Ускоренные и вращающиеся системы отсчета

Рассмотрим метрику вида (4), в которой положим [22].

(7).

Здесь — трехмерные векторы, для которых справедлива операция векторного умножения.

Покажем, что метрика (7) описывает движение в ускоренных и вращающихся системах координат. Действительно, вычисляя отличные от нуля коэффициенты аффинной связности и тензор кривизны в метрике (7), получим.

(8).

Подставляя выражения (8) в уравнения (3) и производя несложные преобразования, находим.

(9).

Здесь — трехмерные векторы, описывающие скорость изменения величин по отношению к подвижным осям выбранной системы координат. Выражение (9) можно сравнить с классической формулой движения материальной частицы в неинерциальной системе отсчета [13−15]. Так, например, в [15] это движение описывается уравнением, имеем.

(10).

Здесь — масса частицы и потенциал внешнего поля соответственно. Выражение (10) получено путем преобразования функции Лагранжа в два этапа, на первом из которых осуществляется переход из инерциальной системы в ускоренную систему, движущуюся со скоростью и с ускорением, а на втором — в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью .

Отметим, что при преобразовании к подвижным осям ускорение также преобразуется [13−15], что не принято во внимание при выводе уравнения (10), поэтому следует положить в правой части (10).

Опуская в уравнении (10) градиент потенциала внешнего поля и полагая, имеем.

(11).

Сравнивая (10) и (11) находим, что для согласования этих уравнений достаточно будет определить систему координат так, чтобы выполнялись уравнения.

(12).

Отображение (12), очевидно, описывает преобразование системы координат, связанное с выбором ориентации осей. Таким образом, мы доказали, что классическое движение в неинерциальной системе координат описывается в общей теории относительности в метрике (7).

Полученный выше результат об эквивалентности описания движения в неинерциальных системах отсчета в классической механике и в общей теории относительности позволяет моделировать любые силы механической природы, включая силы электродинамического происхождения и само электромагнитное поле как механическую систему [1]. Это также означает, что классическая механика является точной, а не приближенной моделью в общей теории относительности [22].

Наконец, заметим, что уравнение (2) для пустого пространства и при равной нулю космологической константе удовлетворяется автоматически, поскольку в метрике (7).