Расчёт цифровой системы управления со стандартным П–регулятором

[Введите текст]

ЗАДАНИЕ

1. Для синтезируемой ЦСУ непрерывным объектом определить требуемый период дискретизации Т работы системы управления.

2. Определить дискретную передаточную функцию W (z) разомкнутой системы, состоящей из непрерывного объекта и импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка (фиксатором).

3. Рассчитать критический (граничный) коэффициент усиления замкнутой ЦСУ со стандартным П-регулятором (максимальное значение коэффициента П-регулятора, при котором система выходит на границу области устойчивости).

4. Рассчитать переходные процессы замкнутой ЦСУ со стандартным П (ПС) — регулятором отработки входного воздействия yзад (nT0) = 1(nT0) при нулевых начальных условиях объекта управления. Параметры регулятора определить (или подобрать) из условия, чтобы перерегулирование системы не превышало. Определить время переходного процесса tnn и статическую точность е системы.

5. Определить импульсный модальный регулятор для заданного импульсного объекта с передаточной функцией W (z). Правильность синтеза модального управления проверить построением переходного процесса синтезированной ЦСУ.

Исходные данные:

где =1,

Т=1.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ЦСУ

Требуется найти и рассчитать систему таким образом, чтобы её выходная величина соответствовала заданию, причём выходила на требуемый уровень за определённое время с заданными параметрами качества, т. е. должно быть обеспечено соответствующее качество переходного процесса.

Выход на заданное значение при действии возмущения, приводящего к появлению ошибки, невозможен без наличия обратной связи, которая компенсирует возникающую ошибку, т. е. разницу между выходной величиной и заданием.

Переходный процесс, т. е. процесс от начала работы ЦСУ до её выхода на установившееся значение, также должен осуществляться с заданными технологическими показателями — временем переходного процесса, перерегулированием и статической ошибкой. Это обеспечивается введением управляющих алгоритмов — П, ПИ или ПИД-регуляторов. Кроме того, улучшение качества переходного процесса может быть достигнуто введением импульсного модального регулятора.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ДИСКРЕТИЗАЦИИ

цифровой система управление бойчук Допустимая величина периода дискретизации T может быть определена 3 способами:

теорема Котельникова: для того, чтобы непрерывный сигнал с частотным спектром, ограниченным максимальной частотой, можно было точно восстановить по последовательности его дискретных значений, необходимо, чтобы частота квантования должна удовлетворять неравенству

(2.1)

Т.к., то

(2.2)

метод П.Т. Крутько

(2.3)

при (2.4)

Из формул (3.3) и (3.4) получаем следующие рекомендации для выбора периода квантования

(2.5)

метод М.Н. Мазурова

(2.6)

где — время достижения кривой разгона (т.е. переходной функции объекта) 95% - ого уровня по отношению к установившемуся значению.

Для нашей системы цифрового управления воспользуемся методом П. Т. Крутько (для определения) и теоремой Котельникова (для определения периода дискретизации Т).

Найдем амплитудно-фазовую характеристику (АЧХ):

(2.7)

где .

Т.е. .

Строим АЧХ:

Рис. 1

Из АЧХ определяем частоту среза. Она находится при условии при. Тогда получаем: .

Теперь найдем максимальную частоту: (т.е проходит через ноль).

Зная максимальную частоту, находим период дискретизации по теореме Котельникова:

.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Так как дискретные объекты описываются разностными уравнениями, а непрерывная часть — дифференциальным уравнением, то возникает задача построения дискретного описания системы, которая состоит в определении единого разностного уравнения, описывающего данную систему в целом.

Эта задача может решаться следующими способами:

непосредственная дискретизация дифференциальных уравнений.

Этот метод можно применять, когда, где — постоянная времени непрерывной части, причём он является весьма приблизительным;

дискретное преобразование Лапласа

(3.1)

Z-преобразование Вводя обозначение, получаем

(3.2)

Рис. 2

Получившуюся ЦСУ можно описать двумя способами:

С помощью дискретной передаточной функции

(3.3)

причём (критерий устойчивости) С помощью разностных уравнений Зная передаточную функцию (4.3) легко записать разностное уравнение, которым описывается данная система. Рассмотрим на примере передаточной функции II порядка Применяя основное свойство пропорции и подставляя замены:

, ,, , получаем

(3.4)

Для расчёта переходных процессов уравнение (4.4) записывают в виде

(3.5)

Определим дискретную передаточную функцию нашей разомкнутой системы (предполагается наличие экстраполятора нулевого порядка):

(3.6)

Используя подстановку, получим Тогда

(3.7)

Найдём .

