Экономико-математическое моделирование. 
Экономико-математическое и информационное моделирование: предпосылки перехода от абстрактно-теоретического характера моделей к числовому

Под экономикой понимается хозяйственная деятельность, а также совокупность отношений, складывающихся в ходе этой деятельности. Это сложный для моделирования объект, поэтому в экономическом моделировании ряд постулатов являются методической основой для составления моделей. К таким постулатам можно отнести уровни абстрактного описания экономических систем, восприятие экономики как кибернетической системы, системность экономической динамики, выборку как репрезентативное представление генеральной совокупности и ряд других предположений, отдельные из которых используются в конкретной модели.

В экономико-математическом моделировании используется принцип последовательного перехода от общего к частному, который реализуется путем составления моделей разных уровней абстракции. Уровни абстракции экономического моделирования обычно [4, 7] заимствуются из общей теории систем: лингвистический, теоретико-множественный, абстрактно-алгебраический, топологический, логико-математический, теоретико-информационный, динамический и эвристический.

При описании лингвистического уровня использовано определение системы как совокупности объектов исследования и отношений между ними. В экономико-математическом моделировании на этом уровне абстракции вводятся такие объекты исследования (термы), как государство, фирма, домохозяйство, рынок товаров и услуг, финансовые рынки, производственные факторы и т. д. Отношения между объектами исследования (функторы) представлены таким понятиями, как доход, налоги, потребление, сбережения, инвестиции, закупки, бюджет, субсидии, капитал, импорт, экспорт, выручка и т. д.

Теоретико-множественное определение рассматривает экономическую систему как некоторое множество элементов, которое само является подмножеством системы более высокого порядка. В свою очередь, элементы могут быть представлены как множество. На втором уровне абстракции предоставляется возможность описывать составные элементы отдельной системы и отражать иерархию систем. В экономических моделях это находит отражение в виде построения иерархий систем. Иерархией первого уровня является степень охвата модели: мировая (международная) экономика, макроэкономика, мезоэкономика, микроэкономика. В разделе макроэкономики примером иерархии может служить совокупность индикаторов результатов экономической деятельности: валовый внутренний продукт, чистый внутренний продукт, национальный доход, личный доход, располагаемый личный доход. На уровне предприятия иерархия может быть представлена как доход — затраты — прибыль — распределение: дивиденды, увеличение собственного капитала и т. д. Иерархия предполагает тип связи родитель — потомок. Расширением иерархии являются графы, которые предполагают связи между узлами разных иерархий. На этом уровне абстракции определяется факт наличия связи, но не описывается ее тип.

На следующем уровне детализации — абстрактно-алгебраическом — система рассматривается как совокупность связанных элементов, и эти связи между элементами рассматриваемых множеств устанавливаются с помощью некоторых однозначных функций, отображающих элементы множества в само исходное множество.

Например, в модели производства товаров могут рассматриваться два фактора: труд и капитал. Производственная функция в этом случае будет выглядеть как Y = F (K, L). Далее следуют предпосылки о характере функции. Вариантами этой модели являются функция КоббаДугласа: а Я.

Y=AK l.

где А, а, Я — положительные параметры;

функция Леонтьева: Y = min (K/a; L/b), где a, b — положительные параметры.

Другими примерами абстрактно-алгебраических моделей могут быть модели распределения национального дохода по факторам производства, модели поведения потребителя в зависимости от полезности товаров, модели анализа ценообразования, поведение монополии на рынке и т. д.

Значительная часть экономических моделей этого уровня абстракции носит эконометрический характер. В таких моделях вероятностными методами оценивается факт наличия связи между элементами и их место в причинно-следственных отношениях, создаются модели анализа временных рядов и панельных данных и т. д.

Отдельный класс экономических моделей связан с расположением экономических элементов в пространстве. В этом случае создаются модели топологического уровня абстракции, в которых элементы экономических систем определяются как некоторые топологические структуры. Примерами топологических задач могут быть модели «линейного города» и «кругового города», т. е. модели пространственной дифференциации рынка «на линии» и «на окружности». В таких моделях описывается местоположение отдельных элементов — точек реализации товара, мест хранения. На базе характеристик пространственной дифференциации могут создаваться модели ценообразования, учитывающие транспортные затраты и доступность для покупателя.

Следующие уровни — логико-математический, теоретико-информационный, динамический и эвристический — предполагают реализацию абстрактных моделей.

Прежде чем перейти к представлению отдельных уровней абстракции раздела реализации, кратко остановимся на некоторых понятиях кибернетики как науки об управлении большими системами. Под управлением понимается регулирование поведения системы, реализуемое посредством создания правил, ограничений и механизма исполнения этих правил.

Базовым понятием кибернетики является «черный ящик», оно используется для обозначения системы, внутреннее устройство которой не рассматривается. При работе с такими системами используется вход и выход. Выход связывается со входом по принципу обратной связи. Одним из вариантов реализации обратной связи может быть гомеостат — устройство управления для поддержания определенной переменной в заданных пределах (например, температуры внутри помещения). Экономическая система в кибернетике представляется как единый организм. Существенным является утверждение о том, что оптимизация локальных задач часто вредна для жизнедеятельности всего организма в целом.

В общей теории систем логико-математический уровень описания представляется как реализация абстрактных моделей для функционирования автоматов. Система, пусть даже самого низкого уровня в иерархии систем, в этом случае рассматривается как автомат. Существует несколько понятий термина «автомат»: автомат в экономике, автомат в математике и автомат в технике.

Сегодня значительная часть производственных процессов, деятельность по оказанию услуг переданы на исполнение автоматам. Их применение значительно повышает производительность труда, скорость и точность выполнения операций. Автоматы используются для выполнения работ, опасных для жизни человека. Робототехника нашла свое применение не только в производстве, но и других секторах экономики: хирургический робот «Да Винчи» используется в нескольких странах для операций по пересадке почек без участия человека.

Математическое понятие автомата подразумевает математическую модель реально работающих автоматов, которые имеют конечное число входных и выходных каналов и некоторое множество внутренних состояний. Используя, в том числе, математические методы, необходимо описать общую схему работы автомата: состав возможных поступающих сигналов, набор его состояний, функции перехода в следующее состояние и набор сигналов на выходные каналы. Наиболее существенная часть этого этапа — реализация логики по переходу из состояния в состояние, а также математическая модель работы гомеостата в зависимости от состояния окружающей среды. В терминах системного подхода, предполагающего иерархию систем, рассматриваемый автомат является элементом системы более высокого порядка, поэтому работа гомеостата нашего автомата будет предопределяться состоянием совокупности элементов системы уровнем выше. Два элемента нашего автомата — функция перехода из состояния в состояние и гомеостат — будут реализованы в форме перевода отдельных экономико-математических моделей абстрактно-алгебраического или топологического уровня на математический уровень путем использования подходящих методов решения. Естественно, не все экономические системы могут быть реализованы в форме полного автомата, но чем ниже спускаемся по иерархии систем, тем более вероятным становится возможность передать функцию на исполнение автомату. Эта возможность предопределяется уровнем формализации процесса, проработанностью математического аппарата, применяемыми технологическими инструментами и решениями. Например, в логике торгового автомата, совершающего транзакции на фондовом рынке, могут быть реализованы модели анализа временных рядов биржевых цен на инструменты, модели оценки активов эмитента из раздела «микроэкономика», учитываться ставки рефинансирования в моделях макроэкономики, и т. д. Чем больше факторов мы сможем учитывать, тем больше возможностей по настройке работы автомата.

Математический аппарат экономических моделей включает симплексный метод, транспортную задачу, задачи из теории графов и оптимизации на сетях и т. д. На продвинутом уровне рассматриваются дифференциальные исчисления, линейные нормированные пространства, выпуклый анализ и др.

Для принятия управленческого решения обрабатывается информация о состоянии элементов системы. Информационное отражение состояния элементов моделируется на теоретико-информационном уровне описания систем. Информация выступает как свойство элементов системы отражать их состояние. Все экономические процессы имеют информационное отражение, исполняемое в электронном виде, на бумажных носителях либо в других вариантах. Информационному моделированию и методам представления информации будет посвящен отдельный раздел.

Динамический уровень абстрактного описания систем рассматривает изменение системы в течение времени. Здесь следует различать два типа изменения во времени, которые характерны для системы: переходы системы из состояния в состояние с течением времени и движение системы по этапам жизненного цикла. При смене этапов серьезно меняется сама система, она переходит в принципиально новое состояние, у нее появляются другие функции, меняется состав элементов, при этом она остается той же системой. Изменения могут происходить как следствие ее эволюции, так и под действием агрессивного внешнего окружения, интервенций.

Эвристический уровень абстрактного описания систем предусматривает принятие управленческих решений для системы, составным элементом которой является человек. На этом уровне создаются модели для принятия управленческих решений, основанных на формализованном аппарате, с участием человека, его творческого, неосознанного мышления. Методами этого уровня абстракции являются управление знаниями, экспертиза, экспертные оценки.

Мы рассмотрели абстрактные уровни экономико-математического моделирования. Как показывает практика, наиболее ответственным и трудным шагом в теоретико-системных построениях является выбор подходящего метода формального описания реальной системы на абстрактном уровне, построение модели верхнего уровня.

Следует отметить, что деятельность большинства экономических систем осуществляется с преобладающей ролью человека. Вместе с тем технологические решения, информационные технологии оказывают существенное влияние на их деятельность. Особенности информационного отражения экономической деятельности рассмотрим в разделе информационного моделирования.