модели процессов в объекте могут быть представлены в различных видах. Рассмотрим некоторые из них на примере одномерного объекта, процессы в котором описываются нелинейным дифференциальным уравнением третьего порядка.

1.2.1 Исходные данные:

Математическая модель управляемого объекта, представленная в виде структурной схемы:

Рис. 1а Математическая модель управляемого объекта, представленная в виде структурной схемы

1.2.2 Модель управляемого объекта в виде уравнений

Для составления дифференциального уравнения объекта воспользуемся его операторной записью, которую получим из структурной схемы:

Дифференциальные уравнения для этих двух случаев последовательно можно получить следующим образом

[p (400p²+8p+1)]x=2u, если |u| < 0.8,

[p (400p²+8p+1)]x=1,6 sign (u), если |u| > 0.8,

или

400(d³x/dt³)+8(d²x/dt²)+ (dx/dt) = 2u, если |u| < 0.8,

400(d³x/dt³)+8(d²x/dt²)+ (dx/dt) = 1,6sign (u), если |u| > 0.8.

1.2.3 Модель управляемого объекта в пространстве состояний

Переход к модели в пространстве состояний осуществляется по известному алгоритму. Переменными состояния принимаются выходная координата и её производные. Последовательно выполняя замены, приняв, запишем систему уравнений в пространстве состояний:

(dx₁/dt) = x₂

(dx₂/dt) = x₃

(dx₃/dt) = -0.004x₂-0.4x₃+0.067u, если |u| < 0.8

И (dx₁/dt) = x₂

(dx₂/dt) = x₃

(dx₃/dt) = -0.004x₂-0.4x₃+0.06sign (u), если |u| > 0.8

1.2.4 Исследование свойств управляемых объектов при подаче типовых воздействий

а) Ступенчатый сигнал

Переходная характеристика объекта получится, если на вход подать ступенчатый сигнал Для построения переходной характеристики воспользуемся графическим редактором «Simulink «из приложения к пакету «MatLab».

Рис. 2а Структурная схема управляемого объекта (без нелинейного элемента)

Рис. 2б Структурная схема управляемого объекта (с нелинейным элементом).

Построим переходную характеристику. Для построения переходной характеристики воспользуемся приложением пакета MatLab — графическим редактором Simulink.

Рис. 3 График переходной характеристики управляемого объекта по выходной координате (с нелинейным элемента и без него)

Как и следовало ожидать, при подаче на вход ступенчатого воздействия выходная координата теоретически неограниченно растет, в схеме с нелинейным элементом этот рост происходит медленнее.

Установившееся значение скорости в схеме без нелинейного элемента — примерно 30 ед/секдостигается примерно за 1250 с. С нелинейным элементомустановившееся значение скорости — примерно 27 ед/секдостигается также примерно за 1250 с.

Рис. 4 График переходной характеристики управляемого объекта по скорости (с нелинейным элементом и без него)

б) Синусоидальный сигнал

Схемы управляемого объекта с нелинейным элементом и без него повторяют схемы на рис. 2а и рис. 2б, за исключением блока входного воздействия.

Рис. 5 Реакция системы на синусоидальное воздействие (с нелинейным элементом и без)

Как видно по графику на рис. 6 выходная координата в схеме с нелинейным элементом неограниченно растет, в то время как без оного принимает установившееся значение.

1.2.5 ЛЧХ системы

>> tf ([2],[400,8,1])

Transfer function:

————————;

400 s² + 8 s + 1

bode (s)

margin (s)

Рис. 6 ЛЧХ системы

По полученным графикам определяется частота среза объекта, значение которой влияет на выбор периода квантования в цифровой системе. В нашем случае частота среза равна

щ_c = 2,76 рад/сек

2.Обоснование выбора структуры системы управления

2.1 Постановка задачи

Как известно, автоматическая система управления представляет собой совокупность

управляемого объекта и автоматического управляющего устройства, взаимодействующих между собой.

Рис. 7. Обобщенная структура САУ

Взаимодействие УО и АУУ определяется структурой управляющего устройства. Выбор структуры управляющего устройства осуществляется на этапе аналитического конструирования и представляет собой итерационную процедуру с рассмотрением нескольких возможных вариантов решения задачи. Обычно итерации начинаются с рассмотрения простейшего варианта структуры управляющего устройства, выбор которого осуществляется на основании известной информации о свойствах управляемого объекта, алгоритме его функционирования, требованиях технического задания к качественным показателям системы управления, таких как точность, быстродействие и т. д. Обычно первым вопросом при определении начальной структуры управляющего устройства является выбор принципа управления. Известны три принципа управления — разомкнутого, замкнутого и компенсации возмущений. При выборе принципа управления следует руководствоваться их известными преимуществами и недостатками с тем, чтобы обеспечить выполнение алгоритма функционирования в соответствии с требованиями технического задания. Для наиболее распространенных алгоритмов функционирования систем стабилизации, программного управления и слежения — при высокой заданной точности управления и неопределенном точно характере внешних возмущений наиболее разумно выбрать замкнутый принцип управления в его простейшей реализации в виде отрицательной обратной связи. В этом случае управляющее воздействие формируется в виде функции

