Интуиционистская логика (высказываний)

Утверждая независимость математики от языка и логики, ее самодостаточность, принцип полной индукции в качестве единственного метода решения всех математических проблем, интуиционисты тем самым давали понять, что проблема формализации доказательств им безразлична. Однако дискуссии интуиционистов с логицистами и формалистами по поводу законности закона исключенного третьего в конце концов вынудили их проявить интерес и к логической проблематике. В результате была создана так называемая интуиционистская логика высказываний и предикатов, отличающаяся от классической^[1].

Сравнение классической логики высказываний с интуиционистской поможет понять их отличие друг от друга.

Классическая логика создавалась в предположении, что се правила имеют универсальное значение, ее истины общезначимы для всех людей, для любых наук. Наоборот, интуиционисты рассматривают свою логику как часть математики, не имеющую за ее пределами никакого операционального значения. Логические правила — умственные конструкции, создаваемые для решения исключительно математических проблем.

Классическая логика высказываний основана на допущении, что истинные и доказуемые утверждения составляют один и тот же класс: всякая истина доказуема и каждое доказуемое утверждение истинно. Интуиционисты отрицают подобную эквивалентность и признают справедливым лишь то, что всякое доказуемое утверждение истинно, но обратное считают в общем неверным. Это означает, что для интуиционистов класс доказуемых истин включен в класс истин, но не равен ему.

Классическая логика оперирует понятиями «истина» и «ложь». Интуиционистская логика заменяет их понятиями «доказуемо» и «противоречиво (абсурдно)». Утверждение «высказывание р истинно» означает «высказывание р истинно, потому что доказано». Утверждение «высказывание р ложно» означает «высказывание р ложно, потому что доказано, что р невозможно, т. е. что из р следует противоречие (абсурд)».

Для классической логики значение любого высказывания определяется условиями, при которых оно истинно. Для интуиционистской логики значение любого высказывания определяется условиями, при которых оно может быть доказано.

Для классической логики понятия истины и лжи безличны, не имеют никакой субъективной составляющей. Истинное или ложное высказывание является таковым для всех без исключения. В интуиционистской логике каждое доказанное высказывание — это отчет математика об акте личного умственного конструирования в определенное время. Например, вместо «высказывание р истинно» интуиционисты говорят «во время / в моем уме существует (построена) конструкция К, доказывающая р». При этом связь умственного построения с субъектом существенна. Интуиционист не может сказать «существует построение К, независимое от кого бы то ни было». Для него это обещание, не подкрепленное личным свидетельством и лишенное доказательности. Для интуициониста имеют смысл лишь утверждения «в моем уме существует конструкция К».

Классическая логика основана на допущении, что значение истинности сложного высказывания представляет функцию истинности значений истинности составляющих его простых высказываний. В этом смысле она представляет логику функций истинности. Каждое высказывание классической логики либо истинно, либо ложно. Оно истинно (ложно), потому что ложно (истинно) ему противоречащее. Но интуиционистская логика не является логикой функций истинности. Она допускает высказывания, значение истинности которых не определяется значением истинности их логических атомов.

Последнее отличие становится более понятным, если сравнить интуиционистскую интерпретацию основных логических связок («не», «и», «или», «если…, то») с классической. В классической логике эти связки рассматриваются как условия истинности высказываний; в интуиционистской логике они считаются условиями доказуемости высказываний. Для краткости далее вместо «в моем уме существует конструкция К» будем говорить «существует конструкция К».

