Сравнение методов останова операций отсеивания при эмпирической модовой декомпозиции сигналов

Аннотация

В статье проводится сравнение Sи SD-методов останова операций отсеивания функций IMF. Рассмотрен пример с тестовым сигналом, проведен анализ эффективности декомпозиции.

Ключевые слова: модовая эмпирическая декомпозиция сигналов, ошибка декомпозиции, эмпирические моды, внутренние колебания, S-метод, SD-метод, нормализованная квадратичная разность, операция отсеивания, LabView, преобразование Гильберта-Хуанга.

Метод эмпирической модовой декомпозиции сигналов (Empirical Mode Decomposition, EMD) представляет собой адаптивную итерационную вычислительную процедуру разложения исходных сигналов на эмпирические моды или внутренние колебания (intrinsic mode functions, IMF) [1]. Применение данной процедуры к многокомпонентным сигналам допускает создание их частотно-временного представления на основе преобразования Гильберта [2−5].

Процедура эмпирической модовой декомпозиции реализует следующий алгоритм действий [1,6−8].

• 1. В сигнале y (t) определяется положение всех локальных экстремумов.
• 2. Кубическим сплайном вычисляется верхняя u_a(t) и нижняя u_b(t) огибающие процесса соответственно. Определяется функция средних значений m₁(t) между огибающими.

(1).

Разность между сигналом y (t) и функцией m₁(t) дает первую компоненту отсеивания — функцию h₁(t), которая является первым приближением к первой функции IMF:

. (2).

3. Повторяются операции 1 и 2, принимая вместо y (t) функцию h1(t), и находится второе приближение к первой функции IMF — функция h2(t).

(3).

Останов операций отсеивания может осуществляться по заданному значению нормализованной квадратичной разности (4) между двумя последовательными итерациями (SD-метод) или по заданному ограничению числа итераций (S-метод).

4. Последнее значение hi (t) итераций принимается за наиболее высокочастотную функцию с1(t) = hi (t) семейства IMF, которая непосредственно входит в состав исходного сигнала y (t). Это позволяет вычесть с1(t) из состава сигнала и оставить в нем более низкочастотные составляющие:

. (5).

Функция r₁(t) обрабатывается как новые данные по аналогичной методике с нахождением второй функции IMF — c₂(t), после чего процесс продолжается.

Таким образом, достигается декомпозиция сигнала в n-эмпирическом приближении:

. (6).

Приведенный алгоритм модовой декомпозиции реализован нами в среде программирования LabView [9]. Для вычисления ошибки декомпозиции при сравнении разных методов останова итераций (Sи SD-методов) будем использовать следующую величину [10]:

(7).

где y_i и y'_i — значения для i-ого отсчета исходного и реконструированного по формуле (6) сигналов соответственно.

В качестве примера смоделирован гармонический сигнал (рис.1) с частотными составляющими 50, 250 и 450 Гц. Длина сигнала составляет 1000 отсчетов при частоте дискретизации 1кГц.

Рис. 1. — Фрагмент смоделированного сигнала

Результаты расчетов ошибки декомпозиции сигнала при задании останова операции отсеивания по S-методу представлены на рис. 2. Из рисунка видно, что с увеличением количества итераций возрастает ошибка декомпозиции сигнала. Минимальное значение ошибки было достигнуто на второй операции приближения.

Для апробации на тестовом сигнале SD-метода были оценены значения нормализованной квадратичной разности для каждой операции приближения по S-методу. Следует отметить, что для каждой эмпирической моды в пределах одного номера итерации они имеют разные значения и могут отличаться на несколько порядков. В соответствии с этим был выбран диапазон задания порога останова по значению нормализованной квадратичной разности от 1E₀₈ до 1.

Значения ошибки декомпозиции сигнала с применением SD-метода представлены на рис. 3. Из него видно, что минимальное значение ошибки было достигнуто при задании порога останова SD_min=1E₀₂. Слишком строгий критерий останова завышает величину ошибки декомпозиции, а при значении SD_min=1E₀₈ достигает 0,753 287.

Рис. 3. — Изменение величины ошибки декомпозиции Error в зависимости от задания значения нормализованной квадратичной разности

Анализ результатов декомпозиции ряда тестовых сигналов показал схожие результаты с приведенным примером и позволяет сделать следующие выводы: модовая эмпирическая декомпозиция сигнал.

