Расчет усилий в стержнях

Задача 1

Стержни АВ и СВ соединены шарниром В, на ось которого действуют две нагрузки F₁ и F₂, как показано на рисунке. Крепления стержней в точках, А и С шарнирные. Определить усилия в стержнях. Аналитическое решение проверить графическим построением

Решение Рассмотрим равновесие точки В, которая считается несвободной, так как на нее наложены связи в виде стержней АВ и BС. Освобождаем точку В от связей и заменяем их силами реакций связей, считая, что стержень ВС и АВ растянуты под действием сил F₁ и F₂. Обозначим реакцию стержня ВС через N₁, а стержень АВ через N₂. В итоге точка становится свободной, находясь под действием плоской системы четырех сходящихся сил: активной F₁ и F₂ и реакций N₁и N₂. Приняв точку B за начало координат перенесем силы N₁, N₂, F₁, F₂ параллельно самим себе в эту точку и составим уравнение проекций сил на оси координат.

=0; - N₁· cos60 — N₂· cos15 + F₂· cos30=0 (1.1)

=0; - F₁ — N₂· sin15 + N₁· sin60 + F₂· sin30=0 (1.2)

Выразим из уравнения 1.1 N₁:

N₁=

В уравнение 1.2 подставим N₁ и получим:

— F₁ — N₂· sin15 + · sin60 +F₂· sin30=0

N₂=

N₁= = 0,16 603 кН

Графический метод. Для решения задачи этим методом выбираем масштаб силы F (например, 10Н=1 мм) и строим замкнутый четырехугольник сил. Из произвольной точки О проводим прямую параллельную вектору. Аналогично поступаем для сил ,,. Получим замкнутый четырехугольник сил, стороны которого в выбранном масштабе изображают силы. Величины, определяем после измерения соответствующих сторон четырехугольника.

С учетом графического построения:

N₁ 0,16 603 кН

N₂ кН

Ответ: N₁= 0,16 603 кН, N₂= кН

Задача 2

Для заданных плоских ферм, к узлам которых приложены силы F определить реакции в опорах и усилия во всех стержнях. Для решения использовать метод вырезания узлов.

Решение Освобождаемся от связей, заменяя их реакциями опор. На ферму действует плоская система произвольно расположенных сил. Опора B шарнирно-подвижная, поэтому опорная реакция R_B перпендикулярна связи. Опора A шарнирно-неподвижная, поэтому опорные реакции R_AX и R_BX.

Ферма находится в равновесии, поэтому сумма моментов пар сил приложенных к ней равна нулю.

;

= = = -4,33 013 кН

;

= = = 4,33 013 кН

; +

Узел A. Вырезав узел приложим к нему неизвестные усилия стержней и реакции опоры. В итоге на узел действует плоская система четырёх сходящихся сил. Для определения неизвестных усилий составим уравнения равновесия:

Узел B.

Узел I.

Узел II.

Проверим правильность нахождения усилий в стержнях по способу Риттера: для этого условимся считать все стержни фермы растянутыми, знак «минус» в ответе будет означать, что стержень сжат. Допустим, требуется определить усилие в стержне 6 фермы. Для этого проводим сечение I-I, рассекая не более трех стержней, в том числе стержень 6, усилие в котором определяется. Мысленно отбрасываем левую часть фермы, заменяя ее действие на оставшуюся правую часть усилиями N₆, N₅ и N₄, приложенными в соответствующих сечениях стержней и направленными в сторону отброшенной части.

Чтобы определить усилие N₆ независимо от усилий N₅ и N₄, составляем уравнение моментов сил, действующих на правую часть фермы, относительно точки III, в которой пересекаются линии действия сил N₄ и N₅. Эту точку называют точкой Риттера:

Полученное значение верно с предыдущим ответом.

Результаты расчетов

Задача 3

Клапан предназначен для установки на стационарном паровом котле или других подобных резервуарах и служит для выпуска излишка рабочей среды при повышении давления сверх нормы. Определить какой груз необходимо подобрать к клапану, чтобы он открывался при избыточном давлении Р.

Решение:

Рассмотрим рычаг СD. Заменим действие опор их реакциями. В результате избыточного давления в сети на рычаг в точке В действует сила F.

F=ДP· S;

S=d²/4;

F=d²ДP /4.

Составим уравнение моментов относительно точки C:

М_С(F_i)=0; F· L₁-G·(L₁+L)=0

G=F· L₁/(L₁+L);

G===210,787 H

Если вес груза будет 210,787 Н, то при избыточном давлении ДP =0,2 МПа клапан откроется, т.к. нарушится равновесие.

G=gm;

m=G/g=210,787 /9,8=21,4870 кг

Ответ: груз массой 21,4870 кг.

Задача 4

Определить силу, с которой натянут трос АВ, если вес изоляторов вместе с проводами равен G, а вес железной конструкции DBC — G_e на каждый метр длины.

Решение:

Рассмотрим равновесие железной конструкции.

BC=AC-AB=3,0 — 2,4=0,6 м Запишем уравнение моментов относительно точки D:

?M_D=0;; (1)

Так как на каждый метр железобетонной конструкции приходится, тогда исходя из условия, определяем и .

Найдём АD: АD=м Подставляем полученные значения в уравнение (1) и находим силу натяжения троса.

Таким образом искомое значение натяжения троса

Ответ: F=.

Задача 5

Платформа находится на четырех железобетонных основаниях. Рассчитать фундаментные болты у опор, если известно, что у каждой опоры их восемь, а также вес платформы со всеми конструкциями G.

Решение:

Так как ферма симметрична, то и. Поэтому данную систему сил можно преобразовать в плоскую систему сил.

стержень уравнение риттер Составим уравнение моментов сил относительно точки B:

; ;

Так как каждая опора имеет по 8 болтов, то усилия в них определяются следующим образом:

Знак минус показывает на неправильный выбор направления реакции опоры. Поэтому реакция левых болтов равна 0, кН.

Ответ: кН, кН.