Геометрические уравнения. 
Основные характеристики сопротивления материалов

Обратимся к рис. 1.12 и формулам (1.22), (2.1), согласно которым.

, (2.26).

, ,. (2.27).

Отсюда имеем.

. (2.28).

С другой стороны, орт касательной изогнутой оси стержня равен.

.

Поэтому с учётом (2.26), (2.27).

. (2.29).

Приравняв (2.28) и (2.29), находим.

, (2.30).

. (2.31).

В приближении малых деформаций, когда относительное удлинение элементов оси стержня имеет пренебрежимо малую величину по сравнению с единицей (т. е.), формулы (2.30) упрощаются:

. (2.32).

Однако формула (2.31) и в этом случае сохранят свою значимость.

Таким образом, из шести компонент вектора перемещения и вектора поворота независимыми являются только четыре компоненты. В качестве таковых удобно взять компоненты.

, ,, (2.33).

каждая из которых отвечает растяжению, изгибу в главной плоскости, изгибу в главной плоскости и кручению стержня соответственно. Остальные две компоненты — углы поворота, , включая относительное удлинение элементов оси, определяются из выражений (2.31) и (2.32), которые можно рассматривать как кинематические ограничения, накладываемые гипотезой плоских сечений на перемещения стержня.

Растяжение. Рассмотрим сначала деформацию чистого растяжения, когда из величин (2.33) только. Записав размерную цепочку (рис. 2.2, а).

.

Получим.

.

Значит, при чистом растяжении относительное удлинение материальных отрезков, параллельных оси стержня, одинаково по величине:

. (2.34).

Поэтому при упругом изотермическом растяжении в соответствии с законом Гука (1.19) в поперечных сечениях стержня возникают равномерно распределённые нормальные напряжения (рис. 2.2, б).

. (2.35).

Рис. 2.2. Чистое растяжение стержня

Изгиб в плоскости. Рассмотрим далее деформацию чистого изгиба в главной плоскости, когда из величин (2.33) только (рис. 2.3). Так как, из формул (2.31), (2.1) следует, что.

; .

Рис. 2.3. Чистый изгиб в главной плоскости

Значит, элемент оси (рис. 2.3, а) при изгибе сохраняет свою длину, а другие элементарные отрезки, параллельные оси, либо растягиваются, либо удлиняются. Иными словами, глядя на рис. 2.3, а и полагая, имеем.

, ,.

.

Следовательно,.

.

Отсюда получается выражение.

определяющее алгебраическое значение радиуса кривизны изогнутой оси стержня, а также выражение для относительного удлинения материального элемента, параллельного оси стержня (рис. 2.3):

. (2.37).

Из (2.36) следует, что радиус кривизны изогнутой оси стержня имеет положительное (отрицательное) алгебраическое значение, если угол поворота поперечного сечения является возрастающей (убывающей) функцией. Если, то согласно (2.37) при имеет место растяжение, а при — сжатие соответствующего материального элемента.

При изотермическом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, распределённые в соответствии с законом Гука (1.19) и формулой (2.37) по линейному закону (рис. 2.3, б):

. (2.38).

Изгиб в плоскости. Аналогичный результат получается при рассмотрении деформации чистого изгиба в главной плоскости, когда из величин (2.33) только (рис. 2.4). Поскольку, то, как и ранее,. Поэтому при из рис. 2.4, а имеем.

, ,.

.

Следовательно,.

.

Отсюда вытекает выражение для алгебраического значения радиуса кривизны изогнутой оси стержня.

(2.39).

а также выражение для относительного удлинения материального элемента, параллельного оси стержня (рис. 2.4, а):

. (2.40).

Рис. 2.4. Чистый изгиб в главной плоскости

Из (2.39) следует, что радиус кривизны изогнутой оси стержня принимает положительное (отрицательное) алгебраическое значение, если угол поворота поперечного сечения является возрастающей (убывающей) функцией. Если, то в согласии с (2.40) при имеет место сжатие, а при — растяжение соответствующего материального.

элемента.

При изотермическом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, распределённые в соответствии с законом Гука (1.19) и формулой (2.40) по линейному закону (рис. 2.4, б):

. (2.41).

Кручение. Рассмотрим чистое кручение, когда из всех величин (2.33) лишь. В этом случае торцы элемента стержня длиной поворачиваются на относительный угол (рис. 2.5, а). За счёт этого на цилиндрической поверхности радиуса наблюдается сдвиговая деформация мысленно нанесённой сетки. Угол сдвига определяется равенством (рис. 2.5, а).

.

Следовательно,.

. (2.42).

В соответствии с законом Гука (1.21) в поперечных сечениях стержня возникают касательные напряжения (рис. 2.5, б), которые с учётом (2.42) распределены по линейному закону (рис. 2.5, в):

. (2.43).

Рис. 2.5. Кручение стержня

По закону парности касательных напряжений (рис. 2.5, б) такое же распределение касательных напряжений имеет место и в диаметральных плоскостях продольных сечений стержня (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Распределение касательных напряжений при кручении

Нетрудно заметить (рис. 2.5, а), что отрезки длиной, параллельные оси стержня до деформации, после деформации имеют длину.

.

Поэтому их относительное удлинение равно.

. (2.44).

При упругом деформировании угол сдвига (2.42) крайне мал (для стали порядок максимального значения 10-³ рад). Поэтому величина (2.44) имеет второй порядок малости и ей можно пренебречь по сравнению с относительными удлинениями при растяжении и изгибе.

В общем случае малых перемещений стержня относительное удлинение элементарных отрезков, параллельных оси стержня до деформации, складывается из относительных удлинений при растяжении и изгибе:

. (2.45).

С учётом (2.34), (2.37), (2.40) формула (2.45) принимает вид.

. (2.46).

Если же принять во внимание (2.36), (2.39), будем иметь.

. (2.47).

В записи формулы (2.47) отражена структура зависимости относительного удлинения от координат точек стержня, являющихся началом бесконечно малых элементов стержня, нормальных к поперечным сечениям, как до деформации, так и после деформации (рис. 2.2, рис. 2.3, а, рис. 2.4, а).

Если привлечь зависимости (2.32), то тогда (2.47) перепишется так:

. (2.48).

Как видим, относительная деформация в данной точке стержня полностью определяется через перемещения точек оси стержня.