Расчет характеристик сигналов и каналов связи

Расчетно-пояснительная записка

к курсовому проекту

Расчет характеристик сигналов и каналов связи

Реферат

Библиогр.: объем 24. Табл. 2. Ил. 18.

Канал связи, сигнал, спектр, дискретизация, кодирование, разрядность, модуляция, ряд Фурье, гармоника, спектральная плотность.

Курсовая работа содержит расчет спектра и энергетических характеристик сигнала, определение интервалов дискретизации и квантования сигнала, расчет разрядности кода, исследование характеристик кодового сигнала, исследование характеристик модулированного сигнала, расчет вероятности ошибки в канале с помехами.

Задание

1.Структурная схема канала связи

2.Расчет характеристик сигнала и разрядности кода

2.1 Расчет характеристик треугольного сигнала

2.1.1 Расчет спектра треугольного сигнала

2.1.2 Расчет полной энергии треугольного сигнала

2.1.3 Определение практической ширины спектра треугольного сигнала

2.2 Расчет характеристик экспоненциального сигнала

2.2.1 Расчет спектра экспоненциального сигнала

2.2.2 Расчет полной энергии экспоненциального сигнала

2.2.3 Определение практической ширины спектра экспоненциального сигнала

2.3 Расчет характеристик колоколообразного сигнала

2.3.1 Расчет спектра колоколообразного сигнала

2.3.2 Расчет полной энергии колоколообразного сигнала

2.3.3 Определение практической ширины спектра колоколообразного сигнала

2.4 Определение интервала дискретизации и разрядности кода

3. Расчет характеристик кодового сигнала.

3.1 Расчет автокорреляционной функции кодового сигнала

3.2 Расчет энергетического спектра кодового сигнала

3.3 Расчет спектральных характеристик кодового сигнала

4. Расчет характеристик модулированного сигнала.

4.1 Расчет спектральных характеристик амплитудно-модулированного сигнала

4.2 Расчет мощности АМ сигнала

5. Расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума

6. Построение кодов Хэмминга

Заключение

МПС РОССИИ

Омский государственный университет путей сообщения

Задание на курсовую работу по дисциплине

«Теория передачи сигналов»

студенту ЭТФ гр. 27^б Закуцкому Андрею Владимировичу

дата 13 октября 1999 г.

1. Исходные данные

1.1. Форма полезного сигнала

1.2. Процент от полной энергии сигнала при ограничении спектра 95%

1.3. Коэффициент (К) для расчёта нижней границы динамического диапазона 37

1.4. Отношение мгновенной мощности сигнала к шуму квантования () 43

1.5. Вид модуляции АМ

1.6. Параметры модулированного сигнала m=1; А₀=0.1 В; f₀=0.55 МГц; A₀/m=В

1.7. Коэффициент ослабления сигнала () 0,09

1.8. Спектральная плотность мощности шума 0,0910^-14

2. Содержание расчетно-пояснительной записки

2.1. Расчет спектральных характеристик сигнала.

2.2. Расчет практической ширины спектра сигнала.

2.3. Расчет интервала дискретизации и разрядности кода.

2.4. Расчет автокорреляционной функции АКФ кодового сигнала.

2.5. Расчет энергетического спектра кодового сигнала.

2.6. Расчет спектральных характеристик кодового сигнала.

(учитывать пять гармоник кодового сигнала.).

2.7. Расчет мощности модулированного сигнала.

2.8. Расчет вероятности ошибки при воздействии «белого шума».

2.9. Построение кодов Хэмминга.

3. Графический материал

3.1. Канал связи.

3.2. График исходного сигнала.

3.3. Графическое представление спектра сигнала.

3.4. График дискретизированного по времени сигнала.

3.5. АКФ и спектр закодированного сигнала.

3.6. График модулированного сигнала.

3.7. Графическое представление спектра модулированного сигнала.

3.8. Схема кодера и декодера для кода Хэмминга.

4. Форма исходного сигнала

Передача сообщений из одного пункта в другой составляет основу теории и техники связи. В курсе «Теория передачи сигналов» изучают единые методы решения разнообразных задач, возникающих при передаче информации от её источника до получателя.

Жизнь современного общества немыслима без широко разветвлённых систем передачи информации. Без них не смогли бы функционировать ни промышленность, ни сельское хозяйство, ни тем более, железнодорожный транспорт.

