Оценка степени тесноты связи переменных

.

Индексом корреляции называется.

Данный показатель является наиболее общей характеристикой тесноты связи и. Отметим, что. Причем означает отсутствие влияния на, а — полное отсутствие варьирования случайной компоненты (), т. е. возможность детерминированного восстановления по. Величина () — показывает точность восстановления по .

Особенности корреляционного анализа для количественных переменных

Парный коэффициент корреляции. Пусть (,) — двумерная нормальная случайная величина. Подставив в (6.1) формулу плотности двумерного нормального распределения, получим соотношение для индекса корреляции, которое называется парным коэффициентом корреляции r:

Пусть (xi, yi), — выборка из двумерного нормального распределения, тогда выборочное значение определяется по формуле:

Парный коэффициент корреляции r характеризует степень тесноты линейной статистической связи между анализируемыми признаками. Однако лишь если совместное распределение (,) нормальное, то r имеет четкий смысл. Значение — говорит о чисто функциональной линейной зависимости, а r=0 — о независимости. Если же совместное распределение (,) не нормальное, или одна из величин не случайна, то r является лишь одной из возможных характеристик степени тесноты связи. Но для общего случая не предложено характеристики, обладающей преимуществами в сравнении с парным коэффициентом корреляции, хотя его интерпретация часто ненадежна. Возможно, что линейной зависимости нет (r=0), а переменные и связаны функционально . Поэтому, если r=0, то в общем случае говорят, что и не коррелированы. Из высокой степени коррелированности () при отклонении (,) от нормального закона не следует их тесная зависимость.

Геометрический смысл коэффициента корреляции состоит в том, что, если для большинства пар в (6.2) произведения будут иметь один и тот же знак, то их суммирование дает значение, существенно отличающееся от нуля. Причем, чем выше будет угол наклона предполагаемой линии взаимосвязи, тем выше должен быть коэффициент корреляции. В случае, если большинство значений и отклоняются от средних и несогласованно (т.е. и имеют разные знаки), то сумма разнознаковых слагаемых будет близка к нулю. Подобная ситуация на диаграмме рассеяния соответствует облаку точек с центром. Большинство пакетов статистических программ для анализа корреляций вычисляют корреляцию между и и строят диаграмму рассеяния одновременно. При одном прогоне такой программы исследователь может получить корреляции и диаграммы рассеяния для любой комбинации преобразований и например, , и т. д. Преобразование, для которого получается наибольшее по абсолютной величине значение коэффициента корреляции, будет тем преобразованием, которому соответствует наиболее сильная линейная взаимосвязь.

Некоторые особенности интерпретации степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции. Отметим, что при анализе тесноты связи случайных величин по выборочным данным нельзя забывать об однородности выборки. Например, исследуется взаимосвязь числа телевизионных точек от численности населения. Так, для n=9 городов США получено, что оценка коэффициента корреляции равна 0.403 (см. рисунок 6.1), т. е. это говорит о малой степени коррелированности случайных величин и. Если же добавить Нью-Йорк, то n=10, а =0.995 (см. рисунок 6.2).

И, наконец, если между двумя переменными установлена зависимость, то это не означает их причинную взаимообусловленность. Например, на заводе установлена положительная корреляция между временем плавки и процентом брака. Позже выяснили, что длительная плавка связана с использованием сырья специального состава. Оно и приводило одновременно к длительному времени плавки и большому проценту брака, хотя между собой они не зависимы, т. е. обусловлено влиянием третьего неучтенного фактора.

Рисунок 6.1 — Оценка r=0.403 для n=9, Рисунок 6.2 — Оценка r=0.995 для n=10.