Разработка следящей системы

следящий система автоматический регулирование

Теория управления — наука о принципах и методах управления различными системами, процессами и объектами. Основами теории управления являются кибернетика и теория информации. Суть теории управления: на основе системного анализа составляется математическая модель объекта управления, после чего синтезируется алгоритм управления для получения желаемых характеристик протекания процесса или целей управления.

Теория автоматического управления — это дисциплина, изучающая процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

Современная теория автоматического регулирования является основной частью теории управления. Принцип действия любой системы автоматического регулирования (САР) заключается в том, чтобы обнаруживать отклонения регулируемых величин, характеризующих работу объекта или протекание процесса от требуемого режима и при этом воздействовать на объект или процесс так, чтобы устранять эти отклонения.

Цель регулирования заключается в формировании законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этом необходимо выбирать и использовать такой закон регулирования, при котором сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически не пропускались.

Описание САР следящей системы

1. Принципиальная схема системы автоматического регулирования (САР):

Рис. 1 — Принципиальная схема

Характеристики всех элементов, входящих в схему

Суммирующее сравнивающее устройство (ССУ):

Рис.

U_ВЫХ(t) = K_У1U₁(t) — K_У2U₂(t) — K_У2U₃(t),

где, ,

Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением (ДПТ)

Рис.

(T_ЭT_М p² + T_М p + 1) щ (t) = K_Д1 U_Я(t) — K_Д2 (T_Эp + 1) М_С (t)

или:

(T_ЭT_М p² + T_М p + 1) р ц (t) = K_Д1 U_Я(t) — K_Д2 (T_Э p + 1) М_С(t)

где, — частота вращения выходного вала двигателя;

ц — угол поворота выходного вала;

U_Я — напряжение на якоре;

М_С — момент сопротивления на валу двигателя;

K_Д1, K_Д2 — коэффициенты передачи по напряжению и моменту;

T_Э, T_М — электромагнитная и электромеханическая постоянные времени.

Тахогенератор (ТГ)

Рис.

U_ТГ(t) = K_ТГ(t),

— частота вращения вала ТГ;

U_ТГ — напряжение на выходе ТГ;

К_ТГ — коэффициент передачи ТГ

Тиристорный преобразователь (ТП)

Рис.

(Т_ТП р + 1) U₂(t) = K_ТПU₁(t),

U₁ — напряжение на входе ТП;

U₂ — напряжение на выходе ТП;

K_ТП — коэффициент передачи ТП;

Т_ТП — постоянная времени ТП.

Редуктор (Р)

Рис.

ц₂(t) = K_pц₁(t)

ц₁ — угол поворота входного вала ;

ц₂ — угол поворота выходного вала;

K_p — коэффициент передачи редуктора.

Однополярный датчик угловых перемещений (ОД)

Рис.

U (t) = K_ДУ (t)

— угол поворота движка потенциометра;

U — напряжение на выходе датчика;

K_ДУ — коэффициент передачи датчика

Пассивные корректирующие RC — цепи (ПКУ)

Рис.

(T₂ p + 1) U₂(t) = T₁ pU₁(t)

где ;

.

Таблица. Исходные данные:

Принцип регулирования САР по отклонению

Следящая система — система автоматического регулирования (управления), воспроизводящая на выходе с определённой точностью входное задающее воздействие, изменяющееся по заранее неизвестному закону. Следящая система может иметь любую физическую природу и различные способы технического осуществления.

Выходной величиной для данной системы является угол поворота вала двигателя постоянного тока, а объектом управления — двигатель. Возмущающим фактором является нагрузка на валу двигателя, выраженная в Мн.

Для поддержания требуемого угла поворота при действии паразитных факторов введены обратные связи:

1)главная обратная связь: передает величины с выхода на вход, при этом знак меняется на обратный. Так как по заданию должно быть, то рассогласование является ошибкой следящей системы. Эта ошибка в хорошо работающей следящей системы должна быть достаточно малой. Поэтому сигнал усиливается и преобразуется в новый сигнал, который приводит в действие исполнительное устройство (двигатель постоянного тока с независимым возбуждением). Исполнительное устройство изменяет так, чтобы ликвидировать рассогласование. Однако из-за наличия различных возмущающих воздействий (момент сопротивления на валу) рассогласование возникает вновь, и следящая система всё время работает на его уничтожение, т. е. «следит» за ним и, в итоге, за заданной величиной .

