Преобразование линейных электрических схем

Общие и методические замечания

В некоторых случаях расчет электрических цепей существенно упрощается, если применить преобразование схем. При этом можно уменьшить число ветвей или узлов, а, следовательно, и число уравнений.

Например, в той части схемы, где не содержатся источники, а пассивные элементы соединены последовательно — параллельно, можно путем свертывания ветвей с последовательными и параллельными сопротивлениями получить более простую схему.

При проведении преобразований необходимо выполнять условия неизменности мощности потребляемой ветвями, не затронутыми преобразованиями. Для этого достаточно сохранить неизменными токи и напряжения этих ветвей.

Отметим еще раз (хотя об этом уже говорилось), что в преобразованной части схемы суммарные мощности в общем случае не равны суммарным мощностям исходной схемы.

Последовательное и параллельное соединение сопротивлений.

Рассмотрим эти преобразования на примере резисторов, соединенных последовательно, параллельно и смешанным образом (см. рис. 2.1, 2.2, 2.3).По резисторам R1 и R2 при их последовательном соединении (рис. 2.1) — протекает один и тот же ток I. Следовательно,.

(2.1).

где — эквивалентное сопротивление.

По резисторам R1 и R2 при параллельном их соединении (рис. 2.2) протекают разные токи при общем напряжении U12. Суммарный ток.

(2.2).

где — эквивалентная проводимость;

или — эквивалентное сопротивление двух ветвей.

Из выражения (2.2) можно получить формулу «разброса токов» для случая двух ветвей, соединенных параллельно.

А именно;; .

Последние формулы легко запоминаются. Так для тока I1 в числителе стоит «чужое» сопротивление — R2, в знаменателе — сумма сопротивлений.

Для смешанного соединения сопротивлений (см. рис. 2.3), пользуясь (2.1) и (2.2), получим.

.

Пример 2.1. Параметры элементов схемы рис. 2.4 а таковы: R1 = 5,2 Ом; R2 = 8 Ом; R3 = 4 Ом;

R4 = 10 Ом; R5 = 40 Ом; Е1 = 100 В.

Путем свёртывания схемы определить ток I1.

Решение Сначала заменим параллельное соединение R4 и R5, на эквивалентное.

Ом (рис. 2.4 б).

Далее последовательное соединение R3 и R6 заменим на R7 = R3 + R6 = 12 Ом (рис. 2.4, в).

Параллельное соединение R2 и R7 заменим на эквивалентное Ом (рис. 2.4 г).

Теперь схема содержит только один контур, для которого не представляет труда составить уравнение по второму закону Кирхгофа.

откуда А.

Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в звезду и обратно Рассмотрим преобразование схем, в которых резисторы соединены в эквивалентные треугольник (рис. 2.5 а) и звезду (рис. 2.5 б).

Как отмечалось выше, условие эквивалентности двух схем сводится к равенству токов протекающих к узлам 1, 2, 3 треугольника и к соответствующим точкам звезды — это токи I1, I2, I3, а также к равенству напряжений между этими же точками.

Запишем напряжение U21 для треугольника и звезды при условии I2 = 0; I3 = - I1.

В треугольнике по сопротивлению R12 протекает ток, являющийся частью тока I3.

(так как I2 = 0), который мы найдем по формуле «разброса токов».

(2.3).

Отсюда напряжение.

(2.4).

Это же напряжение для эквивалентной звезды (с учетом I2 = 0).

;; ;. (2.5).

Приравнивая (2.4) и (2.5), получим.

(2.6).

Аналогично (2.6) можно записать.

(2.7).

(2.8).

Формулы (2.6), (2.7) и (2.8) позволяют по известным сопротивлениям исходного треугольника получить сопротивления лучей эквивалентной звезды.

При обратном преобразовании, если за исходную схему берем трёхлучевую звезду, то сопротивления эквивалентного треугольника получим, решая совместно уравнения (2.6), (2.7) и (2.8) относительно неизвестных параметров треугольника.

; (2.9).

; (2.10).

; (2.11).

Обратите внимание на известную мнемонику формул (2.6) — (2.11), позволяющую довольно просто их запомнить. Например, сопротивление R1 по (2.6) для эквивалентной звезды получаем как произведение сопротивлений R12 и R31, подключенных к 1 узлу треугольника, деленное на сумму всех его сопротивлений.

Сопротивление, например, R12 по (2.9) получается как сумма сопротивлений R1 и R2 (обратите внимание на их индексы) и сопротивления R1R2/R3 (внимание на индексы).

Пример 2.2. В схеме рис. 2.6 а величины сопротивлений и ЭДС известны:

R1 = 2 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 2 Ом; R4 = 5 Ом; R5 = 3 Ом; R6 = 6 Ом; Е1 = 12 В; Е2 = 10 В.

Определять токи в ветвях схемы.