• 1. Sи SD-методы методы показали одинаковую эффективность декомпозиции, минимальные значения ошибки (7) практически совпадают.
• 2. Завышение критерия останова Sи SD-методов приводит к изменению форм IMF и искажает условия заданные выражением (6).
• 3. В случае обработки большого количества данных предпочтительным является S-метод останова операций отсеивания в виду упрощения вычислительного алгоритма.

• 1. Norden E. Huang, Samuel S.P. Shen. The Hilbert-Huang transform and its applications // World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2005. 325 p.
• 2. Берстень М. П., Зенов А. Ю. Концепция организации обработки информации в системах диагностики и распознавания // Инженерный вестник Дона, 2013, № 1.
• 3. Чернов А. В., Пугачева О. Ю, Абидова Е. А. Обработка диагностической информации при оценке технического состояния электроприводной арматуры АЭС // Инженерный вестник Дона, 2011, № 3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/499.
• 4. Павлов А. Н., Филатова А. Е., Храмов А. Е., Иванов А. В., Шурыгина С. А., Куркин С. А., Москаленко И. О., Павлова О. Н. Анализ и диагностика многокомпонентных сигналов сейсмограмм с использованием преобразования Гильберта-Хуанга // Вестник ТГУ. 2012. № 4. С. 1122−1124.
• 5. Павлов А. Н., Филатова А. Е., Храмов А. Е. Частотно-временной анализ нестационарных процессов: концепции вейвлетов и эмпирических мод // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. № 2. С. 141−157.
• 6. Бороноев В. В., Омпоков В. Д., Козин В. А. Эмпирическая модовая декомпозиция пульсовых сигналов // Вестник ВСГТУ. 2015. № 1. С. 40−43.
• 7. Феоктистов А. С., Нежевенко Е. С. Классификация гиперспектральных изображений с помощью преобразования Гильберта-Хуанга // ИНТЕРЭКСПО ГЕО-СИБИРЬ. 2015. № 2. С. 23−27.
• 8. Huang N. E., Wu M. C., Long S. R. et al. A confidence limit for empirical mode decomposition and Hilbert spectral analysis // Proc. R. SOC. London, Ser. A. 2003. № 459. pp. 2317−2345.
• 9. LabVIEW: стиль программирования / Блюм П., Пер. с англ. под ред. Михеева П. М.: 2008. 400 с.
• 10. Сафиуллин Н. Т. Разработка методики анализа временных рядов с помощью преобразования Хуанга-Гильберта: дис. канд. техн. наук: 05.13.01. Новосиб., 2015. 193 с.

References.

• 1. Norden E. Huang, Samuel S.P. Shen. The Hilbert-Huang transform and its applications. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2005. 325 p.
• 2. Bersten' M.P., Zenov A.Yu. Inzhenernyy vestnik Dona (Rus), 2013, № 1.
• 3. Chernov A.V., Pugacheva O. Yu, Abidova E.A. Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, № 3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2011/499.
• 4. Pavlov A.N., Filatova A.E., Khramov A.E., Ivanov A.V., Shurygina S.A., Kurkin S.A., Moskalenko I.O., Pavlova O.N. Vestnik TGU. 2012. № 4. pp. 1122−1124.
• 5. Pavlov A.N., Filatova A.E., Khramov A.E. Izvestiya vuzov. Prikladnaya nelineynaya dinamika. 2011. № 2. pp. 141−157.
• 6. Boronoev V.V., Ompokov V.D., Kozin V.A. Vestnik VSGTU. 2015. № 1. pp. 40−43.
• 7. Feoktistov A.S., Nezhevenko E.S. INTEREKSPO GEO-SIBIR''. 2015. № 2. pp. 23−27.
• 8. Huang N. E., Wu M. C., Long S. R. et al. A confidence limit for empirical mode decomposition and Hilbert spectral analysis. Proc. R. SOC. London, Ser. A. 2003. № 459. pp. 2317−2345.
• 9. LabVIEW: stil' programmirovaniya [The LabVIEW Style Book]. Blyum P., Per. s angl. pod red. Mikheeva P. Moscow. 2008. 400 p.
• 10. Safiullin N.T. Razrabotka metodiki analiza vremennykh ryadov s pomoshch’yu preobrazovaniya Khuanga-Gil'berta [The method of time series analysis using the Hilbert-Huang transform]: dis. kand. tekhn. nauk: 05.13.01. Novosibirsk, 2015. 193 p.