где — неубывающая функция отклонения, его производных и интеграла, причём

определяется заданным алгоритмом функционирования системы и представляет собой известную функцию времени, в частности, для систем стабилизации Указанный выше способ формирования управляющего воздействия соответствует частному случаю управления, который называется регулированием, а управляющее устройство в этом случае называется регулятором. В качестве первого приближения можно выбрать пропорциональный регулятор, в котором управляющее воздействие формируется в виде, где — коэффициент передачи регулятора, который можно изменять для достижения наилучшего качества управления в рамках выбранной структуры. Вопрос об изменении структуры регулятора обычно решается после анализа полученных результатов с данным регулятором.

2.2 Исследование системы управления с пропорциональным регулятором

Составим структурную схему системы управления для заданного управляемого объекта при пропорциональном регулировании:

Рис. 8 Структурная схема управляемого объекта при пропорциональном регулировании

Оценим собственные свойства системы регулирования при выбранной структуре управляющего устройства. Для этого исследуем свободное движение в замкнутой системе, считая, что это движение вызвано некоторым начальным отклонением и не зависит от входного воздействия, как задающего, так и возмущения

Исследуем динамические характеристики системы, прежде всего, устойчивость, и возможности их изменения за счет варьирования параметров регулятора, в нашем случае — изменением коэффициента передачи регулятора k.

Определим предельное значение k по критерию Гурвица, при котором линейная система будет находиться на границе устойчивости.

ПФ замкнутой линейной системы:

400(dx³/dt³)+8(dx²/dt²)+dx/dt = 2u, если |u| < 0.8,

т. к =400>0 то все коэффициенты должны быть положительными.

?₁ = = 8 > 0

?₂ = = 8 — 800k = 0

Соответственно, k = 0.01

Рис. 10 Переходные характеристики в устойчивой и неустойчивой системах

Данные переходные характеристики системы, построены с использованием функций, которые ввели в командном окне пакета MatLab:

plot (tout, x1)

hold on

plot (tout, x1)

Оценим переходные характеристики системы при различных значениях к: k=0.0001;0.001;0.008 для устойчивых режимов работы.

Рис. 9 График переходных характеристик системы при различных значениях k для устойчивого режима работы без нелинейного элемента

Рис. 10 График переходных характеристик системы при различных значениях k для неустойчивого режима работы

2.3 Исследование системы управления с пропорционально-дифференциальным регулятором

Так как к быстродействию системы предъявлены определенные требования, то очевидно, что в рамках пропорционального регулятора эту задачу не решить. Для повышения быстродействия необходимо увеличивать коэффициент передачи системы, что ведет в свою очередь к её неустойчивости (см. рис. 10). Неустойчивая система не может рассматриваться в качестве рабочего проекта как система неработоспособная. Задачу повышения быстродействия при сохранении устойчивости можно попытаться решить за счёт изменения структуры регулятора: перейти к пропорционально-дифференциальному регулятору.

Рис. 11. Структурная схема управляемого объекта при пропорционально регулировании

Рассмотрим возможности пропорционально-дифференцильного регулятора при решении задачи перехода в установившееся равновесное состояние за минимально возможное время при удовлетворении требований технического задания по другим показателям качества.

При законе управления:

u = k₁x + k₂(dx/dt).

Уравнения свободного движения относительно ошибки запишутся следующим образом:

400(в³ч.ве³) + 8(в²ч.ве²) + (вч.ве)(1 + 2л₂) + 2л₁ч = 0б если /г/ Б 0ю8

и

400(в³ч.ве³) + 8(в²ч.ве²) + (вч.ве) = 1б6ышпт ((вч.ве)(1 + 2л₂) + 2л₁ч)б если /г/ Ю 0ю8

Определим границы изменения коэффициентов по критерию Гурвица из условия устойчивости системы в пределах линейной зоны звена с насыщением:

Определим границы изменения коэффициентов по критерию Гурвица из условия устойчивости системы в пределах линейной зоны звена с насыщением:

?₂=-|-8−2k_1-|-8(2k₂+1)-800 k₁ > 0

-|-400-(2k₂+1)-|;

k₂ = 50k₁ -0,5

Выбираем k₂ из соображений:

е = (1/(1+k₂))100% => k₂? 100/е — 1 = 199

где 0,5 — точность поддержания выходной координаты в установившемся режиме.