Передача, хранение и обработка информации имеют место не только при использовании технических устройств. Даже обычный разговор представляет собой обмен информацией. Все вопросы, связанные с передачей информации в природе и обществе, охватывает статистическая теория связи и теория передачи сигналов.

В общем случае под информацией понимают совокупность сведений о каких-либо событиях, явлениях или предметах. Для передачи и хранения информации используют различные знаки (символы) позволяющие выразить (представить её в некоторой форме. Совокупность знаков, содержащих ту или иную информацию, называют сообщением. Передача сообщений на расстояние осуществляется с помощью какого-либо материального переносчика или физического процесса. Физический процесс, отображающий передаваемое сообщение, называется сигналом.

В качестве сигнала можно использовать любой физический процесс, изменяющийся в соответствии с переносимым сообщением. В современных системах управления и связи чаще всего используют электрические сигналы. Физической величиной определяющей такой сигнал, является ток или напряжение.

В ряде случаев для передачи непрерывных сообщений используют дискретные сигналы. Передача данных в цифровой форме имеет ряд преимуществ перед аналоговой передачей.

В данном курсовом проекте рассматриваются возможные преобразования непрерывного сигнала в цифровой при его передаче по каналу связи и приема этого сигнала с наименьшей вероятностью ошибки.

1. Структурная схема канала связи

S (t) — передаваемый сигнал;

I — дискретизатор сигнала по времени;

II — квантователь по уровню;

III — кодер источника;

IV — кодер канала;

V — модулятор;

VI — демодулятор;

VII — декодер канала;

VIII — декодер источника;

IX — интерполятор;

S`(t) — получаемый сигнал.

На рис. 1. изображена структурная схема канала связи.

2. Расчет характеристик сигнала и разрядности кода

2.1. Расчет характеристик треугольного сигнала

2.1.1 Расчет спектра треугольного сигнала

Под спектром непериодического сигнала U (t) понимают функцию частоты U (j), которую получают на основе прямого преобразования Фурье вида

.

Аналитическая запись треугольного сигнала имеет вид

;

У заданного треугольного сигнала h=1.1 В, =10^-3 с. График заданного сигнала изображен на рис. 2.1.1. (Построение графиков и все вычисления проводились мной на ЭВМ в системе Mathcad 7 Professional).

Прямое преобразование Фурье для этой функции имеет вид

;

В/Гц.

Фазовый спектр треугольного сигнала равен нулю. График амплитудного спектра U () изображен на рис. 2.1.2.

2.1.2 Расчет полной энергии треугольного сигнала

Полная энергия сигнала в общем случае рассчитывается по выражению:

;

Пределы интегрирования определяются либо границами существования сигнала (у треугольного импульса), либо по спаду значения подынтегральной функции в 1000 раз по сравнению с её максимальным значением.

Для треугольного импульса имеем:

;

W=4.3 310^-4 Дж.

2.1.3 Определение практической ширины спектра треугольного сигнала

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства:

.

где

_c — искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

В одной системе координат построим графики W=4.3 310^-4 Дж, W`(_c), W``=W=3.83 110^-4 Дж. Находим значение _с по графику (рис. 2.1.3).

Точка пересечения W`(_c) и W`` соответствует значению _с. _с=6381 рад/с.

2.2 Расчет характеристик экспоненциального сигнала

2.2.1 Расчет спектра экспоненциального сигнала

Аналитическая запись экспоненциального сигнала имеет вид

;

У заданного сигнала h=1.4 В, =10⁵ c^-1. График заданного экспоненциального сигнала изображен на рис. 2.2.1.

Прямое преобразование Фурье для этой функции имеет вид

;

В/Гц.

График фазового спектра () экспоненциального сигнала построим по выражению:

График амплитудного спектра U () изображен на рис. 2.2.2.

График фазового спектра () изображен на рис. 2.2.3.

2.2.2 Расчет полной экспоненциального сигнала

Полная энергия экспоненциального сигнала рассчитывается аналогично энергии треугольного по выражению:

;

Пределы интегрирования t_н=0 с, t_в=3,510^-5 с.

Для экспоненциального сигнала имеем:

;

W=9.810^-6 Дж.

2.2.3 Определение практической ширины спектра экспоненциального сигнала

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства:

.

где

_c — искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

В одной системе координат построим графики W=9.810^-6 Дж, W`(<sub>c</sub>), W``=W=9.310<sup>-6</sup> Дж. Находим значение <sub>с</sub> по графику (рис. 2.2.3). Точка пересечения W`(_c) и W`` соответствует значению _с.