2)гибкая обратная связь: на валу двигателя находится тахогенератор, преобразующая скорость вращения вала на напряжение. Полученное напряжение поступает на ССУ через пассивных корректирующых RC — цепи. Сигнал гибкой обратной связи изменяют сигнал, поступающий на тиристорный преобразователь и, следовательно, на двигатель, корректируя угла поворота вала.

Ход исследования

1. Функциональная схема САР:

Функциональную схему данной САР можно представить следующим образом:

Рис. 2 -функциональная схема ОД1, ОД2 — однополярный датчик угловых перемещений.

ССУсравнивющеесуммирующее устройство ТПтиристорный преобразователь.

МДвигатель постоянного тока Р1- Редуктор ТГТахогенератор ПКУПассивные корректирующее цепи Ннагрузка

2. Структурная схема САР:

По уравнениям и передаточным функциям отдельных элементов функциональной схемы САР можно составить структурную схему САР:

Рис. 3 -структурная схема Приводим структурную схему с численными значениям:

Рис.

Передаточные функции САР

Передаточная функция разомкнутой системы:

Для получения структурной схемы разомкнутой системы существуют два правила:

Отбрасываются все воздействия и цепи прилегающие к ним.

Разрывается главнаяобратная связь и совмещается с прямой цепью прохождения воздействия.

Рис. 4. Структурная схема САУ в разомкнутом состоянии Согласно данной структурной схемы, передаточная функция разомкнутой системы будет следующей:

Поставив значения коэффициентов, мы получим:

Передаточная функция замкнутой системы по управлению:

В исходной схеме отбрасываем возмущающее воздействие и получаем структурную схему замкнутой системы по управлению:

Рис. 5. Структурная схема замкнутой САУ по задающему воздействию Составим передаточную функцию данной системы:

Получим:

Поставив значения коэффициентов, мы получим:

Передаточная функция замкнутой системы по возмущению:

Для получения необходимо отбросить возмущающий фактор и цепи прилегающие к нему, в соответствии с принципом суперпозиции:

Рис. 6. Структурная схема замкнутой САУ по возмущающему фактору.

Переносим точки съёма через линейное звено по ходу сигнала и составим передаточную функцию данной системы:

Где:

Поставив значения коэффициентов, мы получим:

Дифференциальное уравнение САР

Получив передаточные функции замкнутой системы по задающему воздействию и возмущающему фактору, структурную схему САР, представленную на рис. 3 можно представить в виде Рис.

Запишем уравнение выходного сигнала САР в изображении s:

Где G (s), Z (s) — изображения задающего g (t) воздействия и возмущающего фактора z (t).

Введем обозначения:

и запишем (*):

(**)

где M (s), N (s) полиномы изображения s:

)

)

Тогда (**) примет вид:

=++

Переходя от изображений сигналов к их оригиналам и, заменяя получим дифференциальное уравнение САР.

Используя уравнение (*), запишем в изображении S уравнениевыходного сигнала x:

Где:

=

Поставить значения коэффициентов, мы получим:

;

Z (s)

Переходя от изображений сигналов к ихоригиналам и, заменяя s > p, получим дифференциальное уравнение САР:

=-).z (t)

Используя численные значения параметров системы и переходя от:

+=

Проверка САР на устойчивость. Проверить САР на устойчивость по корням характеристического уравнения системы

Условие устойчивости системы по корням характеристического уравнения: для того чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. 1, стр.125]

Характеристическое уравнение системы:

Рис.

Корни: s₁=-9.64; s₂=-53.3+206i; s₃=-53.3−206i

Вывод: все корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, следовательно, исследуемая система устойчива.

Критерий Михайлова

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необхдима и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова С (jщ) при 0 < щ <? повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол рn/2, где nпорядок характеристического уравнения. [1, стр.141]

Построим годограф выражения на комплексной плоскости (X), .

Рис. 8. Кривая (годограф) Михайлова Вывод: система устойчива, так как годограф Михайлова проходит число квадрантов, равное порядку уравнения системы, т. е. 3.

