Расчет электрических цепей при импульсном воздействии

Курсовая работа по теории электрических цепей на тему:

" Расчет электрических цепей при импульсном воздействии"

Содержание Введение

1. Краткие теоретические сведения

1.1 Переходные процессы

1.2 Интеграл Дюамеля

1.3 Передаточные характеристики

1.4 Дискретизация

2. Задание и исходные данные

3. Выполнение

3.1 Переходная характеристика

3.2 Интеграл Дюамеля

3.3 Передаточная характеристика

3.4 Дискретизация

3.5 Дискретный корректор Заключение Список использованных источников Введение В основе развития систем связи лежат современные достижения многих наук и в первую очередь электротехники, радиотехники и электроники. Общим для этих наук является изучение электромагнитных процессов в электрических цепях с целью создания различных устройств для преобразования, передачи, обработки и хранения информации.

Современные системы и сети связи являются сложнейшими техническими сооружениями, сконцентрировавшими все самые последние достижения научно-технической революции в области радиотехники, электроники и вычислительной техники. Создание и эксплуатация подобных сетей требует подготовки качественно новых специалистов. Среди дисциплин, составляющих основу базовой подготовки специалистов в области связи, важнейшее место отводится курсу ОТЦ (Основы теории цепей). Содержание дисциплины составляют задачи анализа и синтеза линейных и нелинейных электрических цепей, изучение установившихся и переходных процессов, протекающих в устройствах. ОТЦ базируется на курсах математики, физики, технической электроники, вычислительной техники и является базовым для изучения последующих общетехнических и специальных дисциплин.

Курс теории электрических цепей включает в себя множество тем, изобилие формул, является довольно сложным предметом по причине трудности восприятия информации в виде схем, графиков. Данный курсовой проект включает в себя если не все, то большинство наиболее важных частей курса, начиная с методов анализа переходных процессов в цепи, и заканчивая построением дискретных цепей. Структура проекта такова, что множество шагов, сделанных в первой части (аналоговая схема) дублируются эквивалентными во второй части (дискретная), что позволяет контролировать правильность вычислений на протяжении всей работы.

1. Краткие теоретические сведения

1.1 Переходные процессы Коммутацией принято называть любое изменение параметров цепи

1)Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля катушки индуктивности WL = Li2/2 и гласит: в начальный момент t = 0+ непосредственно после коммутации ток в индуктивности имеет то же значение, что и в момент t = 0- до коммутации и с этого момента плавно изменяется

2)Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического поля емкости WC = Cu2/2; в начальный момент t = 0+ непосредственно после коммутации напряжение на емкости имеет то же значение, что и в момент: t = 0- до коммутации и с этого момента плавно изменяется:

Классический метод расчета переходных процессов Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Данный метод обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей.

Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом:

1)Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.

2)Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

3)Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

4)Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

1.2 Интеграл Дюамеля Интеграл Дюамеля — метод расчёта отклика линейных пассивных систем на произвольно меняющийся во времени входной сигнал. Основан на принципе суперпозиции, согласно которому отклик линейной пассивной системы на составной сигнал, равный сумме нескольких сигналов, представляет собой сумму откликов от каждого из слагаемых сигналов.

Техника применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (а общем случае бесконечной) стандартных сигналов, для которых отклик системы h (t), называемый переходной функцией, известен. В качестве стандартного сигнала используется ступенчатая функция Хевисайда H (t). Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанного h (t) на входное воздействие (свёртка функций), который носит название интеграла Дюамеля.

Интеграл Дюамеля всего имеет 4 формы:

1)

2)

3)

4)

1.3 Передаточные характеристики Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — функция, показывающая зависимость модуля некоторой комплекснозначной функции от частоты. Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигнала.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) — частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.

1.4 Дискретизация Дискретизация — преобразование непрерывной функции в дискретную.

Частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) — частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах.

Чем выше частота дискретизации, тем более широкий спектр сигнала может быть представлен в дискретном сигнале. Как следует из теоремы Котельникова, для того, чтобы однозначно восстановить исходный сигнал, частота дискретизации должна более чем в два раза превышать наибольшую частоту в спектре сигнала.

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временной области, в аналитическую функцию комплексной частоты.

Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

2. Задание и исходные данные Задание на курсовую работу содержит схему анализируемой цепи и входной сигнал в виде одиночного импульса, параметры которого указаны на рисунке. Все резисторы схемы имеют сопротивление R=1КОм, индуктивность катушек L=1Гн, емкость конденсаторов С=1мкФ.

В процессе выполнения работы необходимо получить следующие результаты:

1. Рассчитать и построить график напряжения на выходе цепи U2(t);

2. Вычислить передаточную функцию цепи H (jщ), спектральную плотность сигнала на входе и выходе цепи, построить соответствующие графики;

3. Используя импульсную характеристику цепи, получить выражение для передаточной функции;

4. Провести дискретизацию входного сигнала и импульсной характеристики цепи, вычислить отсчеты дискретного сигнала на выходе и построить графики спектра дискретизированного сигнала и АЧХ дискретизированной цепи;

5. По отсчетам входного сигнала вычислить его спектральную плотность;

6. Составить схему дискретной цепи, выполнив Z-преобразвание дискретизированной импульсной характеристики;

7. Определить передаточную функцию цепи, корректирующей искажения дискретного сигнала, вносимые сконструированной дискретной цепью, рассчитать дискретный сигнал на выходе корректора.

Рисунок 1: Схема и входной сигнал.

