Силы давления покоящейся жидкости на горизонтальные и наклонные плоские площадки (стенки)

Рассмотрим жидкость, покоящуюся относительно Земли. Выберем в жидкости горизонтальную площадку. Все точки этой площадки находятся на одинаковой глубине и испытывают одинаковое давление со стороны покоящейся жидкости. Если свободная поверхность жидкости открыта в атмосферу (), то сила избыточного давления на площадку определяется по формуле.

. (2.30).

т. е. численно равна весу жидкости, заключенной в вертикальной призме основанием со и высотой .

Сила направлена со стороны жидкости перпендикулярно стенке. Линия действия силы пересекает площадку в центре тяжести, так как давление распределено по площадке равномерно.

Рис. 2.10.

Из (2.30) очевидно, что сила избыточного гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, площади дна и высоты заполнения сосуда жидкостью.

При равенстве, плотностей, площадей основания и глубин независимо от формы сосуда сила давления на горизонтальное дно будет одной и той же (рис. 2.10) (гидростатический парадокс).

Рассмотрим плоскую стенку с площадью смоченной части, наклоненную к горизонту под углом (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

Гидростатическое давление жидкости не остается постоянным в пределах смоченной части стенки. Разбив площадь на элементарные площадки и считая в пределах давление неизменным, выразим значение силы давления на элементарную площадку как. Вектор направлен со стороны жидкости по нормали к площадке. Суммарное воздействие жидкости сведется к равнодействующей силе, значение которой определяется с учетом (2.19) по соотношению.

. (2.31).

Так как расстояние, измеряемое по стенке от линии уреза воды (от оси ОY) до элементарной площадки, равно, то при =const получим.

.

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси ОY, т. е. в данном случае относительно линии уреза жидкости. Статический момент равен произведению площади на плечо момента:

. (2.32).

Выражение (2.31) примет вид.

. (2.33).

Сила давления покоящейся жидкости на плоскую наклонную стенку равна произведению площади на давление жидкости в центре тяжести смоченной части стенки. Сила направлена со стороны жидкости по нормали к стенке.

При сила избыточного давления равна.

. (2.34).

Далее силу избыточного давления (при) будем обозначать (без индекса).

Сравним (2.30) и (2.34). Очевидно, что структура этих расчетных формул одна и та же, но в (2.30) входит — глубина погружения любой точки горизонтальной поверхности, а для наклонной плоской стенки в (2.34) входит — глубина погружения центра тяжести смоченной площади.

Линия действия силы пересекает площадку в точке (рис. 2.11), которая называется центром давления.

Центр давления не совпадает с центром тяжести площади, поэтому необходимо определять координаты центра давления.

Сила, связанная с действием в каждой точке смоченной площади одного и того же давления, приложена в центре тяжести смоченной площади (точке С). Сила приложена в другой точке, не совпадающей с точкой С.

Если необходимо найти точку приложения суммарной силы, то ее определяют по правилу сложения сил.

Обычно для расчетов гидротехнических сооружений представляют интерес сила избыточного давления (при) и координаты точки ее приложения. В дальнейшем будем называть центром давления точку приложения силы (рис. 2.12).

Рис. 2.12.

Пусть рассматриваемая площадь имеет вертикальную ось симметрии (ее след — линия Ol на рис. 2.11). Тогда центр давления D будет расположен на оси симметрии и для определения его положения достаточно найти расстояние от линии уреза жидкости до точки D, т. е.

Воспользуемся теоремой моментов: момент равнодействующей относительно произвольной оси силы равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. За ось моментов в данном случае примем линию уреза жидкости, т. е. ось OY. Тогда.

(2.35).

Помня, что.

; ,.

подставим эти значения в (2.35):

(2.36).

где — момент инерции смоченной площади относительно оси, совпадающей с линией уреза жидкости (оси OY).

Из (2.36) имеем.

. (2.37).

Перенесем ось момента инерции в центр тяжести площади. Моменты инерции относительно параллельных осей связаны между собой соотношением.

.

где момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей параллельно линии уреза жидкости через центр тяжести С этой площади. жидкость равновесие гидростатика давление.

Подставив значение в (2.37), получим.

(2.38) или.

(2.39).

где статический момент смоченной площади относительно линии уреза жидкости.

Центр давления силы избыточного давления на плоскую наклонную площадку расположен ниже центра тяжести смоченной площади, считая по оси симметрии (по наклону) стенки, на .

Отметим, что при ломаной наклонной стенке определяется для каждого из участков стенки относительно линии пересечения этого участка (или его продолжения) со свободной поверхностью (рис. 2.12).