Решение Если выполнять поставленную задачу без предварительного преобразования схемы, то для определения токов пришлось бы решать или шесть уравнений по методу законов Кирхгофа, или три уравнения, составленных по методу контурных токов, или три уравнения по методу узловых потенциалов.

Преобразуем треугольник сопротивлений R3, R4, R5 в эквивалентную звезду. После преобразования схема примет вид на рис. 2.6 б. В этой схеме, согласно (2.6), (2.7) и (2.8),.

Ом;

Ом;

Ом.

Отметим, что токи I1, I2 и I6 в схемах на рис. 2.6 а и 2.6 б остались неизменными, так как протекают по не преобразованным частям схемы.

Заменяя последовательно соединенные сопротивления на эквивалентные, получим.

Ом; Ом; Ом.

Схема рис. 2.6 б примет вид рис. 2.6 а.

В схеме на рис. 2.6 в только два узла. Это позволяет по методу узловых потенциалов, приняв 4 = 0, записать только одно уравнение, т. е. формулу «двух узлов» (1.21).

В. (2.9).

Далее, используя обобщенный закон Ома, найдем токи I1, I2 и I6 в не преобразованной части схемы (4 = 0).

А; А; А.

Для определения токов I3, I4 и I5 вернемся к схеме рис. 2.6 б и определим потенциалы узлов 1, 2, 3 (4 = 0).

В; В; В.

По условиям эквивалентности потенциалы узлов /, 2, 3 схемы рис. 2.6 а и потенциалы точек 1, 2, 3 схемы рис. 2.66 одинаковы. Поэтому для токов I3, I4, I5 схемы рис. 2.6 а получим.

А; А; А.

Преобразование параллельных ветвей с источниками ЭДС и тока Если сложная электрическая схема содержит некоторое количество ветвей с источниками ЭДС или тока, соединенных параллельно, то расчет такой схемы может быть существенно облегчен путем замены параллельных ветвей одной ветвью с эквивалентными сопротивлением и ЭДС или эквивалентным источником тока. Проиллюстрируем сказанное на примере схемы, приведенной на рис. 2.7.

На схеме рис. 2.7 а между точками 1 и 2 подключены две ветви с источниками ЭДС E1 и E2 и сопротивлениями R1 и R2. К этим же точкам подключен источник тока J3. Требуется заменить часть схемы слева от точек 1 и 2 на эквивалентную с источником ЭДС Е и внутренним сопротивлением R, как на рис. 2.7 б, либо на схему с источником тока JУ и внутренним сопротивлением R, как на рис. 2.8.

Условием эквивалентности является одинаковая для всех трех схем мощность, выделяющаяся на RН. Для этого необходимо, чтобы при заданном RН напряжение U и ток I в нём оставались неизменными. Для схемы рис. 2.7 а по первому закону Кирхгофа запишем.

. (2.12).

или, используя обобщенный закон Ома,.

(2.13).

где;; .

В схеме рис. 2.76 ток.

(2.14).

В схеме рис. 2.8 (2.15).

где JУ — эквивалентный источник тока.

Так как условия эквивалентности должны выполняться при любых напряжениях U и токах I, то приравнивая правые части (2.13) и (2.14), а также (2.13) и (2.15), получим.

;

.

Из последних уравнений следует.

; (2.16).

(2.17).

. (2.18).

Обратим внимание на то, что эквивалентная проводимость g является суммой проводимостей всех ветвей независимо от того, есть или нет в данной ветви ЭДС. Исключение составляет источник тока J3 — проводимость этого участка цепи равна нулю и может не учитываться при подсчете проводимости g. Так как сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, то сопротивление R3, соединенное последовательно с J3, не меняет величину сопротивления, а значит, и проводимости ветви источника тока. Вместе с тем, значение эквивалентной ЭДС Е, как и эквивалентного источника тока JУ, зависят от величин ЭДС Е1 и Е2 и тока J3.

Правило знаков получим из (2.17) и (2.18). Если стрелки источников ЭДС и источников тока направлены так же как стрелки эквивалентных Е и JУ, т. е. к точке 1 (см. рис. 2.7 а), то берут соответствующие слагаемые со знаком плюс. В нашем случае это Е1 и J3. Для ветви с Е2 знак противоположный.

Пример 2.3. Преобразовать схему рис. 2.7 а к виду рис. 2.7 б, если R1 = R2 = R3 = R4 = 60 Ом; Е1 = 90 В; Е2 = 30 В; J3 = 1 А.

Решение.

1. Определяем проводимости ветвей; .

2. Определяем проводимость эквивалентного источника.

; Ом.

3. Определяем силу источника тока

А, где J1 и J2 — эквивалентные источники.

4. Составляем преобразованную схему (см. рис. 2.7 б).

Метод эквивалентного генератора.

Часть электрической цепи произвольной конфигурации с двумя выделенными зажимами, именуемыми полюсами, называется двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники электрической анергии, называются активными (рис. 2.9 а), а двухполюсники, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными (рис. 2.9 б).

