Расчет симметричного режима работы трехфазной цепи

Расчет симметричного режима работы трехфазной цепи

Задано:

1. Трехфазная сеть 220/380 В, 50Гц с нулевым проводом (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Расчетная схема трехфазной цепи

2. Осветительная нагрузка, состоящая из трех одинаковых групп лампочек накаливания по n ламп в каждой группе, включенных на номинальное фазное напряжение U_л = U_ф = U_А = U_В = U_С = 220 В по схеме «звезда с нулевым проводом». При этом лампы в каждой группе включены параллельно друг другу между зажимами соответствующей фазы и нулевым проводом (см. рис. 1). Данные ламп указаны ниже в табл. 1.

3. Обмотка статора трехфазного асинхронного двигателя (АД) подключена к указанной в п. 1 сети по схеме «треугольник». Данные АД указаны ниже в табл. 1.

Табл.1

Требуется:

1. Определить расчетные фазные сопротивления Z₁ = R₁ по номинальным данным ламп.

2. Определить линейные токи I_1A, I_1B, I_1C в комплексной форме.

3. Построить векторную диаграмму фазных напряжений и токов заданной осветительной нагрузки.

4. По данным АД рассчитать модули его линейных I_2A, I_2B, I_2C и фазных I_2AВ, I_2BС, I_2CА токов, а затем записать их значения I_2A, I_2B, I_2C и I_2AВ, I_2BС, I_2CА в комплексной форме с учетом сдвига фаз.

5. Построить векторную диаграмму линейных и фазных напряжений и токов АД.

6. Определить результирующие комплексные значения токов сети I_A, I_B, I_C.

7. Построить векторную диаграмму всех токов.

8. Проверить расчет путем составления баланса мощности.

Решение

1. Определим расчетные фазные сопротивления Z₁ = R₁.

Так как лампа накаливания оказывает чисто активное сопротивление протеканию тока по ней, то угол сдвига фаз между током лампы и напряжением на ней равен нулю. Следовательно, расчетные фазные сопротивления Z₁ = R₁ определяем по номинальным данным лампы с учетом следующих соотношений:

1.1. Сопротивление одной лампы R_л:

R_л= U²_л / Р_л = (220)²/200 = 242 Ом.

1.2. Сопротивление каждой фазы осветительной нагрузки Z₁ = R₁ с учетом параллельного включения n ламп в фазовых группах ;

Z₁ = R₁ = R_л/n = 242/5 = 48,4 Ом.

2. Определим линейные токи I_1A, I_1B, I_1C в комплексной форме.

2.1. Так как ламповые группы, состоящие из 15 параллельно соединенных одинаковых ламп, включены по симметричной схеме «звезда», то линейные токи, потребляемые ими по модулю равны соответствующим фазным токам. Кроме того, так как лампы включены по симметричной схеме, действующие значения линейных и фазных токов различных фаз I_1В, I_С, I_1C по модулю равны друг другу. То есть:

I_1В = I_1С = I_1C = nI_л = 5U_л/ R_л = U_л/ Z₁ = 220 / 48,4 = 4,5 А, где: I_1В = I_1С = I_1C — действующие значения токов соответствующих фаз осветительной нагрузки; I_л и U_л — соответственно действующие значения тока и напряжения каждой лампы.

2.2. Комплексные действующие значения напряжений отдельных фаз симметричной трехфазной сети U_А, U_В, U_С, с учетом сдвига их во времени относительно друг друга, запишем в показательной форме:

U_A = U_л = 220 В;

U_B = U_ле^-j120 = 220е^-j120 В;

U_C = U_ле^j120 = 220е^j120 В.

2.3. С учетом п. 2.2 комплексные действующие значения линейных токов I_1A, I_1B, I_1C запишем следующим образом:

I_1A = nI_л = 4,5 A

I_1B = nI_л е^-j120 = 4,5 е^-j120 A

I_1C = nI_л е^j120 = 4,5 е^j120 A

2.4. Переведем комплексные значения фазных напряжений и токов в алгебраическую форму.

U_A = 220 + j0 В;

U_B = 220е^-j120 В = 220 (Cos (-120⁰) + jSin (-120⁰)? = 220 (-0,5 — j0,87) =

= - 110 — j190 В;

U_C = 311,1е^j120 = 220 (Cos (120⁰) + jSin (120⁰)? = 220 (-0,5 + j0,87) =

= - 110 + j190 В.

I_1A = 4,5 + j0 A

I_1B = 10,2 е^-j120 = 4,5 (Cos (-120⁰) + jSin (-120⁰)? = 4,5 (-0,5 — j0,87) =

= - 2,25 — j3,9 А;

I_1C = 10,2^j120 = 4,5 (Cos (120⁰) + jSin (120⁰)? = 4,5 (-0,5 + j0,87) =

= - 2,25 + j3,9 А.

