Расчет теплопроводности и теплопередачи

Томск 2016.

Задание 1. Расчет стационарной теплопроводности и теплопередачи

Задача № 3

Теплота передается через стальную стенку с коэффициентом теплопроводности лс=40 Вт/м· К от дымовых газов к кипящей воде. Толщина стенки д_с = 20 мм, температура дымовых газов (t_ж1 = 1100⁰С), температура воды (t_ж2 = 160⁰С), коэффициент теплоотдачи от газов к стенке (б₁ = 35 Вт/(м²*К)) и от стенки к воде (б₂ = 3000 Вт/(м²*К)) .

Рассчитать:

• — коэффициент теплопередачи (К, Вт/ м²· К) от газов к воде;
• — плотность теплового потока, передаваемого через стенку (q, Вт/м²);
• -температуры на поверхности стенки со стороны газов (t₁) и со стороны воды (t₂).

Построить график распределения температур по толщине стенки. Нанести на график температуры t_ж1 и t_ж2.

В процессе эксплуатации стенка со стороны воды покрылась слоем накипи толщиной дн = 2,6 мм, коэффициент теплопроводности накипи лн=1,0 Вт/м· К.

Рассчитать для этого случая К, q, t₁, t₂, температуру на поверхности накипи (t_н).

Построить график распределения температур по толщине стенки и накипи. Дать сравнительный анализ двух графиков.

Решение:

• а) Стальная стенка без накипи
• 1. Определяем термические сопротивления R слоёв:

R_б1 = 1/б₁ = 1/35 = 0,029м*К/Вт;

R_лс = д_с/л_с= 0,02/40 = 0,0005м*К/Вт.

R_б2 = 1/б₂ = 1/3000 = 0,0003м*К/Вт.

2. Коэффициент теплопередачи от газов к воде:

k = 1/(R_б1 + R_лс + R_б2) = 1/(0,029 + 0,0005 + 0,0003) = 33,56 Вт/(м*К).

3. Плотность теплового потока, передаваемого через стенку:

q = k*(t_ж1 — t_ж2)*р = 33,56*(1100 — 160) = 31 546,4 Вт/м.

4. Температуры на поверхности стенки со стороны газов (t1) и со стороны воды (t2):

t₁ = t_ж1 — q*R_б1 = 1100 — 31 546,4 *0,029 = 185⁰C;

t₂ = t₁ — q*R_лс = 185 — 31 546,4 *0,0005 = 169⁰C.

График распределения температуры по толщине стенки.

• б) В процессе эксплуатации стенка со стороны воды покрылась слоем накипи
• 1. Определяем термические сопротивления R слоёв:

R_б1 = 1/б₁ = 1/35 = 0,029м*К/Вт;

R_лс = д_с/л_с= 0,02/40 = 0,0005м*К/Вт;

R_лн = д_н/л_н= 0,0026/1 = 0,0026м*К/Вт;

R_б2 = 1/б₂ = 1/3000 = 0,0003м*К/Вт.

2. Коэффициент теплопередачи от газов к воде:

k = 1/(R_б1 + R_лс + R_лн + R_б2) = 1/(0,029 + 0,0005 + 0,0026 + 0,0003) = 30,87 Вт/(м*К).

3. Плотность теплового потока, передаваемого через стенку:

q = k*(t_ж1 — t_ж2)*р = 30,87*(1100 — 160) = 29 017,8 Вт/м.

4. Температуры на поверхности стенки со стороны газов (t1), со стороны воды (t2) и на поверхности накипи (tн):

t₁ = t_ж1 — q*R_б1 = 1100 — 29 017,8 *0,029 = 259⁰C;

t₂ = t₁ — q*R_лс = 259 — 29 017,8 *0,0005 = 245⁰C;

t₃ = t₂ — q*R_лн = 245 — 29 017,8 *0,0026 = 170⁰C.

График распределения температуры по толщине стенки и накипи.

Как показали расчёты, при появлении слоя накипи уменьшается тепловой поток через стенку, следовательно увеличивается температурный перепад по толщине стальной стенки.

Задание 2. Расчет нестационарной теплопроводности

Задача № 3

Длинный металлический стержень диаметром d=50 мм с начальной температурой tн = 25⁰С помещён в печь с температурой tп = 655⁰С для термической обработки.

