Обработка результатов прямых многократных измерений
Для партии деталей проведены измерения координат X, Y двух отверстий 1 и 2. Определить средний размер и среднее квадратическое отклонение размера межцентрового расстояния. Для построения теоретического распределения необходимо определить приближённые значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения S. Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений… Читать ещё >
Обработка результатов прямых многократных измерений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет
(ВолгГТУ) Кафедра Технология машиностроения Семестровая работа по метрологии Обработка результатов прямых многократных измерений
Выполнил: ст. гр. АУ — 323 Добриньков А. В.
Проверил: Карабань В. Г.
Волгоград 2010
Задание
1. Построить полигон, гистограмму и теоретическое распределение измеренных величин.
2. Проверить согласие теоретического и эмпирического распределений.
3. Определить доверительные интервалы.
4. Определить границы диапазона рассеивания значений и погрешностей.
Исходные данные
Номер интервала | Границы интервалов | Частотаmi | ||
свыше | до | |||
19,97 | 19,99 | |||
19,99 | 20,01 | |||
20,01 | 20,03 | |||
20,03 | 20,05 | |||
20,05 | 20,07 | |||
20,07 | 20,09 | |||
20,09 | 20,11 | |||
20,11 | 20,13 | |||
20,13 | 20,15 | |||
20,15 | 20,17 | |||
20,17 | 20,19 | |||
20,19 | 20,21 | |||
20,21 | 20,23 | |||
1. Построение эмпирического и теоретического распределений При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi), а по оси ординат — вероятность попадания в каждый i — тый интервал:
.
Вычислим на каждом участке: (Уmi = 378)
Номер интервала | Эмпирические частности | Середина интервала, мм | |
0,5 291 | 19,98 | ||
0,5 291 | 20,00 | ||
0,31 746 | 20,02 | ||
0,66 138 | 20,04 | ||
0,92 593 | 20,06 | ||
0,164 021 | 20,08 | ||
0,174 603 | 20,10 | ||
0,203 704 | 20,12 | ||
0,103 175 | 20,14 | ||
0,7 672 | 20,16 | ||
0,5 291 | 20,18 | ||
0,18 519 | 20,20 | ||
0,5 291 | 20,22 | ||
Построим гистограмму и полигон по полученным значениям:
Для построения теоретического распределения необходимо определить приближённые значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения S.
Номер интервала | Частота | Середина интервала | mixi | mixi2 | S | ||
19,98 | 39,96 | 798,4008 | 0,43 395 663 | 20,10 486 772 | |||
20,02 | 240,24 | 4809,6048 | |||||
20,04 | 10 040,04 | ||||||
20,06 | 702,1 | 14 084,126 | |||||
20,08 | 1244,96 | 24 998,7968 | |||||
20,1 | 1326,6 | 26 664,66 | |||||
20,12 | 1549,24 | 31 170,7088 | |||||
20,14 | 785,46 | 15 819,1644 | |||||
20,16 | 584,64 | 11 786,3424 | |||||
20,18 | 403,6 | 8144,648 | |||||
20,2 | 141,4 | 2856,28 | |||||
20,22 | 40,44 | 817,6968 | |||||
У | 7599,64 | 152 790,47 | |||||
По виду гистограммы и полигона предполагаем нормальный закон распределения с функцией плотности
рассеивание погрешность гистограмма плотность
а вероятность попадания результата измерений в i-тый интервал величиной h = 0.02:
.
Номер интервала | Середина интервала | |||||
19,98 | 2,877 424 | 0,6 354 | 0,2 928 | 0,5 291 | ||
20,00 | 2,416 549 | 0,2 152 | 0,9 918 | 0,5 291 | ||
20,02 | 1,955 673 | 0,58 938 | 0,27 163 | 0,31 746 | ||
20,04 | 1,494 797 | 0,13 053 | 0,60 158 | 0,66 138 | ||
20,06 | 1,33 922 | 0,233 766 | 0,107 737 | 0,92 593 | ||
20,08 | 0,573 046 | 0,338 534 | 0,156 022 | 0,164 021 | ||
20,10 | 0,112 171 | 0,39 644 | 0,18 271 | 0,174 603 | ||
20,12 | 0,348 705 | 0,37 541 | 0,173 017 | 0,203 704 | ||
20,14 | 0,80 958 | 0,287 466 | 0,132 486 | 0,103 175 | ||
20,16 | 1,270 456 | 0,178 001 | 0,82 036 | 0,7 672 | ||
20,18 | 1,731 331 | 0,89 127 | 0,41 076 | 0,5 291 | ||
20,20 | 2,192 207 | 0,36 087 | 0,16 632 | 0,18 519 | ||
20,22 | 2,653 083 | 0,11 815 | 0,5 445 | 0,5 291 | ||
Построим теоретическое распределение результатов измерений
:
2. Проверка согласия эмпирического и теоретического распределений
Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции F (xi). Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:
где — объём выборки. Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если .
Таблица
Номер интервала | ||||||
0,2 928 | 0,5 291 | 0,2 928 | 0,5 291 | 0,2 363 | ||
0,9 918 | 0,5 291 | 0,12 846 | 0,10 582 | 0,2 264 | ||
0,27 163 | 0,31 746 | 0,40 009 | 0,42 328 | 0,2 319 | ||
0,60 158 | 0,66 138 | 0,100 168 | 0,108 466 | 0,8 298 | ||
0,107 737 | 0,92 593 | 0,207 904 | 0,201 058 | 0,6 846 | ||
0,156 022 | 0,164 021 | 0,363 927 | 0,365 079 | 0,1 153 | ||
0,182 710 | 0,174 603 | 0,546 636 | 0,539 683 | 0,6 954 | ||
0,173 017 | 0,203 704 | 0,719 653 | 0,743 386 | 0,23 733 | ||
0,132 486 | 0,103 175 | 0,852 140 | 0,846 561 | 0,5 579 | ||
0,82 036 | 0,76 720 | 0,934 176 | 0,923 280 | 0,10 895 | ||
0,41 076 | 0,52 910 | 0,975 252 | 0,976 190 | 0,938 | ||
0,16 632 | 0,18 519 | 0,991 884 | 0,994 709 | 0,2 825 | ||
0,5 445 | 0,5 291 | 0,997 329 | 1,0 | 0,2 671 | ||
В нашем случае максимальное значение разности:
DN = F'8 — F8 = 0,23 733, N = ?mi = 378
Для N=0,4614 по таблице находим = 0,01 (1 — 0,01) = 0,99 > 0,1. Т. о. эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим.
3. Определение доверительных интервалов
Доверительный интервал для математического ожидания M определяется из выражения:
значение t возьмём из справочника, для 0,01 и N = 13: t = 3,06,
тогда 20,06804 мм < M < 20,14 170 мм
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определим из выражения:
значения 12 и 22 определяем по справочнику, для 1 0,01, 2 0,99 и N=13: 12=26,2; 22=3,57,
тогда 0,02937 мм < <0,07956 мм
4. Определение диапазона рассеивания значений
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,027.
М = 20,10 486 772 мм
S = 0,43 395 663 мм
М-3 19.9747 мм
М+3 20.2351 мм
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2в=0,001.
М±у
= 0,4995, = 3,29
М-3,29 = 19,9621 мм
М+3,29 = 20,2476 мм
Для партии деталей проведены измерения координат X, Y двух отверстий 1 и 2. Определить средний размер и среднее квадратическое отклонение размера межцентрового расстояния.
Номер измерения | Значения параметра | ||||
X1 | X2 | Y1 | Y2 | ||
26,792 | 28,394 | 29,9 | 31,911 | ||
26,787 | 28,487 | 29,901 | 31,922 | ||
26,79 | 28,39 | 29,913 | 31,914 | ||
26,792 | 28,592 | 29,902 | 31,899 | ||
26,791 | 28,494 | 29,903 | 31,898 | ||
26,782 | 28,485 | 29,912 | 31,91 | ||
26,792 | 28,591 | 29,901 | 31,891 | ||
26,792 | 28,791 | 29,903 | 31,902 | ||
26,787 | 28,584 | 29,912 | 31,898 | ||
26,793 | 28,572 | 29,906 | 31,907 | ||
26,79 | 28,493 | 29,9 | 31,899 | ||
26,794 | 28,493 | 29,912 | 31,898 | ||
26,786 | 28,576 | 29,903 | 31,889 | ||
Для определения среднего размера и среднего квадратического отклонения S воспользуемся следующими формулами:
где N=13
= 26,7898 мм = 0,3 411 895 мм
= 28,534 мм = 0,10 339 165 мм
= 29,9052 мм = 0,5 117 842 мм
= 31,9029 мм = 0,9 393 806 мм
Определим средний размер межцентрового расстояния:
= 2,1318 мм
Определим среднее квадратическое отклонение размера межцентрового расстояния по формуле:
,
где — частная производная по от и — частная производная по от :
= -0,3491
= 0,3491
= -0,9371
= 0,9371
Т. о. SL = 0,0375 мм.