Расчёт характеристик сигналов и каналов связи

Расчетно-пояснительная записка к курсовому проекту

По дисциплине «Теория передачи сигналов»

«Расчёт характеристик сигналов и каналов связи»

Реферат

Пояснительная записка содержит 32 страницы машинописного текста, 17 рисунков, 4 библиографических источника

Полезный сигнал, спектр сигнала, дискретизация, кодирование, разрядность кода, модуляция, несущая частота, боковая частота, белый шум

В курсовом проекте «Расчет характеристик сигналов и каналов связи» рассматриваются методы расчета характеристик сигналов и каналов связи. Курсовой проект содержит основные сведения о характеристиках и параметрах сигналов и каналов связи, их расчет; графики характеристик сигналов, содержатся сведения о характеристиках модулированных и немодулированных сигналов, применяемых в современных системах связи. Рассмотрены принципы преобразования сигналов в цифровую форму и требования к аналогово-цифровому преобразователю (АЦП). Даны математические варианты для расчетов спектров, корреляционных характеристик.

1. Расчет основных характеристик сигнала

1.1 Обработка исходных данных

1.2 Расчёт спектральных характеристик сигналов

2. Расчёт практической ширины спектра сигнала

3. Расчёт интервала дискретизации сигнала и разрядности кода

4. Расчёт характеристик импульсно-кодовой модуляции

4.1 Расчёт характеристик АЦП

4.2 Расчет математического ожидания и дисперсии кодовой последовательности

4.3 Расчет характеристик АКФ

5. Характеристики модулированных сигналов

6. Согласование источника информации с каналом связи

7. Расчет вероятности ошибки в канале с аддитивным белым шумом

Заключение

Библиографический список

аналоговый цифровой сигнал преобразователь Значительную роль в деле совершенствования системы управления эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет развитие всех видов связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной автоматизированной системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ). Комплекс технических средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры Министерства путей сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое целое сетью передачи данных.

Управление территориально разобщёнными объектами на всех уровнях осуществляется передачей сообщений разнообразными электрическими сигналами с широким использованием систем передачи информации, т. е. систем связи, работающих по проводным и радиоканалам.

Проблемы эффективности систем передачи информации состоит в том, чтобы передать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее экономичным образом (в смысле затрат энергии и полосы частот) в заданное время. Перечисленные проблемы тесно связанны между собой.

Повышение помехоустойчивости и эффективности достигается использованием наиболее совершенных способов передачи (кодирование и модуляции) и приёма (декодирования и демодуляции).

Внедрение и развитие АСУЖТ влечёт за собой увеличение доли информации, передаваемое в цифровой форме при повышенных требованиях к верности и скорости передачи.

Для правильного понимания принципов функционирования действующих и перспективных систем передачи информации, способов обеспечения высоких скоростей и верности передачи информации, инженеру — специалисту в области автоматики, телемеханики и связи необходимо знать основные положения теории связи, включающие в себя теорию информации, теорию сигналов, теорию модуляции, оптимального приёма и помехоустойчивого кодирования.

Структурная схема канала связи

Рис. 1

Каналом связи называется совокупность технических средств, обеспечивающих передачу сигнала от источника до получателя. Каналы связи бывают дискретные и непрерывные, в зависимости от способа передачи сигнала.

Источником информации является объект материального мира, различимые изменения состояния которого наблюдаются через тракт передачи информации.

Совокупность устройств, преобразующих сообщение в электрический сигнал для передачи его через систему связи, называют передатчиком, а совокупность устройств, осуществляющих обратное преобразование сигнала в сообщение, называется приёмником. К передающим устройствам относят модуляторы, кодеры, АЦП и ЦАП, а к приёмным — демодуляторы, декодеры, АЦП и ЦАП, интерполяторы.

Совокупность устройств, предназначенных для передачи сигнала на определённое расстояние, называют трактом электросвязи.

Получателем информации называется объект материального мира, который принимает поступившие сообщения с последующим использованием.

1. Расчет основных характеристик сигнала

1.1 Обработка исходных данных

В соответствии с заданием необходимо выбрать из трёх данных сигналов для исследования сигнал с самым узким спектром.

Для каждого сигнала рассмотрим его график и график его спектральной плотности.

Спектр сигнала является его важнейшей характеристикой. Он определяет требования к узлам аппаратуры связи — помехозащищенность, возможность уплотнения.

