Волны. 
Волновые и квантовые свойства света

Предназначены для обеспечения самостоятельной работы студентов по теме «Волны. Волновые и квантовые свойства света».

В заданиях учтены особенности учебных планов различных факультетов. Дана таблица вариантов контрольной работы для студентов заочной формы обучения.

Расчетно-графические задания утверждены цикловой методической комиссией ИФФ.

Рецензент

кафедра физики Ивановского государственного энергетического университета.

Упругие и электромагнитные волны

Общая характеристика волновых процессов Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, имеет вид:

.

где — смещение частицы среды, имеющей координату в момент времени ; — амплитуда смещения; - циклическая частота; - волновое число; - начальная фаза.

Для одномерной волны уравнение волновой поверхности имеет вид:

.

Скорость перемещения волновой поверхности равна:

где — длина волны; - период колебаний; - частота колебаний.

Уравнение волны, распространяющейся в среде с затуханием:

где — коэффициент затухания; - амплитуда волны в точке .

Объёмная плотность энергии упругой волны:

где — плотность среды.

Плотность потока энергии упругой волны (вектор Умова), распространяющейся в среде со скоростью , равна:

Поток энергии, переносимый волной через поверхность площадью , равен:

.

где — угол между вектором скорости и единичным вектором нормали к поверхности .

Интенсивность волны:

Уравнение плоской электромагнитной волны:

где , — амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного поля соответственно. Модули амплитуды векторов напряжённости магнитного и электрического поля связаны соотношением:

где — относительная диэлектрическая проницаемость среды, — относительная магнитная проницаемость среды, — электрическая постоянная, — магнитная постоянная. Фазовая скорость волны:

здесь — скорость электромагнитной волны в вакууме; - показатель преломления среды.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны:

Плотность потока энергии электромагнитной волны, называемая вектором Пойнтинга, равна:

где — групповая скорость волны. В среде, обладающей дисперсией, групповая скорость связана с фазовой скоростью волны соотношением:

В вакууме вектор Пойнтинга равен:

Интенсивность электромагнитной волны:

Давление плоской электромагнитной волны:

где — коэффициент отражения, — угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности.

Коэффициент отражения света в случае его падения по нормали к поверхности равен:

где — интенсивность отраженного света, — интенсивность падающего света, — относительный показатель преломления вещества.

Решение. При фиксированном значении t график функции y (x,t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис.1).

Частная производная dy/dx= дает угловой коэффициент к касательной в точке с абсциссой х.

Для заданного значения х функция y (x, t) определяет закон движения точки струны с координатой х вдоль прямой, параллельной оси OY, производная есть скорость движения этой точки, вторая производная — ускорение.

Выделим бесконечно малый участок струны М₁М₂, проектирующейся на ось ОХ интервалом [x, x+dx]. На него действуют силы натяжения и. При малых колебаниях частиц струны угол наклона касательной к любой точке струны мал,. Приняв, что величина силы натяжения вдоль струны постоянна и равна, получим.

где.

Здесь частное приращение производной при переходе от аргументов (х, t) к аргументам (x+dx, t) заменено ее частным дифференциалом.

Масса участка струны равна.

где — линейная плотность вещества струны (кг/м).

Запишем второй закон Ньютона для этого участка:

Обе части уравнения разделим на и получим уравнение:

.

где — положительная постоянная величина.

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется одномерным волновым уравнением. Оно описывает свободные колебания струны.

В случае бесконечно длинной струны общее решение волнового уравнения имеет вид:

^.

Функция в момент времени t=0 описывает перемещение волны вдоль оси ОХ в положительном направлении со скоростью V, которая равна. Функция описывает волну, распространяющуюся вдоль оси ОХ в обратном направлении.

Если точки струны колеблются по гармоническому закону то вдоль струны будет распространяться волна со скоростью V, описываемая гармонической функцией.

Задача 2. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину волны.

Решение. В уравнении плоской волны подставим и выразим из него в явном виде длину волны:

.

Подставим числовые данные:

Решение. Поток энергии, переносимой волной через цилиндрическую поверхность радиуса R, пропорционален интенсивности волны и площади поверхности S

.

где h — высота цилиндра. Этот же поток энергии переносится волной и через цилиндрическую поверхность радиуса r. Следовательно,.

.

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды.

.