1. k1 = 3k₂ = 149,5

2 .k₁ = 5 k₂ = 249,5

3. k₁ = 7 k₂ = 349,5

4. k₁ = 9 k₂ = 449,5

Оценим переходные характеристики системы при различных значениях k1 и k₂:

Рис. 12 Переходные процессы с системе с ПД-регулятором

2.4 Оценка влияния нелинейного элемента на свойства линейной системы

Влияние нелинейного элемента на свойства линейной системы оценим по результатам моделирования процессов в исследуемой системе с ПДрегулятором.

На рис. 14 показаны графики изменения выходной координаты в установившемся режиме для систем с нелинейным элементом и без него.

Рис. 13 Структурная схема управляемого объекта (со звеном насыщения и без него) с ПД — регулятором

Рис. 14 Переходные характеристики системы с и без НЭ — влияние нелинейного элемента на качество линейной системы

переменный скользящий релейный дискретизация

3. Построение систем с переменной структурой

3.1 Основные виды СПС

Одним из методов аналитического конструирования СПС является метод фазового пространства. Поэтому рассмотрим некоторые особенности фазового пространства линейных структур и некоторые идеи, положенные в основу построения СПС.

Пусть линейная система описывается линейным дифференциальным уравнением:

где — ошибка или отклонение в системе с обратной связью.

Исследуем вопрос об устойчивости различных движений в системе в фазовом пространстве

гдефазовые координаты системы, причём

.

Есликорни характеристического уравнения, то для каждой фазовой координаты можно записать

Система будет устойчивой, если вещественные части всех корней отрицательны, а фазовые траектории стягиваются к началу координат.

Отметим существенную особенность линейной структуры, неустойчивость в которой вызвана тем, что один из корней характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть —. Если при этом

то в фазовом пространстве системы существует совокупность устойчивых траекторий, по которым изображающая точка асимптотически приближается к началу координат.

Действительно, если начальные условия таковы, что постоянная интегрирования, то

Если, то все фазовые координаты являются линейно зависимыми, что означает, что можно подобрать такие числа, что

Это уравнение задает в фазовом пространстве некоторую гиперповерхность S.

Следовательно, совокупность устойчивых траекторий линейной структуры, в случае, если характеристическое уравнение имеет один положительный корень, образует гиперповерхность в фазовом пространстве системы.

Поясним указанные особенности такой линейной структуры на примере уравнений второго порядка. Для анализа возьмем уравнения, описывающие изменение скорости в ранее рассмотренном управляемом объекте при условии, что в качестве управляющего устройства применяется пропорционально — дифференциальный регулятор.

Уравнения для рассогласования в этом случае запишутся без учёта нелинейного элемента следующим образом:

400(в²ч.ве²) + (8 + 2л₂) (вч.ве) + (1 + 2л₁)ч = 0б

или

(в²ч.ве²) + (0ю02 + 0ю005л₂)(вч.ве) + (0ю0025 + 0ю005л₁)ч = 0

Рассчитаем и в уравнении вида:

л² + (0.02 + 0.005k₂)л + (0.0025 + 0.005k₁) = 0

Для получения фазовой траектории типа «седло» необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были вещественными, но разных знаков.

л² + (0.02 + 0.005k₂)л + (0.0025 + 0.005k₁) = 0

Для того, чтобы корни характеристического уравнения были вещественными и имели разные знаки, необходимо, чтобы выполнялись условия:

Из первого неравенства получаем:

Из второго неравенства получаем:

Возьмем .

Тогда:

Тогда пусть, а корни характеристического уравнения

Движение в примере начинается с начальных значений фазовых координат:

(17;-15)

(-17; 15)

(-14,8; 17)

(14.8;-17)

Рис. 15 Структурная схема системы с устойчивым вырожденным движением

Рис. 16. Фазовые траектории вида «седло»

Решения уравнения запишутся следующим образом:

Если начальные условия для решений выбрать так, что, то или

а для нашего примера получим:

Это уравнение прямой на фазовой плоскости, наклон которой равен с учётом знака, которая проходит во втором и четвёртом квадрантах. Эта прямая и является совокупностью устойчивых фазовых траекторий для неустойчивой системы второго порядка. Если в начальный момент времени изображающая точка находится на прямой S, то она будет асимптотически приближаться к началу координат. В то же время необходимо отметить, что любые сколь угодно малые возмущения могут отклонить точку от устойчивой траектории S и в системе возникает неустойчивое движение. По этой причине движение, происходящее по траекториям, принадлежащим гиперплоскости устойчивых движений, принято называть вырожденным.

Эта особенность фазового пространства линейных систем позволяет наметить один из возможных принципов построения систем с переменной структурой.