В электрической цепи выделим ветвь с сопротивлением R, а оставшуюся часть схемы, содержащую источники энергии, будем рассматривать как активный двухполюсник (рис. 2.10).

Разомкнем ветвь с сопротивлением R, как показано на рис. 2.11 а, и рассчитаем или измерим напряжение на зажимах активного двухполюсника в режиме холостого хода UХ. Затем последовательно с сопротивлением R в схеме рис. 2.10 включим встречно два идеальных источника напряжения с ЭДС, равными E = UХ каждая (см. рис. 2.11 б). Схемы на рис. 2.10 и рис. 2.11 б эквивалентны, так как напряжение U и ток I в сопротивлении R одинаковы в обеих схемах.

Для расчета тока в схеме на рис 2.11 б воспользуемся принципом наложения. Для этого оставим все источники энергии внутри активного двухполюсника и один из источников напряжения E = UХ — правый, а левый источник исключим. В полученной схеме рис. 2.11 в ток I = 0, так как знамения потенциалов в ней такие же, как в схеме на рис. 2.11 а Действительно, если в разрыв цепи на рис. 2.11 а включить ЭДС, направленную навстречу UХ, то в сопротивлении R так обращается в нуль лишь при условии, что эта ЭДС равна и противоположна напряжению E = UХ на зажимах 1 — 2 активного двухполюсника.

В схеме на рис. 2.11 г остался левый источник напряжения E = UХ и пассивный двухполюсник, получившийся после исключения источников энергии активного двухполюсника схемы рис. 2.11 б, причем их внутренние сопротивления сохраняются.

Ток в схеме рис. 2.11 г рассчитывается по формуле.

(2.19).

где RВвнутреннее сопротивление пассивного двухполюсника; R — сопротивление нагрузки.

В режиме короткого замыкания R = 0; I = IКЗ. Получаем из (2.19).

(2.20).

Уравнение (2.19) является математическим выражением теоремы об активном двухполюснике или эквивалентном генераторе (теорема Тевенена-Гельмгольца). Она чаще всего применяется в том случае, когда в сложной цепи необходимо определить ток одной ветви. Для того, чтобы ею воспользоваться, необходимо разомкнуть ветвь, ток и которой надо найти, и определить расчетным или экспериментальным путем напряжение холостого хода UХ на разомкнутых зажимах 1 — 2 (см. рис. 2.11 а). Затем отключив все источники энергии активного двухполюсника рис. 2.11 а определить расчетным путем его внутреннее сопротивление RВ, например, сворачивая схему относительно зажимов 1 — 2; .величину RВ можно определить опытным путем, используя выражение (2.20).

Пример 2.4. В схеме рис. 2.6 определить ток I2 методом эквивалентного генератора. Параметры схемы (пример 2.2).

Решение.

1. Определяем параметры эквивалентного генератора со стороны зажимов 2 — 4. На рис. 2.12 а приведена схема с отключенной второй ветвью (Е2, R2). сопротивление электрический ток генератор Параметрами эквивалентного генератора схемы рис. 2.12 а являются: напряжение U42Х — напряжение холостого хода на зажимах 4,2 и RВ42 — входное сопротивление со стороны зажимов 4,2. Отметим, что токи в ветвях схемы рис. 2.12 а не равны токам схемы рис. 2.6.

2. Определим сначала входное сопротивление. Для этого удалим источник Е1, оставив его внутреннее сопротивление (оно равно нулю).

В получившейся схеме (рис. 2.12 б) преобразуем треугольник сопротивлений R3, R4 и R5 в эквивалентную звезду. При этом получаем схему рис. 2.12 а. Величины rа, rб, rв взяты из примера 2.2. Затем проведем последовательную замену.

Ом;Ом; Ом.

И окончательно.

Ом.

3. Напряжение холостого хода UХ определяем по схеме рис. 2.12 г. В этой схеме только один контур. Ток, протекающий по нему,.

А.

По сопротивлению rб ток не течет и, следовательно,.

В.

4. Схему, на рис. 2.12 г слева от зажимов 2−4 заменим нa эквивалентную (см. рис. 2.12 б). К зажимам 2−4 присоединяем вторую ветвь (Е2, I2) и определим ток I2. А.

Задачи для самостоятельного решения (к главе 2).

В схеме рис. 2.13 .найти показание амперметра (его внутреннее сопротивление равно нулю):

• а) предварительно преобразовав схему;
• б) методом эквивалентного генератора.

Ответ: IА = 1 А.

В схеме рис. 2.14 дано:

r1 = 120 0 м; r2 = 180 Ом; r3 = 120 0 м;

r4 = 80 Ом; r5 = 80 Ом; r6 = 50 Ом; E = 12 В.

Определить ток в диагонали моста.

Ответ: I = -0,0084 А.