Спектральная плотность — это характеристика сигнала в частотной области, определяемая прямым преобразованием Фурье:

S(jщ)=, (1)

где U(t) — временная функция сигнала;

щ — круговая частота.

Спектральная плотность S(jщ) — комплексная величина, она может быть представлена следующей формой:

S (jщ) = a (щ) — jb (щ) = S (щ)exp (jц (щ)), (2)

где a(щ) =; (3)

b(щ) =. (4)

Самое важное достоинство введенного интегрального преобразования Фурье заключается в том, что решение любой практической задачи может быть перенесено с помощью спектральной плотности из временной области в частотную.

Аналитическая запись исходного сигнала, изображенного на рис. 2 имеет Вид:

где h=0.7 В, В таблицах 1 и 4 соответственно приведены значения сигнала U₁(t) и его спектральной характеристики в различные моменты времени.

Форма исходного сигнала № 2, изображенного на рис. 3, имеет вид:

где h=0.17 В, В таблицах 2 и 5 соответственно приведены значения сигнала U₁(t) и его спектральной характеристики в различные моменты времени.

Таблица 2

Значения сигнала U₂(t) в различные моменты времени

Форма исходного сигнала № 3, изображенного на рис. 4, имеет вид:

где h=0.4 B,

В таблицах 3 и 6 соответственно приведены значения сигнала U₁(t) и его спектральной характеристики в различные моменты времени.

Таблица 3

Значения сигнала U₃(t) в различные моменты времени

График сигнала № 1

Рис. 2

График сигнала № 2

Рис. 3

График сигнала № 3

Рис. 4

1.2 Расчёт спектральных характеристик сигналов

В справочной литературе дано точное решение интегралов (3),(4).

Для первого, второго и третьего сигналов — выражения (5), (6) и (7) соответственно.

(5)

(6)

(7)

При четной функции U(t) мнимая часть b() = 0, при нечетной a() = 0

Это следует непосредственно из интегральных форм (3) и (4).

Следовательно, фазовые характеристики сигналов № 1 и № 2 равны нулю.

На основании формул (5) — (7) с помощью MATHCAD построим графики Спектральной плотности заданных сигналов.

График спектральной плотности сигнала № 1

Рис. 5

Таблица 4

Значения спектральной плотности сигнала U₁(t) в различные моменты времени

График спектральной плотности сигнала № 2

Рис. 6

Таблица 5

Значения спектральной плотности сигнала U₂(t) в различные моменты времени

График спектральной плотности сигнала № 3

Рис. 7

Таблица 6

Значения спектральной плотности сигнала U₃(t) в различные моменты времени

Фазовая характеристика сигнала № 3

Рис. 8

2. Расчёт практической ширины спектра сигнала

При передаче сигналов главное внимание уделяется передаче информации, а не энергии. Тем не менее, энергия и мощность являются важнейшими характеристиками сигналов. В правильно спроектированной системе вид и параметры сигнала должны быть выбраны так, чтобы информация передавалась с заданным качеством при минимальных затратах энергии.

Энергия одиночного сигнала вычисляется через временную функцию сигнала по формуле

. (8)

Для конкретной функции пределы должны быть уточнены.

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства (8).

(9)

где W^/— энергия сигнала с ограниченным по верху спектром,

— процент от полной энергии сигнала при ограничении спектра.

В данном случае =0.95

Для заданных сигналов определим энергию по формуле:

(10)

Значение W^/ определяется на основе известной спектральной плотности

(11)

где _с — искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение _с определяется путем подбора при расчетах (10) и (11) до выполнения неравенства (9).

Используем MATHCAD для определения _с и расчета энергии W и W`.

^,

где W₁-полная энергия сигнала

W`₁-энергия, ограниченная частотой щ_?

щ_?? подбирается таким образом, чтобы выполнялось условие

?, при

при

при

График энергии первого сигнала приведён на рис. 9, второго — на рис. 10, третьего — на рис. 11.

Зависимость энергии сигнала № 1 от частоты Рис. 9

Зависимость энергии сигнала № 2 от частоты Рис. 10

Зависимость энергии сигнала № 3 от частоты Рис. 11

3. Расчёт интервала дискретизации сигнала и разрядности кода

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству (12):

(12)

где — интервал дискретизации, с,

— верхнее значение частоты спектра сигнала, определяемое в соответствии с разделом 2

На такой интервал дискретизации приходится четыре импульсных отсчета, но в соответствии с методическими указаниями для бесконечно убывающей функции их нужно взять не менее десяти. Уменьшим интервал дискретизации в четыре раза.

