Общие принципы применения статистических и вероятностный моделей

Анализ стабильности банковской системы привел к необходимости разработки универсальной математической модели, позволяющей учесть как внутренние, так и внешние факторы, влияющие на оценку основных рисковых параметров экономического капитала. Таким образом, необходимо ввести определение, наиболее соответствующее банковской системе. [6].

Существуют попытки ввести определение вероятности, основанное на строгой логике, однако было выявлено несколько способов формулировки этого фундаментального понятие. Рассмотрим в качестве примера следующие определения вероятности:

1. Комбинаторное определение.

Если событие может приводить к N равновозможным различным исходам и если в n случаях появляется признак A, то вероятность A есть отношение. Такое определение некорректно на том основании, что слово «равновозможно» означает «равновероятно» и, таким образом, содержит неточность.

2. Частотное определение.

Пусть мы наблюдаем событие А, которое повторяется N раз, при этом в n случаях событие обладает признаком Е. Если исходы событий независимы, то вероятность признака Е будет равна.

Данное определение широко используется при построении гистограмм распределения случайных величин. В соотношении (1) величина определяет частоту появления события Е и, конечно, зависит от N, но при наблюдении за частотой появления события Е в длинной серии экспериментов обнаруживается статистическая закономерность — устойчивость частоты. При достаточно большом N, эта частота может служить количественной мерой статистической закономерности появления или отсутствия события Е.

Для количественной характеристики вероятности закономерности вводится число p, которое равно:

где Р (Е) — называется вероятностью появления события Е.

Предположение о существовании числа p = V_N подтверждается теорией и является экспериментальной основой теории вероятности.

Для частоты появления события V_N имеет место очевидное неравенство, следовательно, и.

Полное представление о статистических закономерностях, свойственных данному экспериментальному исследованию, можно получить, если известны:

• 1. интервалы возможных значений случайной величины;
• 2. вероятности появления этих значений.

Тогда правило, согласно которому каждому значению дискретной случайной величины ставится в соответствие вероятность того, что случайная величина примет определенное значение, называется законом распределения вероятностей случайной величины.

Аналитическим выражением законов распределения являются функции распределения.

Предположим, что случайная величина может принимать любые действительные значение от -? до +?. Данное предположение не ограничивает общности задачи, так как в случае ограниченного интервала вне этого интервала вероятность попадания равна нулю.

Далее воспользуемся простейшим правилом разбиения области числовой оси, а именно фиксируется некоторый уровень x, и область возможных значений величины делится на две части: к одной области относятся значения, а к другой — все остальные значения. Тогда функция показывает, как зависит от уровня х вероятность того, что — называется интегральной функцией распределения вероятностей.

Если случайная величина находится между двумя уровнями х₁ и х₂ то.

следовательно, вероятность того, что равна разности значений интегральных функций в верхнем (х₁) и нижнем (х₂) пределах.

Функцию W (x) часто называется дифференциальным законом распределения случайной величины, и тогда на основании (4) можем получить соотношение для.

Основной характеристикой W (x) является наличие maxодного или нескольких. Значения х, соответствующие maxW (x), называют модой распределения, а значения х на оси абсцисс, при котором вся площадь делится пополам, называется медианой и соответствует значению F (x_мед) = 0,5 то, есть вероятность превышения этого уровня составляет 50%.