Коэффициент теплопроводности л = 40 Вт/м· К, удельная теплоемкость с =267 Дж/кг· К, плотность с = 7500 кг/м³ материала стержня, коэффициент теплоотдачи б = 1440 Вт/(м²*К).

Сколько времени (ф1, сек) стержень должен оставаться в печи, чтобы температура в центре стержня (tц = 592⁰C) достигла заданной величины? Какую температуру в этот момент времени будет иметь поверхность стержня (tп)?

Изобразить график распределения температуры по диаметру вала для моментов времени ф =0, ф = ф₁, ф =.

Определить полное количество тепла (Qп, Дж/м), полученное валом в процессе охлаждения, в расчете на ? = 1 м его длины. Ответы выделить.

Решение:

Критерий Био:

Bi = б*r/л, где.

б — коэффициент теплоотдачи;

r — глубина прогрева;

л — коэффициент теплопроводности материала вала.

Bi = 1440*0,025/40 = 0,9.

Температурный фактор центра вала:

= (t_п — t_ц)/(t_п — t_н) = (655 — 592)/(655 — 25) = 0,1.

Определяем из графика для центра цилиндра при Bi = 0,29 u = 0,1.

критерий Fo = 4,4.

Время достижения заданной температуры центра:

ф = Fo*С*с*r²/л = 4,4*267*7500*0,025²/40 = 138с.

Определяем из графика для поверхности цилиндра при Bi = 0,29 u Fo =4,4 температурный фактор = 0,077.

= (t_п — t)/(t_п — t_н) > t = t_п — *(t_п — t_н) = 655 — 0,077*(655 — 25) = 606⁰С.

Средняя температура вала в конце нагрева:

t = (t + t_ц)/2 = (606 + 592)/2 = 599⁰С.

Полное количество тепла, полученное валом в процессе его нагрева:

Q = с*V*(t — t_H),.

где V — объём вала, V = рR²l.

Q = 7500*3,14*0,025²*1(599 — 25) = 8449Дж.

Ответ: ф = 138с; t = 606⁰С; Q = 8449Дж.

График распределения температуры по диаметру вала.

для моментов времени ф = 0, ф = ф₁, ф =.

Задание 3. Расчет теплоотдачи при естественной конвекции жидкости.

Задача № 3

Рассчитать тепловой поток (Q, Вт), передаваемый в окружающую среду от плоской круглой горизонтальной крышки нагревательного прибора. Диаметр крышки d=0,5 м.

Учесть теплоотдачу излучением от поверхности крышки, степень черноты поверхности принять е_с = 0,9.

Температура поверхности крышки t_с=65 ^оС и температура воздуха t_ж=15 ^оС.

Решение: При t_ж = 15⁰С определяем параметры воздуха[2]:

• — коэффициент теплопроводности л_ж2 = 0,0255 Вт/(м*К);
• — коэффициент кинематической вязкости н_ж2 = 14,61*10^-6 м²/с;
• — число Прандтля Pr_ж2 = 0,704.

Определяем число Грасгофа:

Gr = g*d³*в*?t/н²,.

?t = t_с — t_ж = 65 — 15 = 50⁰C, в = 1/Т_ж = 1/288 K^-1.

Gr = 9,81*0,5³*50/(288*(14,61*10^-6)²) = 9,97*10⁸.

Gr*Pr = 9,97*10⁸*0,704 = 7,02*10⁸

Для горизонтальной трубы при Gr*Pr = 7,02*10⁸ критериальное уравнение для определения числа Нуссельта имеет вид[2]:

Nu= 0,5*(Gr*Pr)^0,25 = 0,5*(7,02*10⁸)^0,25 = 82.

Коэффициент теплоотдачи конвекцией:

б = Nu*л /d = 82*0,0255/0,5 = 4,18 Вт/(м²*К).

Тепловой поток, передаваемый с поверхности крышки к спокойному воздуху:

Q = б*(t_c — t_ж)*d²*р/4 + 5,67* е_с*[(T_c/100)⁴ — (T_ж/100)⁴ ]*d²*р/4.

Q = 4,18*(65 — 15)*0,5²*3,14/4 + 5,67* 0,9*[(338/100)⁴ — (288/100)⁴ ]*0,5²*3,14/4 = 103 Вт.

Ответ: Q = 103 Вт.

Задание 4. Расчет теплоотдачи при фазовых превращениях

Задача № 3

Сухой насыщенный пар, движущийся со скоростью w_n = 10 м/с, конденсируется на наружной поверхности горизонтальной трубы. Температура наружной поверхности трубы (t_с = 30⁰С), длина её (? = 2,5 м) и диаметр (d = 24 мм), давление пара Р = 0,0737 бар.

