Статистическая обработка экспериментальных данных при сертификации продукции

В ста случаях зарегистрировано время проведения синтеза на химическом производстве.

Результаты регистрации сведены в таблицу:

Содержание работы:

• 1) Используя табличные значения необходимо найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
• 2) Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности (1-a) = 0,95.
• 3) Оценить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0,7.1).
• 4) Для этой вероятности найти доверительный интервал, соответствующий коэффициенту доверия (1-а) = 0,9.
• 5) Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины Х.
• 6) Найти и построить доверительные области для плотности распределения соответствующую коэффициенту доверия (1-а) = 0,95 и функции распределения, соответствующую коэффициенту доверия (1-а) = 0,8.
• 7) Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.
• 8) Используя критерии согласия и Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости, а = 0,1.
• 1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n = 100.

= 54,12.

= 3289,844.

= 3256,946.

2. Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. По формуле:

= 0,475.

и таблице значений функции Лапласа находим:

и, следовательно, искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал. Т.к. в этот интервал попало m = 11 экспериментальных значений, то искомая оценка будет равна:

= 0,11.

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности Р, оцененной в предыдущем пункте.

искомый интервал имеет вид:

5. Для построения гистограммы заключаем все экспериментальные данные в интервал (0,320) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый длиной 32. Затем рассчитываем следующую таблицу.

Частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:

Значение гистограммы:

Г (x)=.

разряд.
точек.
частота.	0,49.	0,19.	0,14.	0,1.	0,02.	0,03.		0,01.	0,01.	0,01.
Г (х).	0,015.	0,006.	0,004.	0,003.	6E-04.	9E-04.		3E-04.	3E-04.	3E-04.

6. Доверительные области для плотности распределения и функции распределения .

В данном случае общее число разрядов r равно 10 плюс один полубесконечный разряд, т. е.r = 11.

По формуле:

= 0,4977.

из таблицы получим .

Результирующие доверительные границы для плотности на каждом разряде гистограммы представлены в таблице:

где ,.

График гистограммы.

Графической оценкой функции распределения является эмпирическая функция распределения:

.

где — число экспериментальных точек, лежащих левее.

Далее по таблице распределения величины (распределение Колмогорова) находим ее величину, соответствующую заданному коэффициенту доверия. Она равна = 1,08.

Затем рассчитываем доверительную область для функции распределения : дисперсия гипотеза интервал вероятность.

где, = 0,11.

График этой области:

7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть экспоненциальное распределение с функцией:

и с плотностью.

где — оценка неизвестного истинного значения. Т.к., то и, следовательно,.

#.
Fг.		0,45.	0,69.	0,83.	0,91.	0,95.	0,97.	0,98.	0,99.
fг.	0,02.	0,01.	0,01.

8. Для проверки гипотезы используем вначале критерий согласия. Его экспериментальное значение, согласно формуле:

= 9,29.

А его гипотетическое значение при заданном уровне значимости и числе степеней свободы s = 11 — 1 — 1 = 9, согласно условию, равно. Таким образом, и, следовательно, гипотеза по критерию согласия является правдоподобной.

Теперь проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения в этом случае равно:

= 0,04.

откуда получаем экспериментальное значение критерия Колмогорова:

Гипотетическое значение того же самого критерия при заданном уровне равно. Таким образом, и, следовательно, гипотеза является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.