Расчет, моделирование на ПЭВМ и испытание цифровых фильтров

КУРСОВАЯ РАБОТА.

Расчет, моделирование на ПЭВМ и испытание цифровых фильтров.

Задание на курсовой проект.

1. Рассмотреть достоинства, недостатки и области применения цифровых фильтров (ЦФ).

2. Рассмотреть классификацию ЦФ по полосе пропускания (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) и по типу фильтра (Баттерворта и Чебышева).

3. Рассмотреть требования задания к частотным характеристикам проектируемого фильтра. Изложить эти требования на графиках АЧХ и ослабления.

4. Освоить методики проектирования в среде DFLD нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров по заданным требованиям к амплитудно-частотным характеристикам.

5. Провести испытание (синтезированных в виде программ для ПЭВМ) цифровых фильтров, т. е. снять и проанализировать их переходные h (k), импульсные g (k), амплитудно-частотные H (w) и фазочастотные Ш (w) характеристики.

6. Изучить реакцию y (k) фильтров на произвольно задаваемую (например, четырёхточечную) входную последовательность x (k).

7. Решить модельную задачу по фильтрации: выделить низкочастотную составляющую из полигармонического входного сигнала.

Задание на проектирование РЦФ (НЦФ).

фильтр цифровой рекурсивный.

1. Изучить метод проектирования:

— РЦФ Чебышева (с реализацией в виде каскадной схемы) на основе билинейного преобразователя.

— НЦФ с линейной ФЧХ на основе аппроксимации заданной идеальной АЧХ фильтра нижних частот модифицированным гармоническим рядом Фурье (метод «окон»).

2. Согласно индивидуальному заданию спроектировать:

— РЦФ нижних частот (в частности, определить порядок N фильтра и его коэффициенты).

— НЦФ (в частности, определить порядок N фильтра, изучить влияние типа «окна» на АЧХ НЦФ).

3. Пользуясь пакетом прикладных программ:

— DRF снять и сравнить частотные характеристики H (Щ) и А (Щ) аналогового фильтра-прототипа и характеристики H (w) и А (w) РЦФ.

— DNF провести испытание синтезированного в виде программы для ПЭВМ типа IBM PC нерекурсивного фильтра с прямоугольным «окном». Для этого необходимо поочерёдно подавать на вход НЦФ сформированные подпрограммами:

a) единичный импульс.

б) единичную последовательность.

в) дискретизированные синусоидальные и косинусоидальный сигналы с частотой w (0<w<).

г) полигармонический сигнал (для решения модельной задачи фильтрации) д) четырёхточечную последовательность.

Анализируя реакции (выходные сигналы) фильтра на соответствующие входные воздействия:

а) записать импульсную функцию g (k) фильтра;

б) определить фронт нарастания переходной функции h (k) фильтра (отсчётах, от 0,1 до 0,9 установившегося значения без учёта задержки, равной L отсчётам) в) выполнить распечатку графиков H (w), Ш (w), б (w), g (k), h (k), входной х (k) и выходной y (k). г) рассчитать «вручную» реакцию фильтра y (k) на четырёхточечный входной сигнал, равную свёртке входного сигнала х (k) и импульсной функции g (k) фильтра.

4. Сформулировать выводы.

Исходные данные.

1. Граничная частота пропускания fn=1,2 кГц.

2. Граничные частоты задерживания fз=4,8 (6.0) кГц.

3. Допуск на отклонение АЧХ от единичного уровня в полосе пропускания еn=0,020.

4. Допуск на отклонение АЧХ от нулевого уровня в полосе задерживания ез=0,003.

5. Частота дискретизации fд=24 кГц.

6. Тип «окна» для НЦФ- 1 и 2.

7. Входной четырехточечный сигнал — {1, — 1,1, — 1}.

