Медианная фильтрация

Федеральное Агентство по образованию Российской Федерации

Пояснительная записка к курсовому проекту

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

Медианная фильтрация

1. Теоретическая часть ЦОС

1.1 Медианный фильтр

2. Пример медианной фильтрации

3. Расчет отношения сигнал/шум (ОСШ)

4. Реализация медианной фильтрации при помощи MATLAB 2011

5. Обработка тестового изображения

5.1 Обработка в ImageJ

5.2 Обработка в MatLab 2011

Список использованных источников

медианный фильтрация цифровой сигнал Цифровая обработка сигналов нашла широкое применение в различных сферах деятельности: телевидении, радиолокации, связи, метеорологии, сейсмологии, медицине, анализе речи и телефонии, а также при обработке изображений и полей различной природы. В некоторых сферах экономической деятельности, например, таких как банковское дело, обработка цифровых финансовых потоков имеет принципиальное значение[8].

Развитие вычислительной и микропроцессорной техники приводит к созданию все более надежного, быстродействующего, миниатюрного, качественного и недорогого оборудования. Цифровые технологии стали столь массовыми, что их используем в обыденной жизни, особо не замечая: сотовый телефон, проигрыватель компакт-дисков, компьютер и т. д[8][7].

В ходе данной работы необходимо рассмотреть достоинства и недостатки медианной фильтрации. Ознакомиться с принципами работы медианных фильтров. При помощи программы MatLab712 R2011a, на примере показать его работу.

1. Теоретическая часть ЦОС

1.1 Медианный фильтр

Все линейные алгоритмы фильтрации приводят к сглаживанию резких перепадов яркости изображений, прошедших обработку. Этот недостаток, особенно существенный, если потребителем информации является человек, принципиально не может быть исключен в рамках линейной обработки. Дело в том, что линейные процедуры являются оптимальными при гауссовском распределении сигналов, помех и наблюдаемых данных. Реальные изображения, строго говоря, не подчиняются данному распределению вероятностей. Причем, одна из основных причин этого состоит в наличии у изображений разнообразных границ, перепадов яркости, переходов от одной текстуры к другой и т. п. Поддаваясь локальному гауссовскому описанию в пределах ограниченных участков, многие реальные изображения в этой связи плохо представляются как глобально гауссовские объекты. Именно это и служит причиной плохой передачи границ при линейной фильтрации[1].

Вторая особенность линейной фильтрации — ее оптимальность, как только что упоминалось, при гауссовском характере помех. Обычно этому условию отвечают шумовые помехи на изображениях, поэтому при их подавлении линейные алгоритмы имеют высокие показатели. Однако, часто приходится иметь дело с изображениями, искаженными помехами других типов. Одной из них является импульсная помеха. При ее воздействии на изображении наблюдаются белые или (и) черные точки, хаотически разбросанные по кадру. Применение линейной фильтрации в этом случае неэффективно — каждый из входных импульсов (по сути — дельта-функция) дает отклик в виде импульсной характеристики фильтра, а их совокупность способствует распространению помехи на всю площадь кадра[3].

Удачным решением перечисленных проблем является применение медианной фильтрации, предложенной Дж. Тьюки в 1971 г. для анализа экономических процессов. Наиболее полное исследование медианной фильтрации применительно к обработке изображений представлено в сборнике. Отметим, что медианная фильтрация представляет собой эвристический метод обработки, ее алгоритм не является математическим решением строго сформулированной задачи. Поэтому исследователями уделяется большое внимание анализу эффективности обработки изображений на ее основе и сопоставлению с другими методами.

При применении медианного фильтра (МФ) происходит последовательная обработка каждой точки кадра, в результате чего образуется последовательность оценок. В идейном отношении обработка в различных точках независима (этим МФ похож на масочный фильтр), но в целях ее ускорения целесообразно алгоритмически на каждом шаге использовать ранее выполненные вычисления.

При медианной фильтрации используется двумерное окно (апертура фильтра), обычно имеющее центральную симметрию, при этом его центр располагается в текущей точке фильтрации. На рис. 1.1 показаны два примера наиболее часто применяемых вариантов окон в виде креста и в виде квадрата. Размеры апертуры принадлежат к числу параметров, оптимизируемых в процессе анализа эффективности алгоритма. Отсчеты изображения, оказавшиеся в пределах окна, образуют рабочую выборку текущего шага.

