Разработка цифрового фильтра

Федеральное агентство связи Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Кафедра СРС КУРСОВАЯ РАБОТА ПО КУРСУ Цифровая обработка сигналов

«Разработка цифрового фильтра»

Новосибирск — 2009

Содержание Введение

1. Расчет аналогового фильтра прототипа, проверка его на устойчивость

2. Расчет спектра входного воздействия и комплексную передаточную характеристику фильтра с помощью быстрого преобразования Фурье

3. Расчет свертки во временной и частотной областях входного воздействия и заданной передаточной характеристики. С помощью ОБПФ расчет выходного воздействия

4. Расчет мощности собственных шумов синтезируемого фильтра Заключение Список литературы

Введение

фильтр сигнал частотный дискретный шум В последнее время методы цифровой обработки сигналов (ЦОС) в радиотехнике, системах связи, управления и контроля приобрели большую важность и в значительной мере заменяют классические аналоговые методы.

Обработка дискретных сигналов осуществляется, как правило, в цифровой форме. Каждому отсчету ставится в соответствие двоичное кодовое слово и, в результате, действия над отсчетами заменяются действиями над кодовыми словами. Таким образом, дискретная цепь становится цифровой цепью, то есть цифровым фильтром.

В курсовой работе необходимо привести расчеты фильтра во временной и частотной областях при помощи быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), а также расчет выходного сигнала.

Алгоритм функционирования фильтра реализуется неточно из-за ошибок, возникающих при квантовании и округлении результатов арифметических операций, поэтому необходим расчет мощности собственных шумов фильтра.

1. Расчет аналогового фильтра прототипа, проверка его на устойчивость Между аналоговыми и цифровыми частотами существует зависимость, связанная с :

Учитывая это находим частоты ПП и ПН аналогового фильтра прототипа:

Используя полученные данные с помощью программы Micro-Cap, определили передаточную функцию аналогового фильтра прототипа:

где:

Функция передачи аналоговой цепи с сосредоточенными параметрами представляет собой дробно-рациональную функцию переменной S. Чтобы получить функцию передачи дискретного фильтра, необходимо перейти из S-области в Z-область, причем дробно-рациональный характер функции должен сохраниться. Поэтому замена для переменной S должна представлять собой также дробно-рациональную функцию переменной Z. Чтобы частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров были связаны простой зависимостью, искомая замена переменной должна отображать мнимую ось в S-области на единичную окружность в Z-области. В этом случае частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров будут связаны лишь трансформацией частотной оси и никаких искажений «по вертикали» не будет.

Простейшей из функций, удовлетворяющих перечисленным требованиям, является билинейное z-преобразование:

После всех преобразований передаточная функция цифрового фильтра равна:

Проверка на устойчивость:

При анализе работы любой цифровой структуры важное место приобретает вопрос устойчивости. Если по каким-либо причинам цепь оказывается неустойчивой, то вместо желаемого фильтра получают генератор.

Для того чтобы фильтр был устойчивым, полюсы его передаточной функции должны располагаться внутри единичного круга плоскости Z.

Для определения устойчивости цепи, необходимо найти полюса передаточной функции, то есть корни знаменателя.

·

·

Полюсы передаточной функции лежат в плоскости единичной окружности на плоскости z, следовательно цепь устойчивая.

Импульсная характеристика Для того чтобы найти импульсную характеристику, для начала преобразуем передаточную функцию, получаем:

Разделим числитель передаточной функции на знаменатель:

Получили импульсную характеристику данного фильтра:

2. Расчет спектра входного воздействия и комплексную передаточную характеристику фильтра с помощью быстрого преобразования Фурье Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) устанавливает связь между отсчетами во временной и частотной областях. Формула ДПФ для входного сигнала:

где: N — количество отсчетов во временной и частотной областях; - весовая функция.

Рис. 1 Алгоритм БПФ Так как количество отсчетов N=8, БПФ производится в два этапа. Определяем для каждого из этапов значения весовых функций.