_с=1,2510⁶ рад/с.

2.3 Расчет характеристик колоколообразного сигнала

2.3.1 Расчет спектра колоколообразного сигнала

Аналитическая запись колоколообразного сигнала имеет вид

;

У заданного сигнала h=0.9 В, =10³ c^-2. График заданного колоколообразного сигнала изображен на рис. 2.3.1.

Прямое преобразование Фурье для этой функции имеет вид

В/Гц;

График амплитудного спектра U () изображен на рис. 2.3.2.

2.3.2 Расчет полной энергии колоколообразного сигнала

Полная энергия колоколообразного сигнала рассчитывается аналогично предыдущим по выражению:

;

Пределы интегрирования t_н=1,85 810^-3 с, t_в=1,85 810^-3 с.

Для колоколообразного сигнала имеем:

;

W=1.1 510^-3 Дж.

2.3.3 Определение практической ширины спектра колоколообразного сигнала

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства:

.

где

_c — искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

В одной системе координат построим графики W=1.1 510^-3 Дж, W`(<sub>c</sub>), W``=W=9.6410<sup>-4</sup> Дж. Находим значение <sub>с</sub> по графику (рис. 2.3.3). Точка пересечения W`(_c) и W`` соответствует значению _с.

_с=1958 рад/с.

2.4 Определение интервала дискретизации и разрядности кода

Дальнейший расчет, из соображений экономии спектра, ведем для колоколообразного сигнала. У этого сигнала частота среза оказалась меньше чем у других.

_с=1958 рад/с.

Интервал дискретизации t по времени определяем на основе теоремы Котельникова по неравенству:

t 1/(2F_в),

где F_в=_с/(2) — верхнее значение частоты спектра сигнала.

t=/1958=1,610^-3 с.

График дискретизированного по времени сигнала изображен на рис. 2.4.

Следующими этапами преобразования сигнала являются квантование импульсных отсчетов по уровню и кодирование.

Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона U_max принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

U_max=0,9 В.

Нижняя граница диапазона:

U_min=U_max/K; K — заданный коэффициент.

U_min=0,9/37=0,024 В.

Дальнейший расчет ведем следующим образом.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета U_min задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

=U_min²/P_шкв=43;

Известно, что:

P_шкв=²/12; - шаг шкалы квантования.

=U_max/n_кв; n_кв — число уровней квантования.

Отсюда:

;

n_кв=71;

При использовании двоичного кодирования:

n_кв = 2^m; m — разрядность кодовых комбинаций.

m = log n_кв;

m = log 71 = 7.

Длительность элементарного кодового импульса:

_и = t/(2m);

_и = 1,610^-3/14 = 1,14 310^-4 с.

сигнал дискретизация квантование код канал помеха

3. Расчет характеристик кодового сигнала

3.1 Расчет автокорреляционной функции кодового сигнала

Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

В качестве такой характеристики широко используется корреляционная функция сигнала (АКФ).

Найдем АКФ по формуле:

;

где ₁ = 2_и = 2,28 610^-4 с, B = Д_и, P₀ = m_и².

Кодовый сигнал представляет собой последовательность равновероятных импульсов нулевого и единичного уровня. Для транзисторного ключа на МП39 будем считать нулевым сигналом напряжение 0 В, единичным — 10 В.

Найдем дисперсию Д_и для кодового сигнала:

;

Д_и =10²0,5 + 0 =50.

Найдем математическое ожидание для кодового сигнала:

;

m_и = 100,5 + 0 = 5.

Отсюда В = 50 В², P₀ = 25 В².

График АКФ кодового сигнала приведен на рис. 3.1.

3.2 Рассчитаем энергетический спектр кодового сигнала по формуле

График энергетического спектра кодового сигнала изображен на рис. 3.2.

3.3 Расчет спектральных характеристик кодового сигнала

Для расчета спектральных характеристик выберем сигнал вида 1−0-1−0-1…

Это будет прямоугольный сигнал с амплитудой, равной напряжению нулевого уровня U₁ = 10 В.

Ряд Фурье для такого сигнала будет иметь вид:

где; при n = 1, 3, … .

А₁ = 6.366 В, А₃ = 2.122 В, А₅ = 1.273 В.

Амплитудно-частотная характеристика кодового сигнала изображена на рис. 3.3.