(3.8)

По методу Остроградского находим коэффициенты А, В и С:

Возвращаясь к выражению (4.8), получаем:

.

Воспользовавшись таблицей Z-преобразований, получим

(3.9)

Возвращаясь к выражению (4.7) и учитывая, что период дискретизации Т=0.17 с, получаем дискретную передаточную функцию нашей разомкнутой системы:

(3.10)

4. КРИТИЧЕСКИЙ (ГРАНИЧНЫЙ) КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ ЗАМКНУТОЙ ЦСУ СО СТАНДАРТНЫМ П-РЕГУЛЯТОРОМ

Выполним этот пункт с помощью критерия Гурвица: корни полинома, где аi > 0 лежат в левой полуплоскости тогда и только тогда, когда положительны все главные миноры матрицы размерности n*n:

. (4.1)

При составлении матрицы Гурвица первая строка заполняется коэффициентами характеристического полинома с нечетными индексами, вторая — с четными. Дальше пары строк получаются смещением вправо первой пары на один, два и т. д. столбцов. Все коэффициенты с индексами, большими степени полинома, заменяются нулями.

Из (4.1) получаются определители Гурвица (главные миноры матрицы):

.

Указанные критерии непосредственно можно использовать для исследования устойчивости непрерывных систем с характеристическими полиномами. Для дискретных (цифровых) систем эти критерии неприменимы, так как на отрицательность вещественных частей корней необходимо исследовать многочлены вида

A*(esT)=a0 esnT+a1es (n-1)T+ … + an-1esT + аn. (4.2)

Многочлен (4.2) с использованием известного обозначения z = е-sT можно записать в виде полинома

(4.3)

но корни которого будут иметь значения |z|=| е-snT| 1. Чтобы корни |z|1 перевести в корни с отрицательными вещественными частями, как того требуют указанные критерии, к характеристическому уравнению применяют билинейное преобразование

. (4.4)

Перейдем от разомкнутой функции

к замкнутой, которая находится по формуле:

(4.5)

Чтобы получить выражение замкнутой ЦСУ П-регулятора, надо домножить в выражении (4.5) на коэффициент усиления Кр члены :

(4.6)

(4.7)

Из последнего выражения следует, что коэффициент усиления числителя Кр=0, тогда найдем Кр знаменателя по критерию Гурвица (из условия, что все определители матрицы больше нуля):

(4.8)

Заменив в формуле (4.8) z по формуле (4.4), приходим к следующему выражению:

(4.9)

После преобразований уравнения (4.9), получим:

. (4.10)

Следовательно,, ,, где, ,; и матрица Гурвица имеет вид

.

В соответствии с критерием Гурвица, условия устойчивости будут:

1) >0,

2), (4.11)

3) >0.

Из (4.11) получаются, определяем А0, А1, А2:

; ;

Тогда:

.

По условию критичный (граничный) коэффициент усиления должен быть больше нуля, отсюда получаем область значений Кр: .

5. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЗАМКНУТОЙ ЦСУ С П-РЕГУЛЯТОРОМ

Один из способов улучшения качества переходного процесса синтезируемой ЦСУ состоит в применении специальных цифровых алгоритмов управления — П, ПИ или ПИД-регуляторов, непрерывные аналоги которых широко использовались в системах автоматического управления.

Для синтеза нашей ЦСУ применим дискретный П-регулятор, передаточная функция которого в Z-форме имеет вид:

(5.1)

где Кр — коэффициент регулирования, выбираемый из условия получения переходного процесса требуемого качества.

Структурная схема нашей замкнутой цифровой системы управления с П-регулятором будет иметь вид:

Рис. 3

Тогда передаточная функция этой системы с учётом выражения (3.11) запишется как:

(5.2)

Для расчёта переходного процесса перейдём к описанию с помощью разностных уравнений. Домножая числитель и знаменатель на и производя замену

, ,, , получим:

(5.3)

Составим уравнения будущего значения переменных, найденных через текущее и предыдущее значения, которые получаются из уравнения (5.3) обозначением (новое время). Тогда получим:

(5.4)

(5.5)

Наилучшее качество переходного процесса обеспечивается при Кр=1.

Найдем первые 5 значений разностного уравнения при заданных начальных условиях — на входе единичное ступенчатое воздействие и, а :

n=0

;

n=1

n=2

;

n=3

;

n=4

.

Построим график переходного процесса.

Рис. 4

Учитывая, что переходный процесс считается завершённым, когда величина входит в 5%-ую зону установившегося значения, получаем из графика:

1) Время переходного процесса определяем, проведя прямые на уровнях 0.95 и 1.05:

©.