а)б) Рис. 1.1. Примеры окон при медианной фильтрации

Двумерный характер окна позволяет выполнять, по существу, двумерную фильтрацию, поскольку для образования оценки привлекаются данные как из текущих строки и столбца, так и из соседних. Обозначим рабочую выборку в виде одномерного массива; число его элементов равняется размеру окна, а их расположение произвольно. Обычно применяют окна с нечетным числом точек (это автоматически обеспечивается при центральной симметрии апертуры и при вхождении самой центральной точки в ее состав). Если упорядочить последовательность по возрастанию, то ее медианой будет тот элемент выборки, который занимает центральное положение в этой упорядоченной последовательности. Полученное таким образом число и является продуктом фильтрации для текущей точки кадра. Понятно, что результат такой обработки в самом деле не зависит от того, в какой последовательности представлены элементы изображения в рабочей выборке. Введем формальное обозначение описанной процедуры в виде:

x^*=med (y₁, y₂,…, y_n) (1.1)

Рассмотрим пример. Предположим, что выборка имеет вид: Y={136,110,99,45,250,55,158,104,75}, а элемент 250, расположенный в ее центре, соответствует текущей точке фильтрации (i₁, i₂) (рис. 1.1). Большое значение яркости в этой точке кадра может быть результатом воздействия импульсной (точечной) помехи. Упорядоченная по возрастанию выборка имеет при этом вид {45,55,75,99,104,110,136,158,250}, следовательно, в соответствии с процедурой (1.1), получаем x^*=med (y₁, y₂,…, y₉)=104. Видим, что влияние «соседей» на результат фильтрации в текущей точке привело к «игнорированию» импульсного выброса яркости, что следует рассматривать как эффект фильтрации. Если импульсная помеха не является точечной, а покрывает некоторую локальную область, то она также может быть подавлена. Это произойдет, если размер этой локальной области будет меньше, чем половина размера апертуры МФ. Поэтому для подавления импульсных помех, поражающих локальные участки изображения, следует увеличивать размеры апертуры МФ[8].

Из (1.1) следует, что действие МФ состоит в «игнорировании» экстремальных значений входной выборки — как положительных, так и отрицательных выбросов. Такой принцип подавления помехи может быть применен и для ослабления шума на изображении. Однако исследование подавления шума при помощи медианной фильтрации показывает, что ее эффективность при решении этой задачи ниже, чем у линейной фильтрации.

Результаты экспериментов, иллюстрирующие работу МФ, приведены на рис. 1.2. В экспериментах применялся МФ, имеющий квадратную апертуру со стороной равной 3. В левом ряду представлены изображения, искаженные помехой, в правом — результаты их медианной фильтрации. На рис. 1.2 а и рис. 1.2.в показано исходное изображение, искаженное импульсной помехой. При ее наложении использовался датчик случайных чисел с равномерным на интервале [0,1] законом распределения, вырабатывающий во всех точках кадра независимые случайные числа. Интенсивность помехи задавалась вероятностью p ее возникновения в каждой точке. Если для случайного числа n_i1i2, сформированного в точке (i₁, i₂), выполнялось условие n_i1i2

_i1i2 в этой точке замещалась числом 255, соответствующим максимальной яркости (уровню белого). На рис. 1.2.а действием импульсной помехи искажено 5% (p=0.05), а на рис. 3.11.в — 10% элементов изображения. Результаты обработки говорят о практически полном подавлении помехи в первом случае и о ее значительном ослаблении во втором[4][5].

а)б)

в)г)

д)е) Рис. 1.2. Примеры медианной фильтрации Рис. 1.2.д показывает изображение, искаженное независимым гауссовским шумом при отношении сигнал/шум q²=-5 дБ, а рис. 1.2.е — результат его фильтрации медианным фильтром. Условия данного эксперимента позволяют сравнивать его результаты с результатами рассмотренной выше линейной фильтрации. В таблице 1.1 приведены данные, дающие возможность такого сравнения. Для различных методов фильтрации в этой таблице приводятся значения относительного среднего квадрата ошибок д² и коэффициента ослабления шума г для случая, когда отношение сигнал/шум на входе фильтра составляет -5 дБ.

Табл.1.1. Сравнение эффективности подавления шума при фильтрации изображений, q²=-5 дБ[8].

Наибольшей эффективностью обладает двумерный фильтр Винера, уменьшающий средний квадрат ошибок в 17 раз. Медианный фильтр имеет наименьшую из всех рассмотренных фильтров эффективность, ему соответствует г =5.86. Тем не менее, это число свидетельствует о том, что и при его помощи удается значительно снизить уровень шума на изображении.