3. Вычисления

3.1 Определение переходной характеристики цепи Воспользуемся классическим методом для определения переходной характеристики цепи:

U (t) = Uпр (t)+Uсв (t)

Uпр (t) — Установившийся режим

Uсв (t) = Ae^pt

Для определения p, составим характеристическое уравнение сопротивления цепи Z (p):

Далее, приравняем Z (p) к нулю, упростим и найдем корни уравнения:

Для нахождения переходной характеристики, рассмотрим переходные состояния в цепи при единичном воздействии:

Непосредственно во время подачи сигнала срабатывает второй закон коммутации.

Выходное напряжение в этом случае снимается с одного резистора R. В установившемся режиме конденсатор играет роль обрыва, в следствии чего, выходное напряжение равно напряжению входному.

Для определения коэффициента, А воспользуемся решением по комплексному методу в режиме t=0:

U2(0)=Uпр (0)+Uсв (0)

Теперь есть все необходимое для составления переходной характеристики цепи.

Рисунок 2: Цепь во время подачи сигнала и в установившимся режиме

3.2 Интеграл Дюамеля Сигнал на выходе цепи найдем используя интеграл Дюамеля Для этого разобьем импульс на 3 части:

U (t) = 10 при 0

U (t) = -2500t+10 при 0.002

U (t) = 0 при t>0.004 ДU = 0

Для каждого из интервалов необходимо составлять свою функцию.

По полученным функциям построим график изменения напряжения в интервале от 0 до 5 мкс:

После упрощения получим выражения:

1), для 0

2), для 0.002

3), для 0.004

Рисунок 3: График сигнала на выходе.

3.3 Передаточная характеристика Вычисление передаточной функции цепи H (jщ), спектральной плотности сигнала на входе и выходе цепи, построение соответствующих графиков;

если упростить, получим: ,

Модуль этого выражения — АЧХ:

Рисунок 4: АЧХ цепи Аргумент — ФЧХ:

Рисунок 5: ФЧХ цепи Для нахождения спектральной плотности входного и выходного сигналов представим входной сигнал в виде суммы простейших функций. Для каждой функции найдем оригинал, изображение входного сигнала записывается как сумма изображений простейших сигналов.

Оригиналы функций по Лапласу находятся исходя из формулы:

f1(t) = 0, t<0; 10, t? 0, t? 0

f2(t) = 0, t<2; -5t? 2, t? 2

f3(t) = 0, t<2; -2500(t-2), t? 2

f4(t) = 0, t<4; 2500(t-4), t? 4

Заменяя в последнем выражении p на iw, получаем спектральную плотность входного сигнала:

Модуль этого выражения — амплитудная характеристика спектра входного сигнала, аргумент — фазовая характеристика.

Характеристики выходного сигнала найдем используя характеристики цепи амплитудные и фазовые:

Рисунок 6: АЧХ входного (сверху) и выходного (снизу) сигналов.

Рисунок 7: ФЧХ входного (сверху) и выходного (снизу) сигналов.

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной переходной характеристике вычисляем импульсную характеристику цепи:

Ранее вычисленная переходная характеристика цепи:

=

Результат совпадает с выражением, полученным выше.

3.4 Дискретизация Частоту дискретизации возьмем равной 5кГц, период дискретизации тогда будет равен 0.2 мс. Для сигнала в 4 мс получится 20 отсчетов:

Таблица 1: Дискретизация входного сигнала.

Т=0.0002; n = 0,1,2,…, 20.

Проведем Z — преобразование для U1 и H (n) (для первых 8 отсчетов) Таблица 2: Дискретизированный сигнал на выходе.

Рисунок 8: сопоставление дискретизированных сигналов с Рис 3.

электрический цепь дискретизация коммутация Полученные данные дискретных отсчетов совпадают с графиком аналоговой цепи.

Спектральные характеристики дискретизированного сигнала U1(n) вычислим для некоторых частот:

Для упрощения расчетов найдем частоты на которых комплексная экспонента сокращается:

для

для

для

для

Таблица 3: АЧХ дискретной цепи

Для сравнения с графиком линейную частоту надо преобразовать в круговую: w=2pi*f

Рисунок 9: Сопоставление дискретной АЧХ с рис 6

Как видно на графике, дискретные значения совпадают (проходят очень близко) с АЧХ аналоговой цепи.

Найдем H (Z):

Z — преобразование входного и выходного дискретных сигналов связаны между собой соотношением: Y (Z)=X (Z)*H (Z).

Используем это соотношение и получим:

a0=0.71 226, a1=-0.5845, b1=0.875

Построим дискретную цепь:

Рисунок 9: Дискретная цепь Рисунок 10: Дискретная цепь в каноническом виде

3.5 Корректор

Z — преобразование передаточной функции корректора H'(Z) находится как величина, обратная H (Z) исходной цепи.

Схема корректора имеет аналогичный вид, только изменит параметры:

a0=1.404, a1=-1.228. b1=0.82

Рисунок 11: АЧХ дискретной цепи (сплошной) и корректора (точки). Пунктиром — перемножение графиков.

Дискретные значения сигнала на выходе корректора вычисляются с помощью формулы дискретной свертки:

Таблица 4: Значения на выходе корректора.

Как видно из таблицы, значения практически совпадают с U1(n).

Заключение

В качестве заключения к работе стоит отметить закрепление знаний полученных на курсе теории электрических цепей, их систематизацию. В дополнение к этому в ходе работы активно использовался инструментарий Mathcad, что несомненно является большим плюсом для будущего инженера.

Список использованных источников

1. Бакалов В. П. Дмитриков В. Ф. Крук Б. И. «Основы теории цепей»

2. Методические указания к работе.

3. Конспект лекций по курсу теории электрических цепей.

А также программы:

Инструментарий Mathcad — графики и расчеты Инструментарий Compas — схемы и входной сигнал