Если источником волн является тонкая нить; то амплитуда выбирается равной амплитуде волны на расстоянии R=1 м от оси нити. Закон убывания амплитуды с расстоянием от источника принимает вид:

• 1.1 Написать уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси Х. Частицы среды колеблются вдоль оси Z. Известно, что амплитуда волны равна А, циклическая частота щ, начальная фаза р/6, длина л. Рассеянием энергии пренебречь.
• 1.2 Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция
• 1.3 Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция Какой физический смысл имеет коэффициент ?
• 1.4 Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Х. Амплитуда волны А=0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии y=л/2 от источника колебаний в момент времени t=T/6.
• 1.5 В условии задачи 1.4 определить разность фаз колебаний точек М и Р.
• 1.6. В некоторый момент времени t₁ в точке х₁=0 фаза плоской монохроматической волны равна нулю. Какова будет фаза волны в точке х₂=10^-3 м в тот же момент времени? Какова будет фаза волны в точке х₂ в момент времени t₂=10^-2 c? Длина волны л=10^-4 м.
• 1.7 Плоские волны переходят из среды, в которой фазовая скорость волны равна V, в среду, в которой фазовая скорость в два раза больше. Что происходит при этом с частотой и длиной волны ?

• 1.8 Какие из приведённых функций можно использовать при описании волновых движений:, , ?
• 1.9 Записать уравнение цилиндрической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность цилиндрической волны с изменением расстояния от источника.
• 1.10 Записать уравнение сферической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность сферической волны с изменением расстояния от источника.
• 1.11 В окрестностях точек 1 и 2 известны направления распространения сферической волны (рис. 1.1). Найти графическим построением положение источника излучения.
• 1.12 В поглощающей среде вдоль оси Х распространяется плоская волна. Определить расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз. Коэффициент затухания волны известен и равен .
• 1.13. Указать направление, вдоль которого распространяется плоская волна, имеющая волновой вектор (k, 0,0). Определить частоту н и длину л этой волны. Скорость распространения волны в среде равна V.
• 1.14. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,k, 0).
• 1.15. Решить задачу 1.13, приняв волновой вектор равным (0,0,-k).
• 1.16. На больших расстояниях от точечного источника сферическая волна может рассматриваться как плоская. При каком характерном размере d малый участок волновой поверхности может считаться плоским? Длина волны л задана.
• 1.17. Найти волновой вектор и скорость волны V. Волна описывается уравнением, где, и — постоянные.
• 1.18. Плоская волна с длиной л распространяется вдоль направления, образующего с осями Х, Х, Z углы р/3, р/4, и р/3 соответственно. Написать уравнение волны. Амплитуда и частота равны соответственно А и н.
• 1.19. Доказать, что любая функция вида является решением волнового уравнения. Каков физический смысл постоянной ?
• 1.20. Плоская волна задана уравнением

.

где смещение частиц среды y задано в мкм, t в с, х в м. Найти отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны.

• 1.21. Плоская волна задана уравнением. Для момента времени t=0 изобразите графики зависимости от х величин у, ?y/?t и ?y/?x.
• 1.22. Две плоские синусоидальные волны, амплитуды которых одинаковы, а частоты соответственно и +? (?<<), накладываются друг на друга. Какова максимальная амплитуда результирующей волны? Каково распределение средней плотности энергии вдоль направления распространения волны?
• 1.23. Вдоль оси Х распространяется плоская волна с длиной волны л. Каково наименьшее расстояние ?x между точками среды, которые колеблются в противофазе?
• 1.24. Как изменяется интенсивность волны, если ее частота увеличивается в два раза при 1) неизменной скорости волны;
• 2) неизменной длине волны?
• 1.25. Задано уравнение плоской волны:

.

Изобразить графически смещения точек среды у₁ (л/2,t) и у₂ (х, Т/2). Где ?y₁/?t и ?y₂/?t максимальны?

• 1.26. Электромагнитные волны от двух когерентных источников падают в некоторую точку экрана. Интенсивность от первого источника в этой точке I₁, а от второго I₂=4I₁. Суммарная интенсивность от обоих источников I₀=I₁. Какова разность фаз между векторами напряженности электрического поля волн и в этой точке?
• 1.27. Плотность потока электромагнитного излучения Солнца у поверхности Земли составляет 1400 Вт/м². Какова cредняя напряженность электрического поля излучения?
• 1.28. Плоская электромагнитная волна с напряженностью электрического поля Е_z=200cos (6,28· 10⁸t+4,55х) распространяется в среде с относительной магнитной проницаемостью м=1. Какова скорость волны и показатель преломления вещества среды?
• 1.29. Два когерентных источника электромагнитных волн создают в некоторой точке экрана интенсивность I₀. Интенсивность первого источника в этой точке I₁, а второго — I₂=9I₁. Разность фаз между векторами напряженности электрического поля этих волн составляет ?ц=р. Вычислить отношение интенсивности I₀/I₁.
• 1.30. Две синусоидальные электромагнитные волны, поляризованные в одной плоскости, Е_z=Е₁sin (щ (t-x/c) +ц₁) и Е_z=Е₂sin (щ (t-x/c) +ц₂) накладываются друг на друга. Какова амплитуда напряженности электрического поля и фаза результирующей волны?
• 1.31. Выразить групповую скорость U=dщ/dk через фазовую скорость электромагнитной волны V и dV/dл, а также через V и dn/dл. В этих законах n — показатель преломления, k — волновой вектор, щ — циклическая частота, л — длина волны.
• 1.32. Амплитуда напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны равна 1000 В/м. Какова амплитуда напряженности магнитного поля этой же волны?
• 1.33. Какова интенсивность электромагнитной волны в вакууме, если амплитуда напряженности ее электрического поля составляет 27,5 В/м.