Вместе с тем, как говорилось выше, и что демонстрирует рис. 1.2.е, медианная фильтрация в меньшей степени сглаживает границы изображения, чем любая линейная фильтрация. Механизм этого явления очень прост и заключается в следующем. Предположим, что апертура фильтра находится вблизи границы, разделяющей светлый и темный участки изображения, при этом ее центр располагается в области темного участка. Тогда, вероятнее всего, рабочая выборка будет содержать большее количество элементов с малыми значениями яркости, и, следовательно, медиана будет находиться среди тех элементов рабочей выборки, которые соответствуют этой области изображения. Ситуация меняется на противоположную, если центр апертуры смещен в область более высокой яркости. Но это и означает наличие чувствительности у МФ к перепадам яркости[4]. Существует огромное множество интерпретаций методов работы МФ, рассмотрим ещё один, на примере использование его при обработке изображения клеток крови — гранулоцитов. Перед измерением размера гранулоцита его изображение подвергалось сглаживанию медианным фильтром с целью устранения гранул, которые могут влиять на результат измерения. Обычно в процессе медианной фильтрации значения сигнала в некоторой окрестности точки, в которой вычисляется отклик фильтра, при помощи сортировки по возрастанию или убыванию выстраиваются в вариационный ряд. Отклик фильтра определяется как медиана — значение сигнала середины (центра) вариационного ряда. В дальнейшем эту окрестность будем называть окном фильтра. Кроме того, для упрощения будем рассматривать фильтр с квадратным окном размером n? n .

Следовательно, при вычислении медианы в окне фильтра число операций с данными, например, число операций сортировки, равно n². При обработке изображения размером M? N точек (пикселей) число операций с данными будет велико и составит M? N?n². Различные операции требуют разных затрат времени выполнения. При последовательном сканировании изображения количество наиболее трудоемких операций сортировки можно сократить. Так, при переходе от точки о1 с окном w1 к точке о2 с окном w2 на рис. 1.3. можно из вариационного ряда окна w1 исключить точки столбца 1, отсортировать точки столбца 6 и объединить два полученных вариационных ряда в один. Такой алгоритм работает быстрее по сравнению с независимой сортировкой в каждом окне, однако общее число манипуляций с данными (пусть и менее трудоемких), например, хотя бы перебор данных, остается тем же самым, т. е. достаточно большим. Поэтому при медианной фильтрации изображений обычно ограничиваются окнами 3?3 или 5?5 и редко больше, что вполне достаточно, например, для устранения импульсных помех[4].

Рис. 1.3. Сканирование изображения окном медианного фильтра Такие же ограничения вынужденно принимаются и для различных нелинейных операций морфологической обработки, выполняющейся в геометрическом пространстве изображения, и которые в отличие от линейных операций невозможно выполнять в пространстве Фурье. Вместе с тем существует ряд задач обработки изображений, которые можно было бы эффективно решить при помощи медианного фильтра, но они требуют окна большого размера. Одна из таких задач будет рассмотрена ниже. Поэтому возможное повышение скорости медианной фильтрации сулит большие перспективы в задачах обработки изображений.

Методы медианной фильтрации достаточное разнообразны. Их можно усовершенствовать. Один из таких апгрейдов называется — адаптивная медианная фильтрация.

Медианная фильтрация имеет и свои недостатки. В частности, экспериментально установлено, что у данного метода относительно слабая эффективность при фильтрации так называемого флуктуационного шума. Кроме того, при увеличении размера маски происходит размытие контуров изображения и, как следствие, снижение четкости изображения. Указанные недостатки метода можно уменьшить до минимума, если воспользоваться медианной фильтрацией с динамическим размером маски (адаптивной медианной фильтрацией). Принцип вычисления центрального отсчета при локальной обработке изображения скользящим окном остается все тот же. Эта медиана из набора упорядоченных отсчетов, попавших в окно (маску), а размер скользящего окна (маски) динамический и зависит от яркости соседних пикселей.

Введем пороговый коэффициент отклонения яркости S_threshold = [0,1]. Величины отклонения яркости соседних пикселей A (r, n, m), попавших в окно размером n? m, относительно яркости центрального отсчета A® запишутся в виде (1.2):

(1.2)

Тогда критерий, согласно которому необходимо увеличивать размер маски с центральным отсчетом r, будет иметь вид:

(1.3)

На основе описанного алгоритма была разработана компьютерная программа, подтвердившая на практике преимущества адаптивной медианной фильтрации[1][3][5].

2. Пример медианной фильтрации

Для того чтобы показать как работает медианная фильтрация воспользуемся программой ImageJ. В качестве примера выберем следующую картинку:

Рис. 2.1. — Рисунок без шума.

Наложим шум из стандартного набора программы ImageJ, Salt and Pepper.

Рис. 2.2. — С шумом Salt and Pepper.

