Гидростатика. 
Механика жидкости и газа

Общие положения. Дифференциальные уравнения

Гидростатики Гидростатика, раздел гидромеханики, изучающий равновесие жидкости и твёрдых, которые частично или полностью погружены в неё. Иначе гидростатика изучает поведение жидкостей при абсолютном и относительном покое.

Жидкость, которая покоится в системе координат, связанной с Землёй, находится в абсолютном покое. Покой жидкости в системе координат, которая движется относительно Земли, называют относительным.

В общем случае жидкость подвержена действию массовых и поверхностных сил. При этом покой жидкости наблюдается только в случае, если массовые силы обладают потенциалом и постоянны во времени.

Обычны, рассматривают покой жидкости, подверженной силам гравитации и инерции.

Дифференциальные уравнения гидростатики (уравнения Эйлера) Рассмотрим напряженное состояние жидкой частицы, имеющей форму параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz.

На элементарный параллелепипед действуют удельные массовые силы F_x, F_y, F_{z ,} поверхностные P_x, P_y, P_z, на грани OABC, ОССО, АООА и Р_х рх; Р_уру; Р_zрz на грани АВСО, АВВА, ВССВ так как при переходе от одной грани к другой в общем случае давление изменяется на некоторую величину.

Напишем условие равновесия жидкой частицы в направлении оси х-в:

После преобразования получаем F_xdx-dx=0.

Аналогично по другим осям координат.

F_ydy-dy=0 (4.1,а).

F_zdz-=0.

Сократив на dx, dy, dz будем иметь.

F_x-=0. F_y-=0 (4.1).

F_z-=0.

Полученную систему уравнений называют дифференциальными уравнениями гидростатики или уравнениями Эйлера.

Просуммируем уравнение (4.1).

= 0,.

гдеполный дифференциал давления.

Тогда будем иметь.

(4.2).

Уравнение (4.2) называют уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

При р=const dp=0 поэтому.

F_xdx+F_ydy+F_zdz=0 (4.3).

Есть не что иное, как уравнение поверхности равного давления.

Интегрирование уравнений гидростатики.

Уравнение гидростатики Эйлера описывают как абсолютный, так и относительный покой жидкости и их решения для частных случаев достаточны для выявления всех сторон поведения покоящейся жидкости. Рассмотрим ряд частных случаев интегрирования уравнений Эйлера.

Основное уравнение гидростатики.

Рассмотрим рис. 4.2 случай, когда на жидкость действует только одна массовая сила — сила тяжести.

Тогда в уравнении (4.1) F_y=F_x=0, а F_z=.

Знак минус указывает, что положительное направление оси Z взято вверх от начала координат. С учетом этих замечаний имеем из (4.1).

(4.4).

После интегрирования получаем.

(4.5).

Для случая, постоянную интегрирования можно найти из условия: при z = z₀, p = p₀, т. е.

₀+P₀ / (4.6).

Подставив из (4.4) значение С в (4.3), находим.

₀+P₀ /,.

откуда P=P₀+g (z₀+z). Таким образом.

P = P₀+gh (4.7).

Последнее уравнение часто называют основным уравнением гидростатики. Оно показывает, что абсолютное гидростатическое давление в любой точке пространства, занятого жидкостью, равно сумме внешнего давления и избыточного давления Избыточное давление может быть как положительным так и отрицательным, например, в точке О₂, где избыточное давление P_изб.=₂

Так как Земля окутана атмосферой, то все объекты на поверхности Земли испытывают атмосферное давление. Поэтому в технических расчётах часто давление отсчитывают от атмосферного. Давление, отсчитываемое от нуля будет абсолютным давлением (). Положительное избыточное давление, отсчитываемое от уровня атмосферного давления называют манометрическим давлением:

P_м =P — P_a (4.8).

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом, т. е. В этом случае наблюдается разрежение по отношению к атмосферному давлению.

B=P_a — P (4.9).

Очевидно, что величина вакуума не может быть численно больше атмосферного давления.

Давление в СИ измеряется в паскалях 1Па=1Н/1м². Для перехода к единицам измерения других систем приняты следующие переходные коэффициенты: 1ат=1кгс/1см²=98 066,5Па (точно);

• 1 мм. рт. ст.=133,322Па;
• 1бар=10⁵Па.

Размерность давления: lim p=ML^-1T^-2.

Уравнение (1.3) можно записать в виде, разделив на.

. (4.10).

В уравнении (4.10) каждый член представляет собой напор. Напором называют энергию, содержащуюся в единице веса жидкости.

Напор измеряется в метрах, так как.

Т. о. напор жидкости можно представить как столб жидкости некоторой высоты и как удельную энергию.

Величину называют полным гидростатическим напором, z — геометрическим напором, — пьезометрическим напором. Таким образом, в любой точке пространства, занятого покоящейся жидкостью, сумма геометрического и пьезометрического напоров постоянна и равна полному напору.

Форма свободной поверхности жидкости в сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси.

В данном случае рис. 4.5 на жидкость, кроме веса действует также другая массовая сила — центробежная, поэтому F_x=F_y=j, F_z=, где j — ускорение центробежной силы в точке О. Так как в данном случае оси x и y равноправны, то достаточно учесть только одно направление. Тогда из (4.1) Если угловая скорость вращения равна, то j=²x а, следовательно. Проинтегрируем это уравнение и найдём z.

(4.15).

На поверхность жидкости p=p_a, поэтому.

₀+²x²/ 2gP_a / g, (4.16).

что представляет собой параболу в плоскости xoz а, следовательно, свободная поверхность жидкости есть параболоид вращения. Свободная поверхность жидкости является изобарой, так как _а .

Давление на стенки горизонтальной центрифуги.

В горизонтальной центрифуге рис. 1.6 жидкость подвержена силам веса и инерции, однако, как правило, gо и весом пренебрегают. Тогда F_x=0, a F_y и F_z=j.

Дифференциальное уравнение гидростатики при этом запишется в виде: _yz Так как при g=0 направления y и z равноправны, то ²

Проинтегрируем последнее. Тогда ²

²(z² — z²₀) / 2 — (P — P_a) = 0.

P = P₀ + ²/2 (z² — z²₀). (4.17).

Из (4.17) следует, что давление на радиальные стенки изменяется по параболическому закону, а при остаётся постоянным.