Методы исследования. 
Аэрогравитационный транспорт пылевидных средств химизации

Основные параметры аэрожелобов для каждого материала устанавливаются экспериментально. В связи с тем что исследования по пневматическому транспортированию пылевидных средств химизации в аэрожелобах отсутствуют, возникла необходимость обосновать их параметры. Это вызвало необходимость проведения данных исследований. Для исследований использовался аэрожелоб (рисунок). Материал через загрузочную воронку 1 поступает в грузовой канал 2, который отделен от воздушного канала 5 пористой перегородкой 3. Воздух из вентилятора подается в воздухораспределитель, откуда через пористую перегородку проходит сквозь материал и выходит в конце желоба, а материал перемещается по наклонному желобу вниз (рис. 1).

Рис. 1 Схема аэрожелоба: 1 — воронка загрузочная; 2 — канал грузовой; 3 — перегородка пористая; 4 — патрубок выгрузной; 5 — канал воздушный; 6 — вентилятор; 7 — желоб в сборе

Основная часть Скорость фильтрации по всей длине аэрожелоба должна быть не ниже критической, при которой прекращается аэрация материала, а следовательно, и его перемещение. Ввиду малых относительных перепадов давления движение воздуха будем рассматривать как движение несжимаемой жидкости и воспользуемся дифференциальным уравнением движения такой жидкости с переменной массой, полученным Г. А. Петровым [2]. В случае отделения частиц жидкости от основного потока оно имеет следующий вид:

(1).

где — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей по живому сечению для случая применения закона количества движения; - скорость воздуха в аэрожелобе, м/с; Р — давление воздуха в аэрожелобе, Па; - объемный вес воздуха, Н/м³; - ускорение свободного падения, м/с²; - градиент гидравлических сопротивлений, Па/м; - проекция скорости частиц, отделяющихся от потока, на направление скорости основного потока, м/с; - расход воздуха в сечении А-А, м³/с.

При установившемся движении и.

(2).

Последние два члена уравнения (2) характеризуют величину изменения энергии при движении потока. После преобразования уравнения:

(3).

где — площадь поперечного сечения потока, м².

Для.

(4).

Градиент аэродинамических сопротивлений:

(5).

где R — гидравлический радиус, м; - коэффициент сопротивления трению.

Выразим градиент гидравлических сопротивлений:

(5а) где .

Учитывая уравнение (5а) и :

(6).

Обозначив и произведя интегрирование, получим:

(7).

где и — соответственно давление и расход воздуха в начале воздухопровода.

Из уравнения (2) имеем:

. (8).

Первый член правой части формулы (8) характеризует потери на трение, а второй учитывает изменение массы потока.

Подставив и после интегрирования уравнения (8) в пределах от нуля до, получим:

(8а) Для приведения уравнений (7) и (8а) к конечному виду необходимо знать закон изменения расхода по длине пути .

Уравнение (6) можно представить в виде:

(9).

где — давление воздуха, Па.

В дальнейшем все, относящееся к нижней части аэрожелоба величины будем обозначать индексом 1, а к верхней — 2.

С другой стороны,.

(10).

где B — коэффициент пропорциональности, учитывающий свойства пористой перегородки;

b — ширина желоба, м; - высота слоя, м; - объемный вес материала в аэрированном состоянии, Н/м³; - давление в верхней части желоба, Па.

В формуле (10) вместо параболической [3] принята линейная зависимость аэродинамического сопротивления пористой перегородки от скорости фильтрации. Это не оказывает существенного влияния на определяемые параметры, так как показатель степени скорости фильтрации для пылевидных материалов малы и изменяются в незначительных пределах по всей длине желоба. Так, для шестислойного хлопчатобумажного приводного ремня максимальная ошибка не превышает 2%.

С целью исключения из уравнений (9) и (10) дифференцируем уравнение (10) по, учитывая, что, получим:

. (11).

Подставив отношение, согласно выражению (9), в уравнение (11), обозначив, получим:

. (12).

Уравнение (9) для верхней части желоба имеет вид:

. (13).

Но:

(13а) поэтому:

.

Подставив это выражение в уравнение (12), получим:

(14).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Верхняя крышка желоба отсутствует, т. е. коэффициенты с индексом 2 равны нулю. Уравнение (14) примет вид:

(15).

Если проанализировать уже разработанные экспериментальным путем параметры аэрожелобов для транспортирования пылевидных материалов [3, 4], то очевидно, что динамическое давление в начале воздухопровода составляет 4% статического. Поэтому вторым членом левой части уравнения (15) можно пренебречь, что хотя и дает некоторую погрешность, но позволяет решить уравнение (15):

(16).

где .

Уравнение (16) приводим к виду:

(17).

где .

Разделяем переменные и интегрируем:

(18).

откуда:

; (19).

. (20).

Для нахождения постоянных значений интегрирования и определим граничные условия:

1) в начале воздухопровода дана величина расхода воздуха, т. е.

(для); (21).

2) дана величина давления воздуха, т. е. для .

Отсюда:

(для) (22).

и (23).

Принимая во внимание первое граничное условие, запишем уравнение (20) в следующем виде:

. (24).

из которого определим значение расхода как функцию переменного х с помощью функции Вейерштрасса х.

Обозначим:

аэрожелоб транспортирование пылевидный удобрение.

(25).