4. Расчет характеристик модулированного сигнала

4.1 Рассчитаем спектральные характеристики амплитудно-модулированного (АМ) сигнала

АМ сигнал можно записать математически как:

где А₀ = 0.1 В — амплитуда несущей,

m = 1 — глубина модуляции,

В = А₀/m, В = 0.1 В — амплитуда входного (кодового) сигнала.

₁ = 2.810⁴ рад/с,

₀ = 0.55 МГц,

А₁ = 0.064 В, А₃ = 0.021 В, А₅ = 0.013 В.

Найдем амплитуды гармоник АМ сигнала a_n из формул:

Частоты гармоник верхней боковой полосы _n и нижней боковой полосы ^`_n найдем по формулам:

_n = ₀ + n₁, ^`_n = ₀ — n₁.

Результаты вычисления амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) АМ сигнала сведены в таблицу.

На рис. 4.1. изображен спектр АМ сигнала.

График АМ сигнала изображен на рис. 4.2.

4.2 Рассчитаем мощность АМ сигнала

5. Расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума

Вероятность ошибки P₀ зависит от мощности (энергии) сигнала и мощности помех.

E — энергия разностного сигнала. Для АМ энергия сигнала нулевого уровня равна нулю. Энергию сигнала единичного уровня вычислим по формуле:

N₀ = 0.0910^-14 Вт/Гц — спектральная плотность мощности шума.

F — функция Лапласа.

Найдем вероятность ошибки:

6. Построение кодов Хэмминга

Длину кодовой комбинации n кода Хэмминга при заданном числе информационных элементов m можно определить из неравенства:

где m — разрядность не избыточного кода, определенного в п. 2.3.

n_кв=71 — число уровней квантования; n=7.

Из неравенства находим m=11

m = n+ r,

где r — количество проверочных кодовых комбинаций, r=11−7=4

Выразим n_кв в двоичной форме — 1 000 111.

Определим позиции проверочных элементов в кодовой комбинации. Для этого запишем номера позиций кодовой комбинации в двоичной системе счисления (таблица 2).

Таблица 2

Из таблицы видим, что единицу в первом разряде имеют все нечетные номера позиций кодовой комбинации. Следовательно, первая проверка по модулю два должна охватывать все нечетные номера позиций:

S₁=a₁+ a₃+ a₅+ a₇+ a₉+а₁₁;

Проверочным элементом является первая позиция кодовой комбинации, а ее значение можно определить из выражения:

a₁= a₃+ a₅+ a₇+ a₉+а₁₁;

Результат второй проверки определяет второй разряд двоичного числа. Из таблицы находим все номера позиций, имеющие единицу во втором разряде:

S₂=a₂+ a₃+a₆+a₇+ a₁₀+а₁₁;

Проверочным элементом является вторая позиция:

а₂=a₃+a₆+a₇+ a₁₀+а₁₁;

Рассуждая аналогично, найдем номера позиций третьей и четвертой проверок, а также проверочные элементы:

S₃=a₄+ a₅+a₆+a₇; а₄=a₅+a₆+a₇;

S₄=a₈+ a₉+a₁₀+а₁₁; а₈=a₉+a₁₀+а₁₁;

Следовательно, проверочными элементами являются 1-я, 2-я, 4-я и 8-я позиции.

Например для 71 уровня квантования код:

а₃=1; а₅=0; а₆=0; а₇=0; а₉=1; а₁₀=1; а₁₁=1 (расписали 1 000 111)

Определим значения проверочных элементов:

а₁=1+0+0+1+1=1; а₂=1+0+0+1+1=1;

а₄=0+0+1=1; а₈=1+1+1=1.

В результате получили комбинацию кода Хэмминга для 71-го уровня — 11 110 001 111, которая будет передана в канал связи.

Кодек для кода Хэмминга изображен на рис. 6.

Заключение

В ходе работы был произведен расчет спектра различных сигналов и их энергетических характеристик, была вычислена практическая ширина спектра каждого сигнала. Рассчитана разрядность кода, которым может быть представлен сигнал. Рассчитаны спектральные характеристики кодового сигнала и амплитудно-модулированного сигнала. Рассчитана вероятность ошибки при приеме сообщения при воздействии белого шума.

Также был построен код Хэмминга и кодек канала для передачи сообщений посредством кодов Хэмминга.

Баженов Н.Н., Картавцев А. С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи: Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теоретические основы транспортной связи» / Омский ин-т инж. ж.-д. транспорта. — Омск, 1990.-24 с.

Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы — М.: Радио и связь, 1986.-512 с.