Теперь используя встроенный в ImageJ медианный фильтр попробуем убрать шум используя разные параметры фильтрации.

Рис. 2.3. — Радиус фильтрации 1 пиксель.

Рис. 2.4. — Радиус фильтрации 2 пиксель.

Рис. 2.5. — Радиус фильтрации 3 пиксель.

Как видно из рисунков при увеличении радиуса фильтрации изображение получается все более размытым. Это происходит в следствии увеличения диапазона значений яркости находящихся в пределах маски фильтра. Усредняя их, полезная информация рисунка теряется, а в частности теряются границы.

3. Расчет отношения сигнал/шум (ОСШ)

Для того чтобы рассчитать ОСШ воспользуемся программным пакетом MatLab 2011. В качестве объекта исследования возьмем рис. 2.1 наложи на него шум «Salt and Peper» и обработаем изображение медианным фильтром с радиусом в 4 пикселя. В итоге получим:

Рис. 3.1 — Изображение с шумом.

Рис. 3.2 — Изображение обработанное медианным фильтром с радиусом 4 пикселя.

SNR₁(black)=101,4 — ОСШ для изображения на рис. 3.1.

SNR₂(black)=50 — ОСШ для изображения на рис. 3.2.

SNR₁(white)=1,8 — ОСШ для изображения на рис. 3.1.

SNR₂(white)=0,6 — ОСШ для изображения на рис. 3.2.

Из приведенных значений видно, что после обработки изображения медианным фильтром величина шумовой составляющей по черному цвету снизилась на 22 единицы, а по белому на 1 единицу. Но стоит напомнить, что фильтрация происходила с радиусом в 4 пикселя, то есть качество изображения заметно ухудшилось.

Пиковое отношение сигнала к шуму (англ. peak signal-to-noise ratio) обозначается аббревиатурой PSNR и является инженерным термином, означающим соотношение между максимумом возможного значения сигнала и мощностью шума, искажающего значения сигнала. Поскольку многие сигналы имеют широкий динамический диапазон, PSNR обычно измеряется в логарифмической шкале в децибелах.

PSNR наиболее часто используется для измерения уровня искажений при сжатии изображений. Проще всего его определить через среднеквадратичную ошибку (СКО), которое для двух монохромных изображений I и K размера m? n, одно из которых считается зашумленным приближением другого, вычисляется так:

В нашем случае СКО = 1,6?10³. В случае если бы медианный фильтр сработал идеально отбросив все шумы, СКО было бы рано 0.

PSNR определяется так:

где MAX_I — это максимальное значение, принимаемое пикселем изображения. Когда пиксели имеют разрядность 8 бит, MAX_I = 255. Вообще говоря, когда значения сигнала представлены линейно (PCM) с B битами на значение, максимально возможное значение MAX_I будет 2^B-1.

Термин «Пиковое отношение сигнала к шуму» является часто употребляемым, но не совсем верным дословным переводом английского термина «peak signal-to-noise ratio». Правильным переводом будет являться «отношение пикового уровня сигнала к шуму». Здесь учитывается тот факт, что при вычислении PSNR вычисляется именно отношение максимально возможного («пикового») сигнала по отношению к уровню шума, а не ищется максимальное («пиковое») отношение вычисленного значения сигнал/шум, как можно было бы понять из неверного дословного перевода.

В нашем случае PSNR=16,1. То есть, отношение пикового уровня сигнала к шуму равно 16,1. Чем ближе это значение к нулю, тем больше шумов в исследуемом изображении[2][3][4].

Ниже представлена сводная таблица 3.1, в которой сравнивались исходное изображение (рис. 3.1), с обработанными медианным фильтром:

Таблица 3.1 — Результаты расчетов

4. Реализация медианной фильтрации при помощи MATLAB 2011

В MATLAB 2011 медианная фильтрация похожа на использование усредняющего фильтра, где значение интенсивности каждого пикселя представляет собой усредненное значение интенсивностей пикселей соответствующей окрестности. Во многих случаях использование медианного фильтра при решении задач устранения шума является более эффективным, чем обычное усреднение. Применение медианной фильтрации приводит к меньшим искажениям границ, в сравнении с операцией усреднения. Функция medfilt2 выполняет медианную фильтрацию.