3.2 Система с переменной структурой с устойчивым вырожденным движением

Предположим, что в нашем распоряжении имеется две, пусть даже неустойчивые линейные структуры, но в фазовом пространстве одной из них существует гиперплоскость с устойчивым вырожденным движением. Тогда следует выбрать такую последовательность изменения этих структур, чтобы, во-первых, любая траектория в фазовом пространстве Х пересекала эту гиперповерхность, и, во-вторых, в момент попадания изображающей точки на эту гиперплоскость структура системы совпадала со структурой с устойчивым вырожденным движением. Построенная таким образом система будет устойчивой для любых начальных условий.

Проиллюстрируем этот принцип на примере системы второго порядка. В качестве структуры с устойчивым вырожденным движением примем неустойчивую структуру с фазовыми траекториями типа `седло'. В качестве второй неустойчивой структуры примем структуру с фазовыми траекториями типа `неустойчивый фокус', то есть, раскручивающиеся спирали.

Для получения такой фазовой траектории необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были комплексными сопряженными с положительными вещественными частями. Такую структуру можно получить за счёт соответствующего подбора коэффициентов в регуляторе. Уравнение замкнутой системы было получено ранее:

Для того, чтобы корни характеристического уравнения

имели положительные вещественные части, необходимо, чтобы, что означает, что должно быть < -5. Знак минус перед говорит о том, что обратная связь по производной от отклонения должна быть положительной, что в свою очередь объясняется тем, что сам объект является асимптотически устойчивым.

Для получения комплексных сопряженных корней характеристического уравнения необходимо, чтобы:

При = -6, должен быть > -0.021

Возьмем, например, =20.

Тогда корни характеристического уравнения будут равны:

Рис. 17 Структурная схема системы c устойчивым вырожденным движением

Рис. 18 Фазовые траектории вида «неустойчивый фокус»

Далее возникает задача: выбрать такую последовательность изменения структур, чтобы движение было устойчивым. Решим эту задачу методом фазовой плоскости. Разобьем фазовую плоскость на две области 1 и 2, границами которых является прямая S и ось. Если состояние системы таково, что изображающая точка находится в области1, то её движение должно происходить по раскручивающимся спиралям (система должна иметь вторую структуру). В области 2 изображающая точка должна двигаться по кривым гиперболического типа (система должна иметь первую структуру). Фазовая траектория полученной СПС с вырожденным устойчивым движением изображена на Рис. 20. Из этого рисунка видно, что изображающая точка всегда попадёт на прямую S, которая является устойчивой траекторией для первой структуры. Поэтому для любых начальных условий, начиная с некоторого момента времени (момента попадания на S) возникает устойчивое движение. Однако в рассматриваемом случае движение по линии переключения отсутствует, так как инерционные силы смещают изображающую точку с этой линии, её дальнейшее движение происходит по другой фазовой траектории, но в целом движение остаётся асимптотически устойчивым фазовая траектория стягивается к началу координат.

Рис. 19 Структурная схема системы с переменной структурой с вырожденным устойчивым движением

Рис. 20 Фазовая траектория системы с переменной структурой с вырожденным устойчивым движением

Рис. 21 Переходная характеристика системы с вырожденным устойчивым движением

3.3 Система с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения

Другой способ построения системы с переменной структурой целесообразно использовать в случае, если фазовое пространство для каждой из фиксированных структур не содержит гиперплоскостей с устойчивым вырожденным движением. За счёт `сшивания' в определенной последовательности участков из неустойчивых траекторий удается получить устойчивое движение для любых начальных условий.

В качестве примера рассмотрим случай, когда в нашем распоряжении имеются две линейные структуры с незатухающими колебаниями, то есть, находящиеся на границе устойчивости.

Уравнения движения в этих системах одно и то же:

При разных значениях фазовые траектории систем будут иметь вид эллипсов с разными полуосями.

Уравнения для рассогласования без учета нелинейного элемента имеет вид:

Для получения фазовой траектории типа эллипс необходимо выполнение двух условий:

В соответствии с полученными ограничениями для первой структуры возьмем 000, а для второй 000.

При :

При :

Рис. 22 Структурная схема системы с фазовой траекторией типа «эллипс»

Рис. 23 Фазовые траектории типа «эллипс» при различных k1

Пусть в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости фазовыми траекториями изображающей точки будут участки траектории при, а во втором и четвертом квадрантах — траектории при. Переключение с одной структуры на другую должно происходить при пересечении фазовой траекторией координатных осей. Аналитически закон переключения структур запишется следующим образом:

если ,

если .