• 1.34. Вывести формулу групповой скорости U=dщ/dk для волн (щ — циклическая частота, k — волновой вектор), фазовая скорость которых в зависимости от длины волны описывается выражением, где с и — постоянные величины, — длина волны.
• 1.35. В вакууме вдоль оси Х распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда напряженности магнитного поля которой равна 0,05 А/м. Какова амплитуда напряженности электрического поля волны и ее интенсивность?
• 1.36. Через плоскую поверхность площадью м² проходит монохроматическая электромагнитная волна под углом р/4 к площадке. Напряженность электрического поля волны Е=10⁴ В/м. Каков поток энергии через эту поверхность?
• 1.37. В однородной среде распространяется плоская электромагнитная волна, описываемая уравнением E=E₀exp (-гx) cos (щt-kx). Приняв длину волны л=1 м и г=0,1 м^-1, найти разность фаз ?ц в точках, для которых отношение амплитуд равно 1,01.
• 1.38. В однородной изотропной среде с е=3 и м=1 распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда напряженности электрического поля которой Е=10 В/м. Найти амплитуду напряженности магнитного поля и фазовую скорость волны.
• 1.39. Электромагнитная волна с частотой 6· 10¹⁴ Гц распространяется в стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и значение волнового числа?
• 1.40. Электромагнитное излучение с длиной волны 6· 10^-7 м падает на пластинку прозрачного вещества. Волновое число равно 1,39· 10⁷ м^-1. Какова скорость волны в веществе? Каков показатель преломления вещества?
• 1.41. Как связаны вектор напряженности электрического поля с вектором магнитной индукции электромагнитной волны, распространяющейся в среде с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью м?
• 1.42. Выразить вектор напряженности магнитного поля плоской монохроматической электромагнитной волны через волновой вектор и напряженность электрического поля. Параметры среды е, м считать заданными.
• 1.43. В изотропной среде с показателем преломления n распространяется плоская электромагнитная волна с циклической частотой щ. Определить волновой вектор. Считать, что векторы напряженности электрического и магнитного поля волны и известны.
• 1.44. Параметры импульса рубинового лазера следующие: время импульса ф=0,1 мс, средняя энергия импульса W=0,3 Дж, диаметр пучка d=5 мм. Каковы напряженность электрического поля и интенсивность излучения лазера?
• 1.45. В современных технологических импульсных лазерных установках напряженность электрического поля достигает Е_max~10⁹ В/м. Оценить соответствующую плотность энергии, а также интенсивность лазерного излучения.
• 1.46. Амплитуда напряженности электрического поля плоской синусоидальной электромагнитной волны равна Е₀. Какое среднее давление оказывает волна на плоскую металлическую стенку при падении, на нее по нормали?
• 1.47. Среднее давление, оказываемое плоской синусоидальной электромагнитной волной, падающей под углом б на металлическую поверхность, равно p₀. Определить амплитуду напряженности электрического поля этой волны.
• 1.48. Электромагнитная волна в вакууме описывается уравнением E=E₀cos (щt-kx), H=H₀cos (щt-kx). Волна отражается от плоскости, перпендикулярной к оси Х, без потери энергии. Написать уравнение, описывающее отраженную волну.

• 1.49. Для электромагнитной волны с частотой щ диэлектрическая проницаемость среды е=2, магнитная проницаемость среды м=1. Найти модуль вектора Пойнтинга в точке, где вектор напряженности электрического поля изменяется по закону. Амплитуда напряженности магнитного поля равна Здесь единичные орты декартовой системы координат.
• 1.50. Электромагнитная волна падает по нормали к границе раздела двух сред воздухстекло. Каков коэффициент отражения этой волны? Относительный показатель преломления стекла равен 1,5.