Этап 1. Количество взаимодействующих элементов — 4,

; ;

Этап 2. Количество взаимодействующих элементов — 8,

; ;

;

Исходные отсчеты подаются на вход не в естественном порядке. На рис. 1. изображена так называемая бабочка. Это графический алгоритм быстрого преобразования Фурье. Состоит из простых элементов: сумматоров, вычитателей и есть так же элементы домножения на весовые функции. Числа на вход подаются в определенной последовательности, на выходе получаем комплексные числа .

При расчете исходной последовательностью является импульсная характеристика, которая определяется по передаточной характеристике .

§ Заданная последовательность:

Произведем расчет спектра входного сигнала:

Рис. 2. Алгоритм с результатами вычислений .

Путем простейших расчетов, получили следующие значения входного сигнала :

§ Теперь рассчитаем :

Значения:

Рис. 3. Алгоритм с результатами вычислений.

3. Расчет свертки во временной и частотной областях входного воздействия и заданной передаточной характеристики. С помощью ОБПФ расчет выходного воздействия

· Произведем расчет свертки заданных последовательностей во временной области:

Будем использовать круговую свертку. Формула круговой свертки:

· Произведем расчет свертки в частотной области:

Расчет выходного воздействия с помощью ОБПФ:

Рис. 4 Алгоритм с результатами вычислений

При ОБПФ значения весовых функций меняются, и каждое значение на выходе необходимо разделить на 8 (в данном случае) Функции при ОБПФ:

Этап 1. Количество взаимодействующих элементов — 4,; ;

Этап 2. Количество взаимодействующих элементов — 8,; ;

;

После проведенных расчетов, получили:

Полученные значения совпадают с ранее рассчитанными методом круговой свертки.

4. Расчет мощности собственных шумов синтезируемого фильтра В основе процессов преобразования аналогового сигнала U (t) в цифровой сигнал X (t) лежит сравнение последовательности отсчетов мгновенных значений аналогового сигнала с некоторым набором эталонов, каждый из которых содержит определенное число уровней квантования.

На первом этапе преобразования формируется последовательность отсчетов. При равномерной дискретизации интервал дискретизации постоянен.

На втором этапе происходит квантование отсчетов, то есть каждый отсчет представляется числом, соответствующим ближайшему уровню квантования. Число уровней квантования определяется разрядностью кодовых слов. Чем больше разрядность кодовых слов, тем больше число уровней квантования и тем точнее будет представлен отсчет. Расстояние между смежными уровнями квантования равно шагу квантования. Шаг квантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением:

где b — разрядность кодовых слов.

Значение младшего разряда кодовых слов численно равно шагу квантования.

На выходе цифровой системы ошибки квантования воспринимаются в виде шума, который называется — шумом квантования Шумы в данном случае образуют АЦП и множители. Изобразим схему фильтра с учетом шумов квантования:

Рис. 5. Схема рекурсивного фильтра с учетом шумов квантования.

Где — шум от АЦП, — шум от умножителя.

§ Мощность шума на выходе цепи определяется, как:

где — импульсная характеристика цепи.

— мощность шума умножителя.

— мощность шума АЦП.

— импульсная характеристика выходной цепи.

Шум от АЦП «проходит» через каждый умножитель, следовательно на выходе будет мощность шума:

Рассчитаем мощность шума одного умножителя:

где — разрядность умножителя.

§ Рассчитаем мощность шума АЦП:

где — разрядность АЦП.

Мощность шума на выходе будет равна:

Заключение

В результате выполнения курсовой работы был спроектирован цифровой фильтр. В ходе работы были рассчитаны характеристики фильтра во временной и частотной областях при помощи быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), мощность собственных шумов фильтра.

1. Цифровая обработка сигналов /А.Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с.: ил.

2. А. Т. Бизин. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие / СибГУТИ. — Новосибирск, 2005. — 86 с.

3. Конспект лекций по курсу ЦОС.