тогда уравнение (24) приводится к виду:

. (26).

Но:

(27).

поэтому:

(28).

где. (29).

Согласно определению Вейерштрасса [5], если:

(30).

то, (31).

где и — инварианты двоякопериодической функции.

На основании выражения (30) имеем:

(32).

и для.

(33).

что позволяет по таблице [6] вычислить. Вычисления облегчаются тем, что здесь имеет место эквиангармонический случай вейерштрассовых функций, когда первый инвариант обращается в нуль.

Применяя формулу однородности [5], запишем:

(34).

а для функции составлены таблицы для вычисления ее значения и значений ее первой производной [6].

Определяем скорость фильтрации:

. (35).

Из уравнения (10) определяем статическое давление:

. (36).

Как и для турбулентного, в случае ламинарного течения воздуха:

; (37).

.

где — коэффициент кинематической вязкости воздуха, м²/с; - коэффициент формы.

Уравнение (37) интегрируется в показательных функциях. Воспользуемся гиперболическими функциями и проинтегрируем уравнение (37):

. (38).

Внесем в первое начальное условие (21):

. (39).

Дифференцируя выражение (38) и внося во второе начальное условие, получаем:

.

откуда:

. (40).

Подставив значения и в уравнение (38), будем иметь:

(41).

и для скорости фильтрации получим:

. (42).

Давление:

. (43).

2.. Рядом авторов [3, 4] установлено соотношение:

.

где — высота нижней части желоба, м; - расстояние от верхней крышки желоба до материала при таких параметрах пневмотранспортных желобов, когда статическое давление в воздухораспределителе практически постоянно, м.

В этом случае скорость фильтрации:

. (44).

Давление:

(45).

где — длина аэрожелоба, м;

.

При ламинарном течении воздуха в верхней части желоба скорость фильтрации и давление соответственно:

. (46).

. (47).

Рассмотрим общий случай. Уравнение (14) без членов, учитывающих изменение статического напора за счет динамического:

. (48).

Обозначив:; ;; , разделяем переменные и интегрируем:

. (49).

Постоянную определяем из граничных условий. Проинтегрируем уравнение (13) от до. Учитывая, что статическое давление в верхней части в конце желоба равно нулю, получаем:

. (50).

Подставляем уравнение (13а) в выражение (50), будем иметь:

. (51).

Скорость фильтрации при :

(52).

так как при.

.

из уравнения (49).

.

Скорость фильтрации:

. (53).

Члены (+) и (-) берутся с указанными знаками при, при знаки следует поменять на обратные. Определение значения затруднено, так как необходимо вычислять определенные интегралы и, где закон изменения вдоль еще неизвестен.

Для определения в уравнении (50) заменим, (- расход воздуха на единице длины желоба). В результате такой замены значение будет ниже действительного, что, однако, приемлемо для расчета.

После подстановки:

. (54).

Пользуясь формулами (54) и (52), определяем скорость фильтрации в начале воздухораспределителя:

. (55).

Из формулы (49) имеем:

. (56).

Разделяем переменные уравнения (49) и интегрируем:

. (57).

Приведем интеграл (57) к эллиптическому интегралу первого рода в нормальной форме Вейерштрасса путем подстановки:

Тогда, (58).

где; - инварианты эллиптической функции, действительные числа.

Представим интеграл (58) в виде:

(59).

где и .

Так как подынтегральное выражение (59) имеет особые точки (точки разветвления (), то интеграл не является однозначной функцией от нижнего предела: его значение зависит от пути интегрирования, ведущего от точки к .

Определим значение дискриминанта .

Вычисление в общем виде громоздко, поэтому, подставив данные [3], найдем, что намного порядков меньше, откуда .

Значит, многочлен () имеет два сопряженных и один вещественный корень. Обозначая вещественный корень через для мнимых корней, будем иметь:

.

Известно, что многочлен принимает положительные значения только если .

Вычисление аргумента, когда дано, при, производится по формуле [6]:

(60).

где , — эллиптическая функция Якоби в обозначении Гудермана.

Из уравнения (60) имеем:

. (61).

Принимая, что амплитуда эллиптического интеграла:

(62).

получаем:

. (63).

Отсюда определяем амплитуду. Модулярный угол определяем из равенства:

. (64).

Зная и, по таблице [6] находим соответствующий аргумент. Уравнение (59) можно представить в виде:

.

Значение вычисляем по формуле:

. (65).

Модулем при вычислении служит:

. (65а).

По модулю из таблицы [5] определяем значение полного эллиптического интеграла. При из той же таблицы определяем амплитуду интеграла и находим, которое подставляем в формулу (65).

Если, то необходимо пользоваться формулой приведения:

.

Скорость фильтрации:

. (66).

Первую производную для случая определяем по формулам [6].

Из уравнения (10):

(67).

При интеграл (57) решается в элементарных функциях, но выразить через в явном виде затруднительно.

Применяя приближенную формулу (54) для определения максимального статического давления в верхней части экспериментального желоба [3] при различных значениях, получаем:

• 1)
• 2) на 20%
• 3) лоток заполнен на 87%

Расчетные данные находятся в соответствии с экспериментальными [3].

С увеличением скорость фильтрации уменьшается и становится при определенных режимах подачи материала ниже критической: материал не аэрируется, процесс транспортирования нарушается.