2) Перерегулирование:

что удовлетворяет требуемому условию.

3) Статическая ошибка: .

6. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО МОДАЛЬНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ (по методу Л. М. БОЙЧУКА)

Структурный синтез автоматических систем состоит в определении схемы (структуры) регулятора, необходимого для обработки объектом некоторого задания. Он позволяет улучшить качество системы — уменьшить время переходного процесса, уменьшить статическую ошибку системы.

В нашем случае будем использовать метод структурного синтеза систем управления Л. М. Бойчука.

Основная идея метода Бойчука состоит в определении структуры закона управления и его параметров исходя из требуемого желаемого уравнения движения (ТУД) синтезируемой системы.

Задача управления формулируется следующим образом — пусть объект управления описывается следующим нелинейным разностным уравнением:

(6.1)

Предполагается, что задана ТУД в виде замкнутой системы управления

(6.2)

Для решения этой задачи предложена простая процедура синтеза, состоящая из следующих 3-х операций:

1. Из уравнения объекта (6.1) выражаем высшую разность:

(6.3)

2. Из ТУД (6.2) тоже выражается высшая разность:

(6.4)

3. Приравниваем выражения (6.3) и (6.4):

(6.5)

Далее выражаем

(6.6)

Выражение (3.11) полученное в пункте 3, умноженное на :

(6.7)

Используя метод Бойчука, можно легко решить задачу модального управления линейным объектом:

(6.8)

Задача модального управления объекта (6.8) ставится следующим образом: необходимо определить закон линейной обратной связи (ЛОС):

(6.9),

таким образом, чтобы характеристическое уравнение замкнутой системы управления имело заданные корни:

, …, (устойчивость) (6.10)

Корни (6.10) выбираются таким образом, чтобы система уравнения имела желаемые переходные процессы (желаемое качество управления).

Для получения модального регулятора воспользуемся методом Бойчука для нахождения модального управления.

Т.к., то имеем, что и .

Применяя равенство и, получаем, что (6.11)

Составим уравнения будущего значения переменных, найденных через текущее и предыдущее значения, которые получаются из уравнения (6.11) обозначением (новое время). Тогда получим:

(6.12)

Обозначая,

(6.13)

(6.14)

Исходя из того, что данное управление должно быть модальным, то:

(6.15)

где коэффициенты и выбираются так, чтобы обеспечить требуемое качество переходного процесса. Пусть .

Тогда ТУД примет вид:

(6.16)

Приравнивая и выражая U (n), получаем:

(6.17)

Введём ошибку e (n) и, используя уравнения (6.13), (6.14), (6.17), найдём закон модального управления:

(6.18)

Рис. 5

Для обеспечения апериодичности ПП (без перерегулирования) и повышенного быстродействия системы рекомендуется выбрать коэффициент таким образом, чтобы при заданных начальных условиях и, время данного переходного процесса было в 1.5−2 раза меньше времени переходного процесса в п. 5, получим: .

Тогда система (6.18) примет вид:

(6.19)

График переходного процесса x (n+1).

Рис. 6

Учитывая, что переходный процесс считается завершённым, когда величина входит в 5%-ую зону установившегося значения, получаем:

1) Время переходного процесса .

2) Перерегулирование: .

3) Статическая ошибка: .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе этой работы была синтезирована цифровая система управления, выдающая единичный сигнал, используя П-регулятор, а также применяя модальный регулятор, рассчитанный по методу Л. М. Бойчука.

Синтезируя ЦСУ с П-регулятором, получили переходный процесс со следующими параметрами:

Время переходного процесса с.

Перерегулирование .

Статическая ошибка .

Синтезируя ЦСУ с использованием модального регулятора, был получен переходный процесс со следующими показателями:

Время переходного процесса с.

Перерегулирование .

Статическая ошибка .

Как видно, применение модального управления позволило нам в 1,97 раза уменьшить время переходного процесса, а статическую ошибку и перерегулирование и вовсе свести к нулю. Таким образом, применение модального регулирования позволило повысить качество переходного процесса и улучшить синтезированную нами цифровую систему управления.

1. Бессекерский В. А., Изранцев В. В. САУ с микроЭВМ. — М.: Наука, 1987.

2. Иванов В. А., Ющенко А. С. Теория дискретных САУ. — М.: Физматгиз, 1983.

3. Изерман Р. Цифровые системы управления. — М.: Мир, 1984.

4. Б. Куо Теория и проектирование ЦСУ. — М.: Машиностроение, 1986.