Разделение переменных во второй паре уравнений Максвелла. 
Волновые уравнения и уравненияГельмгольца

Вторую пару уравнений Максвелла (2.1.2 и 2.1.4) не всегда удобно использовать из-за того, что в оба вектора и входят и в первое, и во второе уравнение пары. Преобразуем их так, чтобы вектора разделились. Это преобразование можно проделать во временной области и для комплексных амплитуд. В первом случае уравнения называют волновыми, а во втором — уравнениями Гельмгольца.

Получим волновое уравнение. Считаем, что среда однородна, а электрическая и магнитная проницаемости постоянны. Запишем вторую пару уравнений Максвелла (см. 1.3.4):

(2.7).

Если от обеих частей первого уравнения взять ротор, а затем в правой части вместо rot подставить его значение из второго уравнения, то получим соотношение, содержащее только вектор. Проделаем эти операции.

rot rot = rot+rot + Э rot.

Для того, чтобы упростить выражение, воспользуемся известным тождеством векторной алгебры (см. приложение).

rot rot = grad div — .

Вместо rot подставим его значение из первого уравнения (1.3.4).

grad div — = rot + () +.

+Э ().

Перенесем все слагаемые, содержащие магнитное поле влево и получим уравнение для вектора.

— (Э +М)-ЭМgrad div =.

= - rot + Э + (2.8).

Воспользовавшись принципом перестановочной двойственности, получим аналогичное уравнение для электрического вектора.

— (Э +М) — ЭМgrad div =.

= rot + М+ (2.9).

Эти соотношения называют волновыми уравнениями для векторов магнитного и электрического полей. В частном случае, когда исследуются процессы распространения электромагнитных волн и сторонние токи и заряды, возбуждающие поле, находятся за пределами анализируемой части пространства, неоднородные волновые уравнения переходят в однородные. Если к тому же не учитывать потери, связанные с конечной проводимостью, то уравнения упрощаются и принимают следующий вид:

— = 0, (2.10).

— = 0. (2.11).

Комплексная форма волновых уравнений получила название — уравнения Гельмгольца. Запишем неоднородные уравнения Гельмгольца. Переходя в (2.8, 2.9) к комплексным амплитудам и вводя обозначение.

(2.12).

получим.

+ 2 = - rot + i+ grad; (2.13).

+ 2 = rot + i+ grad. (2.14).

максвелл уравнение амплитуда по.