Проверка САУ на устойчивость, используя критерий устойчивости Найквиста на основе ЛАЧХ:

Критерий Найквиста:

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазочастотной характеристикой прямых ±р (2i+1), где i = 0,1,2,… во всех областях, где логарифметическая амплитудно-частотная характеристика положительна L (щ)>0, была равна l/2, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. 1, стр.154]

Или:

Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системыW (j) при изменении частоты от 0 до охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении l/2 раз, гдеlчисло правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. [1, стр.147]

Структурная схема разомкнутой системы:

Рис.

Характеристическое уравнение системы:

Корни характеристического уравнения:

Вывод: все корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, следовательно, разомкнутая система устойчива иl = 0.

Анализируем эту схему мы получим еёАФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ:

Рис. 9. АФЧХ разомкнутой системы Вывод: по графику видно, чтоАФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1,0), следовательно, система устойчива.

Рис. 10. ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой системы.

Вывод: по графику видно, что на частотах, где, ФЧХ не пересекает прямую, параллельную оси абсцисс и проходящую через значение (), следовательно, система устойчива.

Определить по критерию устойчивости Гурвица критический коэффициент усиления разомкнутой системы Крс:

Критерий Гурвица:

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а₀, то есть при а₀ >0 были положительными. 1, стр.133]

Составим определитель Гурвица по следующему алгоритму:

1. По главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения, отдо .

2. От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз.

3. На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Рис.

Если определитель Гурвица равен 0, то система находится на границе устойчивости.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Порядок характеристического уравнения

Находим определители Гурвица:

Предельное (критическое) значение коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости, равно:

Построить область устойчивости в плоскости одного параметра Крс

Область устойчивости — это совокупность значений параметров системы, при которых она устойчива.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

:

Построим область устойчивости САР в плоскости К_рсна комплексной плоскости ,

Рис. 11. Область устойчивости САР в плоскости одного параметраK_рс

Границы устойчивости:

Для проверки границ устойчивости, с помощью MathCAD, возьмем любое значение из области устойчивости и подставив это значение в характеристическое уравнение замкнутой системы, проверим систему на устойчивость по корням характеристического уравнения:

Корни характеристического уравнения оказались левыми, значит система устойчива в области III.

Приняв начальные условия нулевыми, построить переходную характеристику системы и определить по ней показатели качества

1)Степенью устойчивости з называют расстояние от мнимой оси до ближайшего корня или ближайшей пары сопряженных корней. 2, стр.41]

2)Колебательностью системы м называют тангенс угла, образованного отрицательной вещественной полуосью и лучом из начала координат к корню, у которого отношение мнимой части к действительной максимально:

м = tgц = (в/б)_max

где в — значение мнимой части корней С (s)

б — значение действительной части. 2, стр.42]

Передоточная функция замкнутой схемы:

Характеристическое уравнение системы:

Рис. 12. Размещение корней характеристической функции C (s)=0 на комплектной плоскости.

Степень устойчивостиз = 9.64

Колебательность системы

3)Время регулирования t_p — минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью.

[2- стр.41]

4)Перерегулирование у — максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины.

[2, стр.40]

Время переходного процесса t_p и у, связаны состепенью устойчивости зи колебательностью следующими соотношениями:

[2, стр.41]

Рис. 13. Переходная характеристика САР при нулевых начальных условиях.

Время регулированияt_p = 0.064c

Перерегулирование

5)Частота колебаний, где Т — период колебаний для колебательных переходных характеристик.

По графику с.

рад/с

Оценить влияние гибкой обратной связи

Убираем гибкую обратную связь из структурной схемы:

Рис. 14. Структурная схема замкнутой САУ без гибкой обратной связи Привести структурную схему с численными значениям:

Рис.

Передоточная функция замкнутой схемыбез гибкой обратной связи:

Характеристическое уравнение системы:

Рис. 15. Размещение корней характеристической функции на комплектной плоскости.

Степень устойчивости з = 53.1

Колебательность системы Рис. 16. Переходная характеристика САР без гикой обратной связи при нулевых начальных условиях

Время регулированияt_p = 0.0514c

Перерегулирование

Частота колебаний. По графику с.