Фильтром называется устройство, предназначенное для определения одной части входной совокупности сигналов и помех (входного сигнала) от другой ее (его) части. Фильтрация осуществляет подавление нежелательных частотных составляющих некоторого сигнала (шумов, помех) при минимальных искажениях полезных составляющих в заранее определенной полосе частот. Высококачественные частотные нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) имеют, как правило, большую ширину окна (многочленный оператор фильтра). Чем меньше допустимая ширина переходной зоны частотной характеристики фильтра между полосами пропускания и подавления, тем больше окно фильтра. Альтернативное решение — применение рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ), для которых количество коэффициентов фильтра может быть сокращено на несколько порядков по сравнению с НЦФ.

Рекурсивные фильтры имеют определенную «память» по значениям предыдущих отсчетов, которая, в пределе, может быть бесконечной. С учетом этого фактора рекурсивные фильтры получили название фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров), в отличие от нерекурсивных фильтров, всегда имеющих конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтры). Реакция рекурсивного фильтра на сигнал с учетом «памяти» исключает возможность создания фильтров с четным импульсным откликом, и частотные характеристики рекурсивных фильтров всегда являются комплексными. Цифровые фильтры используют для обработки сигналов: спектрального анализа и цифровой фильтрации.

В данной курсовой работе производится рассмотрение методов расчета и проектирования цифровых фильтров, а так же производится расчёт НЦФ и РЦФ по заданным требованиям.

Посвящена расчёту, моделированию и испытанию синтезированных в виде программ для ПЭВМ нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров нижних частот.

1. Достоинства, недостатки и области применения цифровых фильтров.

Цифровой фильтр (ЦФ) в широком смысле — это любая цифровая система или цепь, которая согласно заданному алгоритму осуществляет извлечение цифрового сигнала либо его параметров из действующей на выходе системы (цепи) смеси сигнала с помехой.

К достоинствам цифровых фильтров перед аналоговыми относят:

— возможность спроектировать фильтр любой сложности;

— при перестройке на другую импульсную характеристику следует задать только новое ядро для фильтра.

— обеспечиваются лучшие качественные характеристики (можно получить практически любую заданную точность обработки сигналов).

— простота реализации и удобство использования (используются одни и те же алгоритмы для проектирования фильтров с различными импульсными характеристиками.

К недостаткам можно отнести: во-первых то, что обработка сигналов невозможна на сверхвысоких частотах. Что определяется частотой дискретизации современных АЦП, которая в настоящее время не превышает нескольких сотен мегагерц. Во-вторых тот факт, что при использовании сложных цифровых фильтров скорость обработки сигнала может существенно замедлиться, вплоть до того, что будет невозможна обработка сигнала в реальном масштабе времени. И наконец, в-третьих для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, возможно дорогостоящее, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП.

Что касается области применения, то цифровые фильтры используются: во-первых для обработки звукового сигнала, под этим имеется в виду различные звуковые эффекты (к примеру, эхо), восстановление и редактирование звукозаписей, синтезирование звучания музыкальных инструментов, распознавание речи. Во-вторых, с их помощью обрабатывают изображение — в этом случае имеются в виду различные эффекты и сжатие изображения.

В-третьих, искусственный интеллект — синтезирование нейронных сетей. В-четвертых, исследование и обработка, каких либо экспериментальных данных, к примеру, ультразвуковое исследование в медицине. И наконец, в-четвёртых цифровые фильтры сочетают в себе более высокую точность обработки сигналов, простоту, невысокую стоимость и удобство использования.

2. Классификация цифровых фильтров.

По полосе пропускания.

Полоса пропускания — это полоса частот, в которое ослабление мало. В то время как полосой задерживания называется полоса частот, в которой имеется большое ослабление. Переходная область находится между полосой пропускания и полосой задерживания.

ФНЧ-фильтры низких чaстот (low-pass-filters) данный фильтр подавляет высокие частоты во входном сигнале, низкие частоты пропускает. Полоса пропускания таких фильтров располагается на шкале частот от щ=0 до некоторой граничной частоты, а полоса непропускания (задерживания) — от до бесконечно больших частот.