Структурная схема системы с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения с учетом рассчитанных коэффициентов приведена на рис.24

Рис. 24 Схема системы с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения

Рис. 25 Фазовая траектория системы с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения

Рис. 26 Переходная характеристика системы с переменной структурой без устойчивого вырожденного движения

3.4 Система с переменной структурой со скользящим режимом движения

Синтез СПС такого вида осуществляется на основе нескольких линейных структур, не обязательно устойчивых. В фазовом пространстве искусственно задается некоторая гиперплоскость, движение в которой обладает желаемыми свойствами, причем траектории, лежащие в этой плоскости не принадлежат ни одной из линейных структур. Последовательность изменения структур должна быть выбрана такой, чтобы изображающая точка при любых начальных условиях всегда попадала на эту плоскость, а затем двигалась (скользила) по ней. Тогда с момента попадания на эту гиперплоскость в системе будет существовать искусственное вырожденное движение, которое можно наделить рядом полезных свойств, не принадлежащих ни одной из фиксированных структур.

Для рассмотренной ранее СПС с устойчивым вырожденным движением, которое определяется уравнением

введем на фазовой плоскости линию скольжения

.

Все остальные параметры управляющего устройства оставим без изменений.

Движение в примере начинается с начальных значений фазовых координат (1,-3) по гиперболической фазовой траектории, так как начальное положение изображающей точки ниже линии вырожденного устойчивого движения S. По этой траектории изображающая точка будет двигаться до пересечения с осью, а затем она перейдет на траекторию раскручивающейся спирали до пересечения с линией скольжения, по которой происходит финальная часть движения.

Рис. 27 Структурная схема СПС со скользящим режимом движения

Переход от одной структуры к другой осуществляется в соответствии с законом переключения:

Рис. 28 Фазовая траектория СПС со скользящим режимом движения

Рис. 29 Переходная характеристика СПС со скользящим режимом движения

Таким образом, мы для СПС со скользящим режимом мы получили монотонную переходную характеристику, несмотря на то, что составными частями СПС являются неустойчивые линейные структуры.

Подводя итоги, можем отметить, что СПС может быть построена по одному из трех рассмотренных выше принципов. В большинстве случаев предпочтение отдается системам со скользящим режимом в силу их специфических свойств.

4. Синтез СПС со скользящим режимом методами фазового пространства

4.1 Синтез управляющего устройства СПС третьего порядка без учета нелинейности

Выполним синтез СПС для управляемого объекта третьего порядка с математической моделью

и

Свойства этого объекта были изучены раньше и предварительные выводы о структуре управляющего устройства для систем стабилизации и слежения были сделаны. Было установлено, что, система должна иметь замкнутую структуру, при этом в силу специфики объекта для обеспечения качественного управления эта структура должна быть переменной. На первом этапе аналитического конструирования не будем учитывать характер входных воздействий и ограничения вида насыщения, а синтезируем систему, обеспечивающую качественные показатели в свободном движении, причиной которых являются начальные возмущенияотклонения от какого-либо равновесного состояния. Основными требованиями к системе будем считать точность, характер переходного процесса, быстродействие. Конкретные значения этих показателей уточним в процессе синтеза системы.

Запишем модель управляемого объекта с учетом принятых соглашений для её дальнейшего использования в процессе синтеза. Так как при свободном движении =0, уравнения движения запишутся следующим образом:

— в виде дифференциального уравнения:

где = 0.24; = 0.0016; = 0; b = 0.048

Рассмотрим возможность положительного решения задачи синтеза при простейшей структуре СПС со скользящим движением, а именно, синтезируем СПС с управлением вида:

; ,

где — постоянные коэффициенты причем .

уравнение, задающее некоторую гиперплоскость, которая является при принятых выше соотношениях границей разрыва управляющего воздействия u.

Так как фактически структура системы определена, в результате синтеза необходимо определить параметры СПС, а именно, значения, , и, обеспечивающие требуемые показатели качества разрабатываемой системы.

Структурная схема системы представлена на рис. 30

Рис. 30 Структурная схема СПС 3го порядка

Условия существования скользящего режима для системы произвольного порядка имеют вид:

Так как наша система третьего порядка, то, а принимает значения .

Тогда с учетом параметров объекта (= 0.24; = 0.0016; = 0; b = 0.048) условия существования скользящего режима запишутся следующим образом:

При определении условий существования скользящего режима необходимо учитывать то обстоятельство, что движение в скользящем режиме может оказаться неустойчивым.

Для обеспечения устойчивого движения в скользящем режиме при управляющем воздействии вида в системах с переменной структурой рассматриваемого типа характеристическое уравнение исходной системы

при

должно иметь не более одного корня с положительной вещественной частью:

Из решения этого уравнения получаем, что оно будет иметь не более одного корня с положительной вещественной частью при и .

Рассмотрим теперь условия попадания изображающей точки на плоскость скольжения для системы третьего порядка. Уравнения движения для данного случая можно представить в виде

, — const, b>0,

причемпостоянные коэффициенты,, а прямая S = 0 является линией скольжения. Если выполнены условия существования скользящего режима для коэффициентов, то для попадания изображающей точки на плоскость скольжения S=0 необходимо и достаточно, чтобы в характеристическом уравнении системы

отсутствовали неотрицательные действительные корни.

