Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения эйлера)

движение жидкость эйлер бернулли.

Рассмотрим движущуюся невязкую жидкость, у которой плотность. Выделим в ней элементарный параллелепипед с ребрами параллельными координатным осям (рис. 1). На массу жидкости в объеме параллелепипеда, равную, действуют массовые силы, пропорциональные массе, и поверхностные силы давления окружающей жидкости, распределенные по граням параллелепипеда, направленные по внутренним нормалям к граням и пропорциональные площадям соответствующих граней.

Рис. 1.

Составим уравнения движения выделенной массы в проекциях на координатные оси.

Произведение массы жидкости в параллелепипеде на проекцию ускорения движения его центра масс (полюса) на направление ОХ равно.

.

где — скорость центра масс в направлении X.

Проекция на направление ОХ массовых сил, действующих на выделенную массу жидкости, равна.

.

где — проекция на ось ОХ плотности распределения массовой силы.

Чтобы записать проекцию сил давления на ось ОХ, вспомним, что в сплошной жидкой среде давление есть непрерывная функция координат точек жидкости и времени .

Обозначим давление в произвольной точке с координатами на левой вертикальной грани. В силу сплошности жидкости и непрерывности функции давления на правой грани в точке с координатами давление равно точностью до бесконечно малых второго порядка.

Разность давлений будет одинаковой для любой пары выбранных на гранях точек с одинаковыми координатами и, при этом проекция на ось ОХ результирующей силы давления равна .

Записав уравнение движения в направлении ОХ, получим.

или после деления на массу.

Аналогично можно получить уравнения движения в проекциях на направления осей OY и OZ:

Таким образом, система дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости имеет вид.

(1).

Эти дифференциальные уравнения были впервые получены действительным членом Петербургской Академии наук Л. Эйлером в 1755 г.

Учитывая, что для неустановившегося движения компоненты (проекции) скорости и являются функциями времени, можно записать ускорения выделенной массы в развернутом виде:

уравнения Эйлера (1) можно переписать в виде.

(2).

Для случая покоящейся жидкости уравнения (1) совпадут с дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (2.4).

Уравнение движения невязкой жидкости вдоль линии тока имеет вид.

(3).

где — проекция плотности распределения массовых сил на направление касательной к линии тока; - ускорение частицы.

Уравнение (3) после преобразований имеет вид.

. (4).

В задачах динамики жидкости массовые силы обычно считаются заданными (известными). Неизвестными являются функции давления, проекции скорости и плотность — всего пять неизвестных функций.

Для определения неизвестных переменных используется система уравнений Эйлера. Поскольку число неизвестных превышает число уравнений, к системе Эйлера добавляют уравнение неразрывности и уравнение состояния среды.

Для несжимаемой жидкости уравнение состояния const и уравнение неразрывности.