ФВЧ — фильтр высоких частот (high-pass filters). Такой фильтр подавляет низкие частоты, при этом пропуская высокие. Такие фильтры имеют полос пропускания от частоты до бесконечно больших частот и полосой непропускания от частоты щ=0 до.

ПФ — полосовой фильтр, это такие фильтры которые пропускают или подавляют сигнал в определенной полосе частот. Полоса пропускания располагается между полосами непропускания (задерживания) РФ — режекторные фильтры, иными словами заграждающие, если говорить о подавлении определенной полосы частот во входном сигнале. Между полосами пропускания находится полоса задерживания.

По типу фильтра.

Фильтр Баттерворта обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой плавности характеристики в переходной области, т. е. между полосами пропускания и задерживания. У него также плохая фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. АЧХ фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спадает за частотой среза. Переходная характеристика такого фильтра при ступенчатом входном сигнале имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются. Его АЧХ задается формулой:

где n определяет порядок фильтра (число полюсов). Увеличение числа полюсов дает возможность сделать более плоским участок характеристики в полосе пропускания и увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления, как это показано на рисунке 1. — частота среза при которой амплитуда равна -3 dВ.

Рисунок 1 Нормированные характеристики фильтров нижних частот Баттерворта При увеличением порядка фильтра увеличивается крутизна спада характеристики.

Фильтр Чебышева — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна. На рисунке 2 изображена более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышева. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n-го порядка задаётся следующим выражением:

(1).

где е — показатель пульсаций, щ0 — частота среза, а Tn (x) — многочлен Чебышева — го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации. В полосе пропускания многочлены Чебышева принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального G=1 до минимального .

Рисунок 2 АЧХ фильтра Чебышева I рода четвёртого порядка с щ0 = 1 и е = 1.

На частоте среза щ0 коэффициент усиления имеет значение, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах и равны:

3. Требования задания к частотным характеристикам проектируемого фильтра.

В общем, отсутствуют аналитические процедуры для расчёта ЦФ, удовлетворяющие требованиям к их частотным характеристикам и параметрам именно поэтому существуют разнообразные методы расчёта как НЦФ так и РЦФ. Эти методы расчета зависят от типа фильтра, его порядка, а так же от предъявляемых к нему требований. Требования как для аналоговых, так и для цифровых фильтров часто (но не всегда) задаются в частотной области.

Исходными данными для расчета цифровых фильтров являются: граничные частоты полос пропускания (), а именно значения от 0 до 1,2кГц; Полоса задерживания в приделах от 4,8 до 12кГц. Частота дискретизации 24 кГц. Допуск на отклонение АЧХ от единичного уровня в полосе пропускания еn=0,020. Допуск на отклонение АЧХ от нулевого уровня в полосе задерживания ез=0,003 на рисунке 3a показаны требования к АЧХ проектируемого фильтра, где жирными линиями показаны номинальные уровни в полосе пропускания (1), в полосе задерживания (0), пунктирными линиями допуски на отклонения от АЧХ. Как правило, требования к АЧХ в переходной полосе в диапазоне частот, не задаются. Качество фильтра улучшается при уменьшении .

Требования к АЧХ ЦФ при решении аппроксимационной задачи обычно трансформируются в требования к его характеристике (коэффициенту) затухания б децибелах (дБ при нормированной циклической частоте wЄ (0; 0,5)). Рисунок 3б.

(2).

Максимальное отклонение коэффициента затухания от номинального уровня в полосе пропускания:

Верхняя граница коэффициента затухания (гарантированное затухание сигнала) в полосе задерживания:

Рисунок 3 Представление требований задания к частотным характеристикам проектируемого фильтра.

4. Расчет нерекурсивного цифрового фильтра нижних частот.

Проектируется НЦФ нижних частот с полосой пропускания от 0 до 0,05 и полосой задерживания w3 от 0,2 до 0,5.