Из решения этого уравнения получаем, что оно будет иметь отрицательные действительные корни при .

Из неравенства

можно сделать вывод, что при и. При выборе значения будем руководствоваться тем, что его значение влияет на точность и быстродействие системы — чем больше, тем точнее система и тем быстрее заканчивается переходный процесс. К тому же все параметры, которые мы рассчитаем по условиям существования скользящего режима, будут уточняться по условиям устойчивости СПС.

Пусть и, тогда определим следующим образом:

Подставим в третье уравнение и получим квадратное уравнение, решая которое определим .

По условиям существования скользящего режима, следовательно. Однако, при подстановке такого значения процесс имеет колебательный характер, что не соответствует условию задания. С увеличением процесс приобретает необходимый нам апериодический характер. Однако, слишком большие значения коэффициента приведут к большему времени регулирования, поэтому следует остановиться на

Из неравенства

следует, что. Примем .

С учетом рассчитанных параметров фазовые траектории СПС со скользящим режимом движения имеют вид, представленный на рис. 31

Рис. 31 Фазовые траектории в СПС третьего порядка при различных параметрах

На рис. 32 при тех же значениях параметров показаны переходные характеристики, полученные при начальных отклонениях (5;-5). Полученные характеристики позволяют сравнить качественные показатели СПС и обычной линейной системы.

Рис. 32 Переходные характеристики в СПС третьего порядка

Как следует из переходных характеристик СПС, переходный процесс имеет апериодический характер, при этом время переходного процесса значительно меньше. Изменяя целенаправленно параметры СПС, можно влиять на качественные показатели системы. Однако для таких изменений необходимо определить пределы изменения параметров, руководствуясь условиями устойчивости и условиями попадания изображающей точки на плоскость скольжения.

Определим запас устойчивости системы «в малом» по амплитуде и фазе, построив логарифмические частотные характеристики.

Для построения логарифмических частотных характеристик воспользуемся программой, которую нужно составить в командном окне пакета MatLab:

>> s=tf ([1],[1 1.2 0.3])

Transfer function:

————————;

s² + 1.2 s + 0.3

>> bode (s)

>> margin (s)

Полученные частотные характеристики управляемого объекта изображены на рис. 33

Рис. 33 ЛЧХ системы

Запас устойчивости по амплитуде составляет? 40[дБ]>20[дБ]

Запас устойчивости по фазе равен

Таким образом, в результате синтеза СПС со скользящим режимом без учета нелинейного элемента мы получили систему, обладающую характеристиками, соответствующими техническому заданию, а именно — характер переходного процесса апериодический с перерегулированием у = 4.6%, запас устойчивости «в малом» по амплитуде больше 20 дБ, по фазе больше 60°.

4.2 Учет ограничений управляющего воздействия в СПС

В реальных системах автоматического управления функциональные устройства, как правило, обладают нелинейными характеристиками. Можно утверждать, что практически все устройства автоматических систем являются нелинейными с кусочно-линейной характеристикой типа насыщение. Это обстоятельство объясняется тем, что во всех электрических, электронных, электромагнитных, и т. д. элементах выходной сигнал по мощности не может превышать мощности источника питания. Поэтому уровни напряжения и тока на выходе функциональных устройств не могут превышать аналогичных величин на выходе источника питания автоматической системы. Такие естественные ограничения могут существенно повлиять на качество системы, поэтому при синтезе системы необходимо учитывать наличие таких ограничений.

При больших рассогласованиях система с переменной структурой при ограничении управляющего воздействия ведет себя как релейная система. Поэтому СПС является неустойчивой, когда неустойчива соответствующая релейная система. Вид фазовых траекторий релейной системы должен соответствовать устойчивой релейной системе, при этом движение в релейной системе должно быть скользящим, сходящимся к началу координат.

На рис. 36 изображены фазовые траектории СПС со скользящим режимом.

Рис. 34 СПС третьего порядка со звеном с насыщением

Рис. 35 Фазовые траектории СПС со скользящим режимом с учетом и без учета нелинейности

Рис. 36 Переходные характеристики СПС в разных режимах работы

Как видно из приведенных графиков, при введении нелинейного элемента показатели системы значительно ухудшились. При отклонениях превышающих зону насыщения характер переходного процесса становится колебательным.

Таким образом, при больших рассогласованиях система с переменной структурой при ограничении управляющего воздействия ведет себя как релейная система, а потому будет неустойчивой, когда неустойчива соответствующая релейная система.

В этом случае целесообразно изменить линию переключения S=0, отказавшись от прямой линии. Очевидным решением в данной ситуации является построение линии переключения в виде ломаной линии, состоящей из двух участков, S=S₁+S₂. На участке, где |x₁|0 построение линии переключения S₁ ведется по рассмотренным выше правилам для СПС со скользящим режимом. На втором участке, где |x₁|>x₀, построение линии переключения S₂ должно вестись по правилам релейной системы. При этих построениях следует учитывать релейную характеристику с зоной нечувствительности. Вид фазовых траекторий релейной системы должен соответствовать устойчивой релейной системе, при этом движение в релейной системе может быть скользящим или колебательным, сходящимся к началу координат.