рад/с Таблица. Сравниваемпоказатели качества между замкнутой системой с гибкой обратной связью и система без неё:

Из таблицы видно, что замкнутаясистема автоматического управления с гибкой обратной связью улучшается.

Определение параметры системы обеспечивающие необходимые (допустимые) паказатели качества

Допустимой является величина перерегулирования не превышающей 30%. 2, cтр. 41]

Настраиваемыми являются только ПКУ и ССУ (параметры Т₁, Т₂, К_у2, К_у3):

Рис. 17. Структурная схема замкнутой САУ по задающему воздействию Приводим структурную схему с численными значениями (кроме параметров Т₁, Т₂, К_у2, К_у3):

Рис.

Найдем оптимальные параметры этих элементов:

Передоточная функция замкнутой схемы:

Где:

Таблица. Исходные данные:

Таблица. Поставив новые значения параметровТ₁, Т₂, К_у2, К_у3 и получим величиныпоказателей качеств САУ в следущей таблице:

Из таблицы видно, чтобы величина перерегулирования не превышающей 30%, мы можем изменить параметры по 2 способам:

На гибкой обратной связи:

Увеличиваютсяпараметры. Чем больше, тем меньше величина перерегулирования .

Уменьшается параметр. Чем меньше параметра, тем меньше величина перерегулирования .

На главной обатной связи:

Уменьшается параметр. Чем меньше параметра, тем меньше величина перерегулирования .

Поставив значения параметровТ₁=0.4, Т₂=0.1, К_у3=1,К_у2 =22.4,мы получим:

Характеристическое уравнение системы:

Рис. 18. Размещение корней характеристической функции на комплектной плоскости.

Степень устойчивости з = 7.28

Колебательность системы Рис. 19. Переходная характеристика САР при нулевых начальных условиях

Время регулированияt_p = 0.234c

Перерегулирование

Частота колебаний. По графику с.

рад/с

Статическая ошибка системы

Статическая ошибка — ошибка в установившемся режиме работы системы при действии на нее постоянного сигнала.

Полная ошибка равна сумме ошибки по задающему воздейств и возмущающему фактору :

Для нахождения ошибки по возмущающему воздействию, преобразуем структурную схему к следующему виду:

Найдем передаточную функцию системы:

Ошибка по задающему воздействию равна, где.

(Н*м).

Для нахождения ошибки по возмущающему фактору, используем передаточную функцию замкнутой системы по возмущающему фактору (см. п. 3.3.):

Ошибка по возмущающему фактору равна:

Полная статистическая ошибка в таком случае будет равна:

Заключение

Исследование системы автоматического регулирования следщой системыбыло проведено с помощью математических методов и программных пакетов MATHCAD и MATLAB.

Для исследования на устойчивость системы автоматического регулирования следщой системыбыло применено три критерия проверки системы на устойчивость: Михайлова, Найквиста, и по корням характеристического уравнения. Все три критерия показали, что САР устойчива. С помощью критерия Гурвица был определен критический коэффициент усиления разомкнутой системы (К_рс) и построена область устойчивости в плоскости одного параметра К_рс. С помощью кривой переходного процесса была доказана устойчивость и определены показатели качества. Судя по корням характеристического уравнения и по кривой переходного процесса можно сделать вывод, что звено колебательное и характер переходного процесса — периодический.

Система обладает нехорошими показателями качества, перерегулирование 38.95%от установившегося значения. Время регулирования 0.064c.Чтобы величина перерегулирования уменьшается, мы можем изменить параметры по 2 способам:

1.На гибкой обратной связи:

Увеличиваютсяпараметры. Чем больше, тем меньше величинаперерегулирования .

Уменьшается параметр. Чем меньше параметра, тем меньше величина перерегулирования .

Была определена полная статическая ошибка

1. Теория автоматического управления.(Часть первая) Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, Г. А. Дидук и др.; Под ред. Академика А. А. Воронова — М.: Высшая Школа. 1986.

2. Теория управление: Лабораторный практикум. / Яковлева Е. М., Аврамчук В. С., Казьмин В. П. — Томск: Издательство ТПУ, 2010.