Допуски на отклонение АЧХ от номинального уровня:

В полосе пропускания; в полосе задерживания.

Найти минимальное число N (порядок фильтра), позволяющее удовлетворить заданным требованиям. С помощью программы DNF. еxe. В окно «порядок фильтра» заносим любое нечетное число. Возьмем, к примеру n 151 вызываем график коэффициента затухания. В пустое окно частота 1 и частота 2 ставим свои значения (убедимся, что требования к АЧХ выполнены) Рисунок 4.

Рисунок 4 Порядок фильтра и ЛФЧХ Для выполнения требований к АЧХ нужно увеличить порядок фильтра до n=219 (рисунок 5).

Рисунок 5 Порядок фильтра и ЛАЧХ Рисунок 6 Импульсная характеристика прямоугольного окна Щелкаем на кнопку «Весовое окно Хемминга». Следует что переходная полоса расширилась (размылась) границы полос пропускания и задерживания (что означает потерю разрешающей способности фильтра) при одновременном уменьшении пульсаций (ослаблено явление Гиббса) в полосе пропускания и лучшему их подавлению в полосе задерживания АЧХ. Рисунок 7 ЛАЧХ Хемминга.

Рисунок 7 ЛАЧХ Хемминга Окно Хемминга при n=219 не удовлетворяет требованиям задания к АЧХ фильтра, тогда изменим его порядок до 615 (рисунок 8). Рисунок 9 Весовое окно Хемминга и ФЧХ.

Рисунок 8 окно Хемминга с n=615.

Рисунок 9 ФЧХ и Весовое окно по Хеммингу Величины коэффициентов НЦФ выводятся слева от графика его импульсной характеристики g (k) после щелчка на кнопке «ИХ» главного меню. Проверка НЦФ на устойчивость не проводится, поскольку нерекурсивные фильтры принципиально устойчивые. Рисунок 10 импульсная характеристика фильтра.

Рисунок 10 импульсная характеристика и АЧХ фильтра окна Хемминга Испытание синтезированного нерекурсивного фильтра. С этой целью на вход фильтра нужно последовательно подать единичный отсчёт, единичную последовательность, дискретизированный синусоидальный или косинусоидальный сигнал (количество отсчётов за период равно 1/w, 1 — нормированная частота; w-нормированная частота синусоидальной или косинусоидальной функции), полигармонический сигнал, произвольно набранную с клавиатуры цифровую последовательность. И проанализировать выходные последовательности.

1. Подадим на вход фильтра единичный импульс.

Чтобы получить импульсную функцию g (k) ЦФ, нужно на его вход подать единичный импульс (рисунок 11).

Рисунок 11 Входной и выходной импульсный сигналы при подаче на вход фильтра единичного импульса.

2. Подадим на вход фильтра единичную последовательность Рисунок 12 входной и выходной сигналы (переходная функция h (k)) сигналы при подаче на вход единичной последовательности.

3. Подадим на вход фильтра дискретизированные синусоидальный и косинусоидальный сигналы с частотой w=0,025 (0<w<wп) рисунок 13).

Рисунок 13 входной и выходной сигналы при подаче на вход фильтра дискретизированного синусоидального сигнала с частотой w=0,025.

Рисунок 14 входной и выходной сигналы при подаче на вход фильтра дискретного косинусоидального сигнала с частотой w=0,025.

4. Подадим на вход фильтра четырёх точечную последовательность (1, — 1,1, — 1).

Рисунок 15 входной выходной сигнал при подаче на вход фильтра четырёх точечной последовательности (1, — 1,1, — 1).