Высказываниеi/?, читается как «не-/?» и называется логическим отрицанием, доказуемо тогда, когда существует конструкция К, доказывающая, что не существует доказательства р (доказывающая, что из существования р выводимо противоречие). В классической логике отрицание высказывания представляет функцию истинности противоречащего ему высказывания: —*р истинно, если и только если р ложно. В интуиционистской логике доказательство -«/? требует специального доказательства невозможности р. Без такого доказательства интуиционист в общем (бесконечном) случае не может сделать вывод об истинности высказывания ->р. Если для классической логики из ложности высказывания р следует обязательная истинность высказываниян/?, то для интуиционистской логики это не является аксиомой: р может быть ложно, а -лр неопределенно. По этой причине логическое отрицание не является для интуициониста функцией истинности. К этому следует добавить, что поскольку определение логического отрицания производно от базисного для них понятия доказательства, то некоторые интуиционисты считают операцию отрицания вообще избыточной и полагают, что интуиционистская логика может быть построена без нее.

Высказывание (р & q), читается как «р и q» и называется конъюнкцией высказываний р и <7, доказуемо тогда, когда существует конструкция К, доказывающая как р, так и q. В классическом смысле конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все составляющие ее высказывания (конъюнкты). Для интуициониста этого недостаточно. Даже если все конъюнкты истинны, но не построено доказательство их совместной истинности, вся конъюнкция не может считаться доказанным утверждением. Значит, и конъюнкция в общем (бесконечном) случае для интуициониста не является функцией истинности.

Высказывание (pvq), читается как «р или q» и называется дизъюнкцией высказываний р и q, доказуемо тогда, когда существует конструкция К, доказывающая р или доказывающая q. В классической логике дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинным является хотя бы одно составляющее ее высказывание (дизъюнет). Для интуициониста этого недостаточно. Даже если найдется один истинный дизъюнкт, но не существует доказательства его истинности, дизъюнкция не считается доказанным утверждением. Следовательно, и дизъюнкция в общем (бесконечном) случае для интуициониста не является функцией истинности.

Высказывание р id q, читается как «если р, то q» и называется импликацией высказываний q из высказывания р, доказуемо тогда, когда существует конструкция К> которая будучи применена к доказательству р, позволяет доказать q. В классическом смысле импликация pzDq истинна тогда и только тогда, когда ложно высказывание р или истинно высказывание q. В интуиционистском смысле этого недостаточно. Даже если высказывания р и q истинны, но отсутствует конструкция К, позволяющая из доказательства р вывести доказательство q, вся импликация не может считаться доказанным утверждением. Значит, импликация в общем (бесконечном) случае для интуициониста также не является функцией истинности.

Из сказанного следует, что некоторые правила классической логики не выполняются в интуиционистской логике. Самым известным из них является закон исключенного третьего р v -р. В классической логике этот закон принимается без каких-либо ограничений. Интуиционисты также принимают данный закон, но только для конечных последовательностей объектов. Доказательство высказывания р или доказательство невозможности р требует конечного перебора и поэтому всегда выполнимо. Но этого нельзя сказать о бесконечном универсуме. Никакой перебор элементов здесь невозможен и все доказательства, обладает ли некоторое число данным свойством или нет, становятся бессмысленными. Допустим, требуется доказать, обладает ли натуральное число х свойством А, т. е. истинно ли высказывание «существует число д, обладающее свойством А». Согласно закону исключенного третьего, его альтернативой будет высказывание «ни одно из чисел дг свойством А не обладает». Если задана конечная последовательность натуральных чисел, то поставленная проблема решается однозначно посредством последовательной проверки ее элементов. В этом случае либо по крайней мере одно из таких чисел будет обнаружено, либо будет доказано, что все числа из этой последовательности свойством А не обладают. Но в бесконечной области такая процедура неосуществима, потому что нельзя перебрать все числа натурального ряда, чтобы обнаружить нужное. Но также нельзя доказать, что ни одно из чисел свойством А не обладает, так как для этого требуется опровержение бесконечного числа альтернатив. Иными словами, согласно интуиционистам, закон исключенного третьего в бесконечной области объектов — случай неразрешимой проблемы.