5. Синтез нелинейной СПС при больших отклонениях от равновесного состояния

5.1 Анализ и синтез релейной системы

Спроектированная система устойчива «в малом», но неустойчива в «большом», поэтому синтезируем релейную систему соответствующую данной при отклонениях превышающих линейную зону нелинейного звена с насыщением. Звено с насыщением в этом случае будем рассматривать как реле с зоной нечувствительности — трехпозиционное реле.

Рис. 37 Релейная система с автоколебаниями

Система состоит из линейной части с передаточной функцией

W (p)=R (p)/Q (p),

релейного элемента и пропорционально-дифференциального регулятора. Как будет показано ниже, структура и параметры регулятора существенным образом влияют свойства релейной системы, в том числе и на устойчивость, что необходимо при построении нелинейных систем с переменной структурой.

Определим с помощью моделирования параметры пропорционально-дифференциального регулятора, которые обеспечат существование автоколебательного режима. Например, при и в релейной системе (рис.37) получим автоколебания, изображенные на рис. 38

Рис. 38 Автоколебательный процесс в системе Эти автоколебания имеют следующие характеристики:

частота колебаний? 0,052 рад/с;

амплитуда колебаний, А? 84,6 ед.

Определим амплитуду и частоту автоколебаний методом гармонической линеаризации и гармонического баланса.

Как следует из этого метода, для определения существования автоколебательного режима необходимо любым методом найти решения уравнения

где — передаточная функция или коэффициент гармонической линеаризации нелинейного элемента,

— амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы.

Для нахождения решений данного уравнения чаще всего применяют аналитические или графоаналитические методы. Воспользуемся графоаналитическим методом нахождения решений уравнения гармонического баланса. Для этого построим два графика на комплексной плоскости: и и найдем точку их пересечения, координаты которой дадут амплитуду и частоту автоколебаний.

Коэффициент гармонической линеаризации для трехпозиционного реле имеет вид:

где Д — параметр, определяющий зону нечувствительности реле; А — амплитуда возможных колебаний.

Программа построения графиков для нахождения решения уравнения в среде Matlab имеет вид:

w=[0:0.0001:0.1];

k1=1;

k2=2;

c=30*k1².+30*k2².*w.^2;

re=(150*k1.*w.^2-k2.*(w.^2−625*w.^4))./c;

im=(-150*k2.*w.^3-k1.*(w.^1−625*w.^3))./c;

plot (re, im);

hold on;

D=0.1;

A=[10:0.1:100]

re=4./(pi.*A).*(sqrt (1-(D./A).^2))

im=0;

plot (re, im);

Выполнив эту последовательность команд, получим два графика на комплексной плоскости:

Рис. 39 Определение параметров автоколебательного режима методом гармонического баланса Таким образом, получаем, что два графика на комплексной плоскости и пересекаются в точке с координатами (0.0154;0).

Частоту автоколебаний определим, приравняв мнимую часть выражения для к нулю:

Амплитуду автоколебаний определим следующим образом:

Результаты теоретического расчета практически совпадают с результатами моделирования.

В результате синтеза для рассматриваемого случая уравнение линии переключения получится в виде: S₂ = 1x₁ +2x₂ + d.

5.2 Исследование свойств спроектированной нелинейной СПС

На первом этапе нами была синтезирована СПС без учета нелинейности с линией скольжения S₁ = x₃ + 1.2x₂ + 0.3x₁, проходящей через начало координат. Затем для синтеза СПС с нелинейным элементом мы синтезировали релейную систему для больших отклонений с линией переключения S₂ = 1x₁ + 2x₂ + d, где значение d определяется координатами точки пересечения линий S₁ и S₂. Значение d определяет характер процесса в СПС на завершающей стадии движения.

Для получения требуемого вида процесса и улучшения показателей системы коэффициенты усиления пропорциональных звеньев были скорректированы.

Структурная схема для моделирования имеет вид:

Рис. 40 Структурная схема нелинейной СПС Исследуем влияние значения d на характер переходного процесса.

Фазовые траектории и переходные характеристики нелинейной СПС при различных значениях d изображены на рис. 41 и 42 соответственно.

Рис. 41 Фазовые траектории нелинейной СПС при различных значениях d

Рис. 42 Переходный процесс спроектированной в нелинейной СПС Точность поддержания выходной координаты в установившемся режиме не превышает 0,5%, следовательно, спроектированная система удовлетворяет техническому заданию.