Ниже представлен листинг медианной фильтрации:

clc, clear all, close all

input = imread ('E:inputevariste-011.jpg');

figure, imshow (input);

L = medfilt2(input,[2 2]);

figure, imshow (L)

В данном случае изображение на рис. 3.1 было обработано фильтром маской с апертурой [2;2]. На выходе получили:

Рис. 4.1 — Результат медианной фильтрации, апертура [2;2]

Увеличим апертуру до [4;4], получим:

Рис. 4.2 — Результат медианной фильтрации, апертура [4;4]

Увеличим апертуру до [7;7], получим:

Рис. 4.3 — Результат медианной фильтрации, апертура [7;7]

Последний рисунок 4.3 показывает нам, что медианная фильтрация имеет предел, не преодолевая который можно получить достаточно качественно обработанное изображение. Увеличивая апертуру маски более чем [7;7] изображения становится размытым. Усреднение на границах черного и белого растягивается информативную часть изображения и в результате этого пропадают четкие контуры.

При помощи MatLab 2011 рассчитаем шумовые составляющие и сравним качество работы медианного фильтра в ImageJ с фильтром встроенный в MatLab 2011.

Ниже представлена сводная таблица 4.1, в которой сравнивались исходное изображение (рис. 3.1), с обработанными медианным фильтром:

Таблица 4.1 — Результаты расчетов

5. Обработка тестового изображения

5.1 Обработка в ImageJ

С помощью программы ImageJ исследуем работу медианного фильтра. В качестве объекта исследования выберем тестовое изображение «Kadr.bmp».

Нанесем на «Kadr.bmp» шумы «Salt and Pepper», обработаем медианным фильтром, увеличивая апертуру. Последний рисунок 5.5 будет обработан с апертурой [8;8] с целью показать каков результат обработки при чрезмерно большом радиусе рабочего окна фильтра.

Рис. 5.1. — Рисунок без шума.

Рис. 5.2 — Изображение с шумом.

Рис. 5.3 — Результат медианной фильтрации, апертура [2;2]

Рис. 5.4 — Результат медианной фильтрации, апертура [3;3]

Рис. 5.5 — Результат медианной фильтрации, апертура [4;4]

Рис. 5.6 — Результат медианной фильтрации, апертура [8;8]

Из рисунка 5.6 видно, что четкие границы исчезли в результате не корректной фильтрации. Ниже в таблице 5.1 приведены данные о расчетах шумов и УИК. Расчет был выполнен при помощи программы MATLAB 2011.

Таблица 5.1 — Результаты расчетов

5.2 Обработка в MatLab 2011

С помощью программы MATLAB 2011 исследуем работу медианного фильтра. В качестве объекта исследования выберем тестовое изображение «Kadr.bmp».

Листинг программы выполняющей медианную фильтрацию:

clc, clear all, close all

input = imread ('E:inputKadr.bmp');

figure, imshow (input);

L = medfilt2(input,[2 2]);

figure, imshow (L)

Нанесем на «Kadr.bmp» шумы «Salt and Pepper», обработаем медианным фильтром, увеличивая апертуру. Последний рисунок 5.5 будет обработан с апертурой [8;8] с целью показать каков результат обработки при чрезмерно большом радиусе рабочего окна фильтра.

Рис. 5.6 — Изображение с шумом.

Рис. 5.7 — Результат медианной фильтрации, апертура [2;2]

Рис. 5.8 — Результат медианной фильтрации, апертура [4;4]

Рис. 5.9 — Результат медианной фильтрации, апертура [5;5]

Рис. 5.10 — Результат медианной фильтрации, апертура [10;10]

Из рисунка 5.10 видно, что четкие границы исчезли в результате не корректной фильтрации. Ниже в таблице 5.2 приведены данные о расчетах шумов и УИК. Расчет был выполнен при помощи программы MATLAB 2011.

Таблица 5.2 — Результаты расчетов

Список использованных источников

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений: [пер. с англ.] / под ред. П. А. Чочиа. — М.: Техносфера, 2005. — 1072 с.

2. Измерительное телевидение: учеб. пособие для вузов / Г. Д. Казанцев, М. И. Курячий, И. Н. Пустынский. — М.: Высш. шк., 1994. — 288 с.

3. Курячий М. И. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. — Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2002. — 175 с.

4. Ярославский Л. П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голо-графии: введение в цифровую оптику. — М.: Радио и связь, 1987. — 296 с.

5. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, Л. А. Яковлев. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — 464 с.

6. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений / [пер. с англ.] / Т. С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд, Дж. Нуссбаумер [и др.]; под ред. Т. С. Хуанга. — М.: Радио и связь, 1984. — 224 с.

7. http://www.controlstyle.ru/articles/text/amf/; Адаптивная медианная фильтрация; Яровой И.

8. http://sernam.ru/book_kir.php?id=25; Научная библиотека избранных естественнонаучных изданий научная библиотека. Медианная фильтрация.