Рассчитаем вручную реакцию фильтра y (k) на четырёх точечный входной сигнал (для окна Хемминга), равную свёртке входного сигнала x (k) и импульсной функции g (k) фильтра y (k)=x (k)*g (k), при k=L, L+1, L+2. Для выполнения операции свёртки четыре отсчёта выходного сигнала нужно построить в обратном направлении k таким образом, чтобы отсчёт х (0) оказался бы напротив центрального отсчёта g (L) импульсной характеристики фильтра. Значение выходного отсчёта.

y (L)=x (0) g (L)+x (1) g (L-1)+x (2) g (L-2)+x (3) g (L-3).

k=L=109.

g (L)=g (109)=0,25; g (L-1)=g (108)=0,2168; g (L-2)=g (107)=0,1366; g (L-3)=g (106)=0,5 242.

x (0)=1; x (1)=-1; x (2)=1; x (3)=-1.

у (109)=1*0,25−1*0,2168+1*0,1366−1*0,5 242=0.11 738.

При k=L+1=110.

g (L+1)=g (110)=0,2168; g (L+1−1)=g (109)=0,25; g (L+1−2)=g (108)=0,2168;

g (L+1−3)=g (107)=0,1366.

y (110)=1*0,2168−1*0,25+1*0,2168−1*0,1366=0,047.

При k=L+2=111.

g (L+2)=g (111)=0,13 662; g (L+2−1)=g (110)=0,2168; g (L+2−2)=g (109)=0,25;

g (L+2−3)=g (108)=0,2168.

y (111)=1*0,13 662−1*0,2168+1*0,25−1*0,2168=-0,4 698.

Сравним полученные в ходе расчета данные с расчётами программы:

у (109) руч=0.11 738; у (109) прог=0,11 735.

у (110) руч=0,047 у (110) прог=0,4 706.

у (111) руч=-0,4 698; у (111) прог=-0,4 706.

Из этого следует, что ручной расчет и расчёт в программе идентичны.

5. Подадим на вход полигармоническую последовательность.

— нормированные частоты гарманических составляющих, вводимые с клавиатуры в окне «Параметры тест-сигнала».

Рисунок 16 Входной и выходной сигналы при подаче на вход фильтра полигармонического сигнала.

5. Расчет рекурсивного цифрового фильтра нижних частот.

Проектируется РЦФ нижних частот на основе аналогово-цифровой трансформации по заданным требованиям к неравномерности АЧХ. Допуск на отклонение АЧХ от единичного уровня в полосе пропускания еn=0,020. С частотами от 0 до 1,2 кГц, отклонение от нуля в полосе задерживания ез=0,003 (от граничной частоты). Частота дискретизации кГц. Коэффициенты фильтра должны быть квантованы до m=24 разрядов (предполагается, что фильтр будет реализован на базе микропроцессора DSP-56 000) Разрядность входного сигнала ЦФ должна быть 16 (это соответствует использованию 16-ти разрядного АЦП на входе сигнала микропроцессора DSP-56 000).

Необходимо: определить порядок фильтра и системную функцию Н (z); рассчитаем и построим графики АЧХ, ФЧХ и импульсную характеристик РЦФ.

Рассчитываем нормированную граничную частоту (цифровую).

fз?fд0,2.

Значения коэффициентов затухания Рассчитаем коэффициент? билинейного преобразования:

Определяем значение граничной «аналоговой» частоты полосы задерживания АФ — прототипа:

Определение передаточной функции H (p) аналогового нормированного фильтра-прототипа нижних частот требуемого типа.

а) Выбираем фильтр Чебышева типа Т с равноволновыми колебаниями АЧХ в полосе пропускания и равномерным затуханием в полосе задерживания.

б) Расчёт модуля коэффициента отражения по заданной величине :

Выбираем ближайший меньший модуль коэффициента отражения (таблица в задании), т. е. =15%, этому значению соответствует дБ в) определение вспомогательного параметра L по общей номограмме.

Для величины (дБ вспомогательный параметр L?0,023.

г) определение порядка N передаточной функции АФ прототипа по номограммам (из проектирования РЦФ в задании) для фильтра Чебышева типа Т. Для величин L?0,023 и из номограмм порядок 3<N<4. Примем N=4.

д) запишем передаточную функцию H (p) в общем виде: