Расчет сложной электрической цепи постоянного тока

Расчет сложной электрической цепи постоянного тока

1. Задание

Для сложной цепи постоянного тока (рис. 1), числовые значения параметров которой заданы в табл. 1, необходимо:

1.1 рассчитать значения тока во всех ветвях при помощи непосредственного применения законов Кирхгофа;

1.2 рассчитать значения тока во всех ветвях с помощью метода контурных токов;

1.3 проверить правильность расчета, составив баланс мощности, и сделать вывод по его результатам;

1.4 выполнить моделирование заданной электрической цепи с помощью системы схемотехнического моделирования Electronics Workbench. Сравнить полученные результаты с расчетными.

Таблица 1. Числовые значения параметров элементов схемы

2. Расчет схемы

Расчет схемы по законам Кирхгофа Обозначим ток в ветвях I₁, I_2…,I₆ выбирая индексы тока соответственно номерам приемников, стоящих в этих ветвях.

Данный метод подразумевает составление системы уравнений, позволяющих определить значения тока в ветвях непосредственно по первому и второму законам Кирхгофа.

Количество неизвестных токов определяет порядок сложности цепи N и равно количеству ветвей. В рассматриваемом примере: в=N=6.

Следовательно, необходимо составить систему из шести уравнений.

По первому закону Кирхгофа составляется количество уравнений на одно меньше, чем узлов. Для данной схемы у=4. Следовательно, по первому закону Кирхгофа составляем:

N_I = y-1;

N_I=4−1=3.

Выбираем три узла — 1,2,3, для которых записываем уравнения, соответственно, по первому закону Кирхгофа:

() 1: I₃ +I₆ -I₄ = 0 (1)

() 2: — I₆ + I₁ + I₅ = 0 (2)

() 3: I₄ — I₂ — I₅ = 0 (3)

По второму закону Кирхгофа составляется N_II = N — N_I уравнений. Следовательно, для данной схемы N_II = 3.

Выбираем три независимых контура I-III (рис. 3) так, чтобы каждый последующий контур содержал хотя бы одну новую ветвь.

Принимаем направления обхода контуров I-III — по часовой стрелке.

Cоставляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

I₄R₄ +I₅R₅ + I₆R₆ = 0 (4)

I₅R₅ + I₂R₂ + I₁R₁ = E₁ — E₂ (5)

I₃R₃ + I₂R₂ + I₄R₄ = - E₂ + E₃ (6)

Полная система уравнений примет вид:

I₃ + I₆ — I₄ = 0

I₆ + I₁ + I₅ = 0

I₄ — I₂ — I₅ = 0 (7)

I₄R₄ + I₅R₅ + I₆R₆ = 0

I₅R₅ + I₂R₂ + I₁R₁ = E₁ — E₂

I₃R₃ + I₂R₂ + I₄R₄ = - E₂ + E₃

Решение системы уравнений (7) с помощью математического редактора Mathcad, дает искомые значения тока в ветвях цепи. Знак «минус» указывает на то, что выбранное на схеме направление тока не совпадает с его реальным направлением. Результаты сведены в табл. 2.

Баланс мощности Для проверки правильности выполненных расчетов составляем баланс мощности. В любой замкнутой электрической цепи сумма значений мощности, отдаваемой источниками, равна сумме значений мощности, потребляемой приемниками:

(8)

Для рассматриваемой схемы, содержащей три источника (m=3)

P_ист = I₁E₁ - I₂E₂ +I₃E₃; (9)

P_ист = (-1,434) · 14 — (-0,879) · 25 +(0.555)· 28 =17,44 (Вт).

Для потребителей:

(10)

?P_{потр, к}=(-1,434)² •5 + (-0,879)² •2 + (0,555)² •8 + (0,157)² • 2 +(1,036)² •2 +

(-0,398)² •6 = 17,44 (Вт) Баланс мощности для рассчитываемой схемы:

17,44 Вт = 17,44 Вт

Баланс мощности выполняется, следовательно, расчет токов по законам Кирхгофа выполнен верно.

Вычислим относительную погрешность измерения:

цепь ток сложный кирхгофа В инженерных расчетах отличие правой части баланса от левой допускается не более чем на 3%:

Расчет схемы методом контурных токов В соответствии с этим методом считается, что в замкнутых контурах протекают так называемые контурные токи J₁.J_n. При этом расчетные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Количество необходимых уравнений N_II = в — (у — 1).

Для данной схемы N_II = 3. Выбираем те же контуры, которые рассматривались в предыдущем методе, обозначаем направления контурных токов J₁, J₂, J₃ (рис. 4) и составляем расчетные уравнения:

I: J₁(R₄ + R₅ + R₆) — J₂R₅ — J₃R₄ = 0 (11)

II: J₂(R₁ + R₂ + R₅) — J₁R₅ + J₃R₂ = E₂ — E₁ (12)

III: J₃(R₃ + R₂ + R₄) +J₁R₃ + J₂R₂ = E₂ — E₃ (13)

Запишем систему в упорядоченном виде:

J₁(R₄ + R₅ + R₆) — J₂R₅ — J₃R₄ =0

— J₁R₅ + J₂(R₁ + R₂ + R₅) +J₃R₂ = E₂ — E₁ (14)

J₁R₄ + J₂R₂ + J₃(R₃+ R₂ + R₄) = E₂ — E₃

В матричной форме:

(15)

Полученная матрица должна быть симметричной. Так можно проверить правильность составления системы.

Решение системы уравнений (15) с помощью математического редактора Mathcad дает искомые значения контурных токов:

J₁ = -0,257 (A); J₂ = -1,281 (A); J₃ = -0,063 (A).

Реальные токи в ветвях цепи находим с учетом направлений протекающих по ветвям токов:

I₁ = - J₂ = -1,281 (A) (16)

I₂ = J₃ +J₂ = -1,287 (A) (17)

I₃ = - J₃ = -0,063 (A) (18)

I₄ = J₁ + J₂ = -1,538 (A) (19)

I₅ = J₁-J₂ =1,023 (A) (20)

I₆ = J₁ = -0,257 (A) (21)

Результаты расчета, полученные методом контурных токов (см. табл. 2), совпадают с результатами расчета по законам Кирхгофа.

Таблица 2. Результат аналитического расчета и моделирования схемы

Вывод: Составленный по результатам расчета баланс мощности выполняется и данные моделирования приблизительно равны данным аналитического расчета, следовательно расчет сложной электрической цепи выполнен верно.