5.3 Редуцирование системы третьего порядка до системы второго порядка

Так как динамическая модель нашей нелинейной системы представляет собой систему дифференциальных уравнений третьего порядка, то её полное исследование в многомерном фазовом пространстве связано с большими трудностями. Однако при решении многих прикладных эти трудности могут быть преодолены путем применения редуцирования движений на фазовую плоскость. Суть редуцирования многомерного фазового пространства состоит в том, что после специального преобразования исходных уравнений можно исследовать движения в плоскости только двух переменных, если действие остальных переменных состояния системы учесть в уравнениях линий переключения. Такой подход позволяет не только представить графически характер поведения системы, но и использовать различные методы, которые достаточно глубоко и полно разработаны для систем второго порядка.

При редуцировании систем высокого порядка ставится задача не отыскания решений дифференциального уравнения, а проведение качественного исследования систем с выделением всех возможных движений и получении количественных их оценок в общем виде. В результате удается установить возможности рассматриваемой системы и наметить пути рационального выбора параметров или изменения её структуры.

Для редуцирования систем высокого порядка существует несколько методов, в зависимости сложности системы и режимов движений в ней. Осуществим редуцирование при помощи пакета MatLab.

Составим в командном окне MatLab следующую программу:

1. Зададим математическую модель нашей непрерывной системы в виде передаточной функции:

>> s=tf ([30],[625 150 1 0])

Transfer function:

——————————;

625 s³ + 150 s² + s

2. Зададим математическую модель нашей непрерывной системы в пространстве состояний:

>> w=ss (s)

a =

x1 x2 x3

x1 -0.24 -0.0512 -0

x2 0.3 125 0 0

x3 0 0.1 563 0

b =

u1

x1 8

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 12.29

d =

u1

y1 0

Continuous-time model

3. Представим модель для пространства состояний в канонической форме:

>> c=canon (w,'modal')

a =

x1 x2 x3

x1 0 0 0

x2 0 -0.6 863 0

x3 0 0 -0.2331

b =

u1

x1 2.441

x2 3.357

x3 8.534

c =

x1 x2 x3

y1 12.29 -9.208 0.1066

d =

u1

y1 0

Continuous-time model

4. Понизим порядок (редуцируем) математическую модель нашей непрерывной системы:

>> rw=modred (c, 1)

a =

x1 x2

x1 -0.6 863 0

x2 0 -0.2331

b =

u1

x1 3.357

x2 8.534

c =

x1 x2

y1 -9.208 0.1066

d =

u1

y1 0

Continuous-time model.

5. Передаточная функция математической модели нашей редуцированной непрерывной системы имеет вид:

>> tf (rw)

Transfer function:

— 30 s — 7.2

——————————;

s² + 0.24 s + 0.0016

6. Дискретизация непрерывной модели СПС

6.1 Состав, структура и особенности цифровых систем управления

В подавляющем большинстве случаев управляющие устройства систем управления реализуются в виде электронных устройств, которые обеспечивают формирование управляющих воздействий в соответствии с требуемым алгоритмом управления. При реализации управляющих устройств систем управления существенную роль играет выбор электронной элементной базы. В настоящее время возможны два пути реализации электронных управляющих устройств — аналоговое управляющее устройство и цифровое управляющее устройство. В первом случае используются функциональные аналоговые устройства или устройства непрерывного действия, во втором — цифровые управляющие устройства или устройства дискретного действия.

Цифровым управляющим устройствам отдается предпочтение в силу ряда существенных преимуществ. Во-первых, следует отметить, что фундаментальные принципы управления остаются неизменными, т. е., цифровые системы управления могут быть построены по принципу разомкнутого управления, по принципу компенсации возмущений или по замкнутому принципу, в частном случае это могут быть системы регулирования с пропорциональным, пропорционально-дифференциальным или пропорционально-дифференциально-интегральным регулятором. Во-вторых, алгоритмы функционирования систем также не изменяются, так как цифровые системы могут быть стабилизирующими системами, программного управления, следящими системами и т. д. И, в-третьих, неизменными остаются показатели качества систем в статике и в динамике. Однако цифровые системы обладают рядом специфических свойств, которые необходимо учитывать при их аналитическом конструировании. Эти особенности цифровых систем в первую очередь связаны с цифровой формой представления сигналов и с тем, что цифровые управляющие устройства являются устройствами последовательного действия. Это означает, что вычисление значений управляющих воздействий занимает некоторое время, в отличие от систем с аналоговыми управляющими устройствами, в которых управляющие воздействия вычисляются непрерывно и теоретически мгновенно. Кроме того, в подавляющем большинстве случаев в реальных системах управления управляющее устройство является цифровым, а управляемый объект непрерывным, поэтому в реальных цифровых системах присутствуют сигналы как непрерывные, так и дискретные, что естественно вносит определенную специфику в их разработку на этапе аналитического конструирования.