После расчета значения интервала дискретизации необходимо построить график дискретизированного во времени сигнала. Длительность импульсных отсчетов принять равной половине интервала.

График дискретизированного по времени сигнала Рис. 12

Следующими этапами преобразования сигнала является квантование импульсных отсчётов по уровню и кодирование. Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

Нижняя граница диапазона определяется по (13)

(13)

где U_MIN — нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX — верхняя граница динамического диапазона, В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

(14)

где P_Ш.КВ — мощность шумов квантования при размерной шкале квантования, Вт.

Известно, что:

(15)

где — шаг шкалы квантования.

В свою очередь:

(16)

n_КВ — число уровней квантования;

U_MAX — верхняя граница динамического диапазона, В.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:

(17)

где m — разрядность кодовых комбинаций.

Отсюда:

. (18)

Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода по выражению

с. (19)

4. Расчёт характеристик импульсно-кодовой модуляции

4.1 Расчёт характеристик АЦП

Мгновенные значения исходного сигнала на выходе регистра представляют собой последовательность кодовых слов. Каждое слово — случайная последовательность, состоящая из нулей и единиц. Таким образом, полный сигнал после оцифровки — случайная последовательность. Закодируем Дискретизированный сигнал (импульсную последовательность), представив номер уровня квантования двоичным кодом.

Далее по формуле (20) найдём номера уровней, которым соответствуют величины импульсных отсчетов.

(20)

Результаты приведены в таблице 7.

Таблица 7

фсередины импульсных отсчетов, С,

U (ф ?-Величина импульсного отсчета, В.

Теперь по разрядности кодовых комбинаций определяем тип логики.

Таблица 8

В дальнейших расчетах будем считать Уровень «1», В — U1=5 B,

Уровень «0», В — U0−0 B.

4.2 Расчет математического ожидания и дисперсии кодовой последовательности

Числовые константы сигнала определяются по формулам:

(21)

(22)

где m_u — математическое ожидание сигнала;

D_U — дисперсия сигнала;

U_i — напряжения логических «1» и «0»;

P (U_i) — вероятности «1» и «0» в кодовой комбинации.

В кодовой комбинации «1» встречается 14 раз (из 24), «0» — 10 (из 24). Тогда Р₀ = 0.583, Р₁ = 0.417.

m_u = 5*0.583+0*0.471=2.083 В;

D_U = (5−2.083)² * 0.471+(0−2.083)² * 0.583 = 6.076 В².

4.3 Расчет характеристик АКФ

Создадим в MATHCAD два вектора Vx и Vy из последовательности нулей и единиц. Далее определим корреляцию, которая в первом случае будет равна 1, так как вектора одинаковы.

Далее необходимо изменить Vy, записав его вновь сдвинув числа на один шаг и вновь определить корреляцию. Значения корреляции представлены в таблице 9.

На основании рассчитанной АКФ необходимо подобрать математическое выражение наиболее полно отражающее реальную зависимость.

Воспользуемся для этого сплайновой аппроксимацией. В MATHCAD функция cspline (Vx, Vy) возвращает значения вторых производных кубического полинома. Далее для каждой искомой точки вычисляется значение с помощью функции interp. Покажем это на нашем примере.

Таблица 9

Представим столбцы таблицы 3 как два вектора Vt и Vk.

С помощью функции cspline (Vt, Vk)

Вычислим вектор вторых производных при приближении к кубическому полиному Далее построим зависимости АКФ

Аппроксимированные кубическим полиномом и отрезками прямых На рис 13 приведены обе зависимости, сравнивая ход кривых, можно сделать вывод о степени приближения кубического полинома и расчетных значений.

Автокорреляционная функция Рис. 13

Сглаженная АКФ более объективно отражает статистические связи в цифровом сигнале. Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной имеет вид:

(23)

Здесь korr (ф? — функция корреляции, ф u — последнее рассчитанное значение ?.

График зависимости спектральной плотности от частоты приведён на рисунке 14

График зависимости спектральной плотности от частоты Рис. 14

5. Характеристики модулированных сигналов

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости системы. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик — импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят от полезного сигнала и от вида сигнала — переносчика.