Брауэр был первым, кто обратил внимание на то, что закон исключенного третьего — специальный случай проблемы разрешимости. Это и стало решающим мотивом, побудившим Брауэра выступить против закона исключенного третьего^[2]. В 1900 г. Гильберт сформулировал аксиому разрешимости каждой математической проблемы. В это время Гильберт предполагал, что выражает общее мнение всех математиков. Позже он признал, что эта проблема требует дальнейшего исследования, и переформулировал ее в проблему разрешимости, независимую от каких-либо споров о природе математики.

Ниже приводится реконструкция невыполнимости закона исключенного третьего в интуиционистской логике. В нем используется правило R_d, согласно которому дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда ложны все ее дизъюнкты (альтернативы). Идея становящейся последовательности выборов формализуется посредством индексации значений истинности высказываний их истинностью в определенном возможном мире и Пусть w обозначает мир, в котором мы реально существуем (действительный мир).

Реконструкция интуиционистского доказательства невыполнимости закона исключенного третьего в бесконечной области объектов.

• 1. р v —р ложно в мире w, (допущение).
• 2. р ложно в мире w (из (1), Rd).
• 3. -1/7 ложно в мире vvj (из (1), Rd).
• 4. /?, возможно, истинно в мире w"₉ п *1 (из (3)).
• 5. Вторая и четвертая строчки не образуют противоречия. Учитывая, что, кроме нашего мира, возможно существование бесконечного множества других миров и тем самым последовательностей выборов, ложность высказывания р в мире w не исключает его возможной истинности в другом мире w". Но если допущение ложности закона исключенного третьего при интуиционистском истолковании не приводит к противоречию, он не может быть законом интуиционистской логики.

Аргументы интуиционистов (и, добавим, конструктивистов) против закона исключенного третьего будут более понятны на следующем простом примере. Допустим, имеется общее высказывание «для всех х выполняется свойство А», формально (х)Ах. Это суждение в конечной области из п объектов эквивалентно конъюнкции частных суждений следующего вида: (Ах_х & Ах₂ & … & Ах"). Построим отрицание этого общего суждения: -i (Ax & Ах₂ & … & Ах"). По правилам де Моргана отрицание рассматриваемого суждения эквивалентно дизъюнкции следующего вида: (-Ах v -Ах₂ v … v -Ах"). Каждый дизъюнкт —Ах", символизирующий объект х" со свойством —А, представляет противоречащий пример (контрпример) общего суждения (х)Ах. Но какой именно? Классические математики и логики отвечают, что это не имеет особого значения. Достаточно того, что он просто существует. Интуиционисты считают это недостаточным: вместо утверждения существования необходимо указать, какой конкретно дизъюнкт —Ах" является контрпримером. Для этого в конечной области достаточно перебрать все объекты и найти тот, который опровергает общее суждение (х)Ах. Поскольку это возможно принципиально, закон исключенного третьего в форме «истинно либо суждение (х)Ах, либо суждение (Ех)-Ах»" для конечной области объектов интуиционистами признается общезначимым.

Допустим теперь, область исследуемых объектов бесконечна. Тогда конъюнкция (Ах| &Ах₂&… &Ах") и дизъюнкция (—Ахi v —Ах2 v… v —Ах") будут содержать бесконечное число членов. Какой именно дизъюнкт в бесконечной дизъюнкции будет представлять контрпример? В бесконечной области объектов ответ на этот вопрос для интуиционистов принципиально бессмысленен. Но тогда становится бессмысленным и рассуждение согласно закону исключенного третьего.

Сказанное означает, что в основе отрицания интуиционистами (конструктивистами) закона исключенного третьего лежит следующая проблема. Если классические математики считают, что отрицание общего суждения всегда (в любой области объектов) влечет существование контрпримера и поэтому альтернатива между общим высказыванием и его отрицанием, т. е. частным суждением, законна, интуиционисты (конструктивисты) признают это справедливым только в конечной области.

• [1] 1,0 См.: Гейтинг А. Интуиционизм. С. 122−142.
• [2] Beth Е. W. Mathematical Thought. An Introduction to the Philosophy of Mathematics. Dordrecht, 1965. P. 77−80.