3. С учетом п. 2.4 с помощью программного комплекса Advanced Grapher строим векторные диаграммы фазных напряжений и токов заданной осветительной нагрузки (см. рис. 1.2 и 1.3).

3.2. Координаты соответствующих векторов можно представить следующей таблицей:

Рис. 1.2. Векторная диаграмма действующих значений фазных напряжений заданной осветительной нагрузки Рис. 1.3. Векторная диаграмма действующих значений фазных токов заданной осветительной нагрузки

4. По заданным значениям мощности (Р_Д = 1,5 кВт), КПД (h?= 0,85? и коэффициента мощности (Cos j—=—0,5) АД рассчитаем модули (действующие значения) его фазных I_2AВ, I_2BС, I_2CА и линейных I_2A, I_2B, I_2C токов, а затем запишем их значения I_2A, I_2B, I_2C и I_2AВ, I_2BС, I_2CА в комплексной форме с учетом сдвига фаз.

4.1. Действующее значение активной полезной мощности асинхронного двигателя (задана условием задачи в кВт) определяется следующим соотношением:

Р_Д = 3_*10^-3 U_2фI_{2ф *}Cosj_*h,

откуда, с учетом задания, действующие значения фазных токов I_2AВ, I_2BС, I_2CА асинхронного двигателя (с учетом соединения его статорных обмоток в «треугольник»):

I_2ф = I_2AВ = I_2BС = I_2CА = Р_Д*10³/(3U_2ф*Cos?_*?) = 1500/(3_*380_*0,5_*0,85) =

= 3,1 А, где U_сл = U_2ф = 380 В-действующее значение линейного напряжения сети; I_2ф — действующее значение тока фазы АД.

4.2. Действующие значения линейных токов I_2A, I_2B, I_2C асинхронного двигателя (АД):

I_2A = I_2B = I_2C = Ц3I_2ф = Ц3*3,1 = 5,4А.

4.3. Так как фазы статорной обмотки АД соединены в «треугольник», то комплексные значения линейных напряжений сети будут являться одновременно фазными напряжениями асинхронного двигателя и определяться геометрической разностью векторов фазных напряжений сети, то есть (см. рис. 1.1):

U_AВ = U_A — U_B;

U_BС = U_В — U_С;

U_CА = U_С — U_А;

4.5. В соответствии с п.п. 4.3 и 3.1 находим комплексные значения напряжений на фазах статорной обмотки асинхронного двигателя:

U_AВ = U_A — U_B = 220 + 110 + j190 = 330 + j190 В;

или в показательной форме: U_AВ = 380 е^jarctg(0,58) = 380 е^j30 В;

U_BС = U_В — U_С = - 110 — j190 + 110 — j190 = - j380 В;

или в показательной форме: U_BС = 380 е^j-90 В;

U_CА = U_С — U_А = - 110 + j190 — 220 = - 330 + j190.

или в показательной форме: U_CА = 380 е^{jarctg(-0,58)} = 380 е^j150 В;.

4.6. Токи фаз асинхронного двигателя сдвинуты во времени в сторону отставания относительно соответствующих фазных напряжений на угол ?, определяемый заданным коэффициентом мощности Cos ???0,5, откуда ???60⁰ (отстающий). Следовательно, зная комплексные выражения для напряжений АД U_AВ, U_BС и U_CА, можем определить значения I_2AВ, I_2BС, I_2CА в комплексной форме с учетом указанного выше сдвига фазного тока на угол ???53^0:

I_2AВ = I_2фе^{j (30 — 60)} = 3,1е^j-30 А;

I_2BС = I_2фе^{j (-90 — 60)} = 3,1е^j-150 А;

I_2CА = I_2фе^{j (150 — 60)} = 3,1е^j90 А.

4.7. Для определения комплексных значения линейных токов электродвигателя I_2A, I_2B, I_2C переведем комплексные выражения для фазных токов АД в алгебраическую форму:

I_2AВ = 3,1е^-j30 = 3,1 (Cos (-30⁰)+ jSin (-30⁰)) = 2,7 — j1,55 А;

I_2BС = 3,1е^-j150 = 3,1 (Cos (-150⁰)+ jSin (-150⁰)) = -2,7 — j1,55 А;

I_2CА = 3,1е^j90 = 3,1 (Cos 90⁰ + jSin 90⁰) = j3,1 А;

А затем определим комплексные значения указанных линейных токов в соответствии со следующими известными выражениями:

I_2A = I_2AВ — I_2CА = 2,7 — j1,55 — j3,1 = 2,7 — j4,65 A;

I_2B = I_2BС — I_2AВ = -2,7 — j1,55 — 2,7 + j1,55 = - 5,4;

I_2C = I_2CА — I_2BС = j3,1 + 2,7 + j1,55 = 2,7 + j4,65.

5. В соответствии с выражениями п.п. 4.5 — 4.7 с помощью программного комплекса Advanced Grapher построим требуемые в п. 5 задания векторные диаграммы (см. рис. 1.4, 1.5 и 1.6).

5.1. Таблица координат векторов будет выглядеть следующим образом с учетом того, что напряжения U_AВ, U_ВС, U_СА, приложенные к фазам статорной обмотки асинхронного двигателя в то же время являются линейными напряжениями сети (см. рис. 1)):

Рис. 1.4. Векторная диаграмма действующих значений напряжений, приложенных к фазам статорной обмотки асинхронного двигателя (линейных напряжений сети) Рис. 1.5. Векторная диаграмма действующих значений фазных токов, асинхронного двигателя Рис. 1.6. Векторная диаграмма действующих значений линейных токов асинхронного двигателя

6. С учетом п.п. 3 и 4.8 определим результирующие комплексные значения токов сети I_A, I_B, I_C.

I_A = I_1А + I_2А = 4,5 + 2,7 — j4,65 = 7,2 — j4,65,

или в показательной форме: I_A = 8,6е^{jarctg (-4,65/7,2)} = 8,6е^-j33.

I_B = I_1В + I_2В = - 2,25 — j3,9 — 5,4 = -7,65 — j3,9,

или в показательной форме: I_B = 8,6е^{jarctg (-3,9/-7,65)} = 8,6е^-j153.

I_C = I_1С + I_2С = - 2,25 + j3,9 + 2,7 + j4,65 = 0,45 + j8,6,

или в показательной форме: I_C = I_B = 8,6е^{jarctg(8,6/0,45)} = 8,6е^j87.

7. На основании выражений п. 6 определим координаты векторов действующих значений результирующих токов сети на комплексной площади и построим соответствующую векторную диаграмму (рис. 6).

Рис. 6. Векторная диаграмма результирующих линейных токов сети трехфазный цепь асинхронный двигатель

8. Проверяем проведенные выше расчеты путем составления баланса мощности.

8.1. Так как, по условию задачи, фазы источника энергии сети соединены по схеме «Звезда», то на основании выражений для фазных напряжений сети (см. п. 3) и линейных результирующих токов сети (см. п. 6) можно определить действующие значения комплексных мощностей S_A, S_B и S_C, развиваемые каждой фазой питающей сети:

S_A = U_A I*_A = 220 * 8,6е^j33 = 1892е^j33 ВА.

S_B = U_BI*_B = 220е^-j120 * 8,6е^j153 = 1892е^j33 ВА.

S_C = U_CI*_C = 220е^j120 * 8,6е^-j87 = 1892е^j33 ВА.

Где I*_A, I*_A, I*_A — комплексно сопряженные значения токов соответствующих фаз сети.

8.2. Так как полученные в п. 8.1. результаты подтвердили полную симметричность нагрузки каждой фазы сети (S_A = S_B = S_C = S_ф), то действующее значение суммарной комплексной мощности S_S, развиваемой сетью можно определить следующим образом:

S_? = S_A + S_B + S_C = 3S_ф = 3 * 1892е^j33 ВА. = 5676е^j33 ВА, или в алгебраической форме:

S_S = 4760 + j3091 ВА.

откуда действующее значение общей активной мощности сети:

P_S = 4760 Вт;

действующее значение общей реактивной мощности сети:

Q_S = 3091 ВА.

8.3. Действующее значение комплексной суммарной мощности осветительной нагрузки S_SЛ (с учетом ее чисто активного и симметричного характера) можно определить по следующему упрощенному соотношению:

S_SЛ = Р_SЛ = Р₁ = 3 * U_фI_1ф = 3 * 220 * 4,5 = 2970 ВА.

Примечание: отклонение от суммарной заданной паспортной мощности ламп (3 * 200 * 5 = 3000 Вт), вызванное погрешностью расчетов составила 1%.

8.4. Действующее значение активной мощности, потребляемой асинхронным двигателем из сети:

Р₂ = 3 * U_лI_2л * Cosj—= 3 * 380 * 3,1 * 0,5 = 1767 Вт.

8.5. Реактивная мощность, потребляемая двигателем из сети:

Q₂ = 3 * U_лI_2л * Sin j = 3 * 380 * 3,1 * 0,87 = 3060 ВА.

8.6. Действующее значение общей активной мощности потребителей:

P_Sпотр = P₁ + P₂ = 1767 + 3060 = 4827 Вт.

8.7. Действующее значение общей реактивной мощности потребителей:

Q_?потр = Q₁ + Q₂ = 0 + 3060 = 3060 ВА,

Вывод

Сравнивая данные п. 8.2 c п.п. 8.6 и 8.7 можем констатировать практически полное совпадение значений полных комплексных мощностей сети и потребителей (погрешность по активной составляющей мощности составляет 1,4%, по реактивной — 1%) что указывает на корректность проведенных в работе расчетов.