Распространенным видом аналоговой модуляции является фазовая модуляция (ФМ). Под действием полезного сигнала изменяется фаза гармонического переносчика. Аналитическая форма записи сигнала ФМ следующая:

(24)

где A₀ — амплитуда несущей, В;

₀ — несущая частота, рад/с;

щ ф — приращение фазы, рад.

При этом частота сигнала меняется по закону: .

Под U (t) понимается полезный сигнал, изображенный на рисунке 15, в нашем случае — регулярная импульсная последовательность.

График немодулированного сигнала Рис 15

Далее формулой (23) зададим уравнение модулированного сигнала, график которого приведен на рисунке 16

График модулированного сигнала

Рис. 16

Итоговый спектр ФМ-сигнала состоит из несущей и двух боковых полос с частотами .

(25)

где А₀— амплитуда главной гармоники А_n— амплитуды боковых гармоник щ? частота первой гармоники ф — несущая частота При расчётах боковых полос ограничимся пятью гармониками с каждой стороны.

Частоту первой гармоники расчитаем по формуле (26)

(26)

Амплитуды боковых гармоник рассчитаем по формуле (27)

(27)

Зависимость амплитуды гармоник полезного сигнала от частоты показана в таблице 10

Таблица 10

Графическое представление спектра модулированного сигнала приведено на рисунке 17

Спектр модулированного сигнала

Рис. 17

6. Согласование источника информации с каналом связи

Рассмотрим канал связи с несколько других позиций. Заданный сигнал мы представили отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов. Для ограниченного по времени, например треугольного, оно определяется длительностью сигнала; для бесконечного, например экспоненциального, их число должно быть назначено 510. Если задать вопрос, какая выборка сейчас создается, то последует очевидный ответ: эта вероятность равна 1/N, где N — число выборок.

Таким образом, выборки это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле (28), где — энтропия алфавита источника, — среднее время генерации одного знака алфавита.

(28)

(29)

Где H (a)-максимальная энтропия источника

nчисло генерируемых источником слов

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный.

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Эта величина () была определена нами в разделе 5.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Теорема Шеннона. Дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает вероятность ошибки Р_ош может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи — нормальные законы с соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.

Пропускная способность гауссова канала равна:

(30)

где F — частота дискретизации, определенная в разделе 3. Рп — мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала .

. (31)

Мощность помехи:

По этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона, надлежит определить Рс, обеспечивающую передачу по каналу. Отсюда:

(32)

Мощность сигнала:

7. Расчет вероятности ошибки в канале с аддитивным белым шумом

Вероятность ошибки P₀ зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае

(33

гдe — функция Лапласа,

N₀ — односторонняя плотность мощности белого шума Е — энергия разностного сигнала;

(34)

Заключение

В курсовом проекте рассмотрены основные характеристики заданных сигналов, рассчитаны спектральные и фазовые характеристики, рассчитана практическая ширина спектра сигналов.

Для всех трех сигналов произведено ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию. Рассчитан интервал дискретизации сигнала, границы динамического диапазона кодированного сигнала, число уровней квантования и разрядность кодовых комбинаций. Рассчитаны характеристики АЦП, в соответствии с ними и разрядностью кодовых комбинаций выбрана микросхема К1107ПВ1. Рассчитаны характеристики автокорреляционной функции. Спектральные характеристики кодированного сигнала найдены на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина.

Рассчитаны характеристики частотно модулированной регулярной импульсной последовательности. Рассмотрен принцип согласования источника информации с каналом связи, выполнен расчёт вероятности ошибки приёма сигнала.

В результате проделанной работы приобретаются навыки расчета характеристик сигналов, улучшается представление о способах передачи информации, о процессах, происходящих при обработке сигналов; приобретаются знания как познавательного характера, так и позволяющие смело оперировать с системами связи.

Библиографический список

1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — Москва, 1986, 512 с.

2. Баженов Н. Н., Картавцев А. С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи. — Омск, 1990, 24 с.

3. Каллер М. Я., Фомин А. Ф. Теоретические основы транспортной связи. — М. Транспорт, 1989,384 с.

4. Зюко А. Г., Кловский Д. Д. и др., Теория передачи сигналов: Учебник для ВУЗов. — М., «Радио и связь», 1986,304 с.