Распределение случайной величины

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт Энергетический Направление подготовки (специальность) Электротехника и электроэнергетика ОТЧЕТ по лабораторной работе Распределение случайной величины по дисциплине Надежность электрических систем Выполнил студент гр.5А0Г Грищенко С.В.

Проверил доцент кафедры ЭСИЭ Заподовников К. И.

Томск 2014 г Цель: Освоить понятия теории надежности и провести статический эксперимент случайного события, исследовать частоту и вероятность. Произвести статистическое моделирование вероятностных процессов. Статистический эксперимент, обработка первичных данных на примере исследования дискретной и непрерывной случайных величин. Исследовать напряжение на случайную величину (СВ). Построить ряд распределения, подобрать соответствующий закон распределения. Получить числовые характеристики СВ и параметры закона распределения, построить гистограмму, графики интегральной и дифференциальной функции распределения.

Экспериментальные данные В лабораторной работе представлены значения случайной величины напряжения. Значения были получены с помощью цифрового регистратора, предназначенного для регистрации аварийных, переходных и установившихся процессов в энергосистемах, а также для проведения различного вида измерений и исследований в электроцепях.

Регистратор одновременно реализует три измерительные функции: регистратор, самописец, измеритель, а также функцию определения места повреждения. Самописец фиксирует значения случайной величины каждые 10 минут. Полученные значения напряжения занесем в таблицу и будем исследовать как случайную величину.

В данной таблице представлен массив значений случайной величины напряжения на подстанции, замеренных через каждые 10 минут.

Таблица 1. Значение напряжения на ПС

Таблица состоит из 336 значений случайной величины напряжения на ПС.

Разобьем массив первичных значений случайной величины на интервалы с шагом 1. Произведем подсчет частоты (статической вероятности) и рассчитаем вероятности каждой реализации дискретной случайной величины.

Таблица 2. Результаты

Построим гистограмму плотности распределения. Гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки. Интервалы должны иметь одинаковую величину и тогда высота столбиков гистограммы будет пропорциональна абсолютным частотам ряда распределения.

При необходимости гистограмма интервального ряда распре-еления может быть преобразована в полигон (многоугольник). Для этого нужно середины верхних сторон прямоугольников соединить прямыми линиями.

Рисунок 1 -Полигон плотности нормального распределения

Как видно из полигона плотности распределения наиболее вероятные значенияслучайной величины находятся вблизи интервала [510−515]. По мере удаления от него, вероятность значений уменьшается и если значение расположено в «хвосте» распределения, то оно очень маловероятно.

С увеличением объема выборки и уменьшением длины интервала гистограмма будет стремиться к кривой плотности распределения, поэтому гистограмму используют в качестве оценки для плотности распределения.

Рассчитаем числовые характеристики случайной величины:

1.Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Математическое ожидание случайной величины X обозначается M (X).

2.Рассчитаем меру разброса случайной величины около ее математического ожидания — дисперсию случайной величины:

Для определения меры разброса значений случайной величины. Рассчитаем стандартное (среднеквадратичного) отклонения величины:

Случайная величина X нормально распределена с параметрами M (X) и, >0, если ее плотность распределения f (x) и функция распределения F (x)

имеют соответственно вид

Значения плотности распределения сведем в таблицу 3. Для построения графика плотности и функции распределения увеличим количество интервалов напряжения.

Таблица 3

Рисунок 2 — График плотности распределения Знание дифференциальной функции распределения позволяет определить вероятность того, что значение случайной величины X попадает в произвольный интервал (a…b).

Рисунок 3 — График функции распределения Интегральной функцией распределения называют функцию F (x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, то есть F (x) = P (X < x). Геометрически это равенство можно истолковать так: F (x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение левее точки x.

Выводы Распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, когда она подвержена влиянию большого числа случайных факторов, что является типичной ситуацией в анализеданных. Поэтому нормальное распределение является хорошей моделью для многих реальных процессов.

Нормальное распределение зависит от параметров — среднего значения (математического ожидания), которое определяет наиболее вероятного значения величины, дисперсии, которая характеризует степень разброса значений величины относительно среднего.

Объем выборки оказывает влияние на плавность графиков. Чем больше объем выборки, тем функции распределения плотности принимает более плавный вид.

Ответы на вопросы:

1)Репрезентативная выборка — точно отражает свойства генеральной совокупности.

Для получения репрезентативной выборки необходимо выполнить ряд условий:

1) каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную вероятность попадания в выборку;

2) выборка переменных производится независимо от изучаемого признака;

3) отбор производится от однородных совокупностей;

4) число единиц в выборке должно быть достаточно большим;

5) выборка и генеральная совокупность должны быть по возможности статистически однородны.

Рисунок 4. Схема подключения регистратора событий «Транс-АУРА»

Рисунок 4. Схема подключения электронного регистратора, подключенному к 3-х фазной сети переменного тока.

случайная величина распределение выборка Данная схема включения может быть применена например на подстанциях 500кВ входящих в состав энергосети.

3) На основании полученных результатов можно скорректировать работу РПН трансформаторов, для удовлетворения требования к показателям качества электроэнергии (ГОСТ 13 109−97). Также спрогнозировать количество отказов на ближайшее время.