Рассчитать средний коэффициент теплоотдачи (б) и количество конденсата, стекающего с трубы за 1 час (G, кг/ч).

Решение: Определяем при P = 0,0737 бар: t_н = 39⁰С. При этой температуре плотность пара с'' = 0,0487кг/м³; плотность и коэффициент теплопроводности конденсата с' = 993кг/м³ и л = 0,635 Вт/(м*К).

Находим произведение w_n²* с'' = 10²* 0,0487 = 4,87 >1, следовательно расчёт ведём по формуле:

б/б_н = 28,3П^0,08*Nu_H^-0,58,.

где б_н — значение коэффициента теплоотдачи для неподвижного пара, рассчитанное по формуле б_Н = 3,25*(А^0,75/В)/(?t*р*R)^0,25,.

При Р = 0,0737 бар, А = 11,4 1/м*⁰С), В = 2,54*10^-3 м/Вт.

?t = t_н — t_с = 39 — 30 = 9⁰С.

б_Н = 3,25*(11,4^0,75/2,54*10^-3)/(9*3,14*0,012)^0,25 = 10 403 Вт/(м²*К).

Nu_H = б_Н*R/л = 10 403*0,012/0,635 = 197;

П = w_n²*с''* б_Н/(g*с'*л) = 10²*0,0487*10 403/(9,81*993*0,635) = 8,19.

б = б_н *28,3П^0,08*Nu_H^-0,58

б = 10 403* 28,3*8,19^0,08*197^-0,58 = 16 264 Вт/(м²*К).

Количество теплоты, передаваемой конденсирующимся водяным паром. теплопроводность конвекция жидкость изотермический.

Q = б*?t*р*d*L = 16 264*9*3,14*0,012*2,5 = 13 789 Вт.

Количество конденсата, стекающего с трубы за 1 час:

D = Q/r = 13 789/2409000 = 0,0057 кг/с = 20,52 кг/ч,.

r = 2409кДж/кг при Р = 0,0737 бар.

Задание 5. Теплообменные аппараты

Задача № 3

В противоточном теплообменнике типа «труба в трубе» горячее трансформаторное масло охлаждается водой. Трансформаторное масло движется по внутренней латунной трубе с диаметром d₂ /d₁ =14/12 мм. Вода движется по кольцевому зазору. Внутренний диаметр наружной трубы d₃ =22 мм. Скорость масла (w₁ = 3м/с) и температуры его на входе (t₁ґ = 110⁰С) и на выходе (t₁ґґ = 70⁰С) из теплообменника, а также скорость воды (w₂ = 2м/с) и температура воды на входе в теплообменник (t₂ґ = 10⁰С).

Принять средний коэффициент теплопередачи от масла к воде через стенку трубы К=230 Вт/м²К. Потерями тепла в окружающую среду пренебречь.

Определить температуру воды на выходе из теплообменника (t₂ґґ), площадь поверхности теплообмена (F, м²) и общую длину теплообменной поверхности (?, м).

Представить график изменения температуры теплоносителей вдоль поверхности теплообмена.

Решение: Массовый расход масла:

G₁ = w₁*f₁*с₁,.

с₁ = 838кг/м³ — плотность масла при t₁ = (t₁' + t₁'')/2 = (110 + 70)/2 = 90⁰C,.

f₁ = р*d₁²/4 = 3,14*0,012²/4 = 0,11 м² — площадь поперечного сечения трубки.

G₁ = 3*0,11*838 = 0,28 кг/с Количество теплоты, отданное маслом в теплообменнике:

Q = G₁*C₁*(t₁' - t₁'') = 0,28*2065*(110 — 70) = 23 128 Вт,.

C₁ = 2065 Дж/(кг*К) — теплоёмкость масла при t₁ = (t₁' + t₁'')/2 = (110 + 70)/2 = 90⁰C.

Температура воды на выходе из теплообменника:

Q = G₂*C₂*(t₂'' - t₂') > t₂'' = t₂' + Q/(G₂*C₂),.

C₂ = 4190 Дж/(кг*К) — теплоёмкость воды при t₂' = 10⁰C;

G₂ = w₂*f₂*с₂,.

с₂ = 1000кг/м³ — плотность воды при t₂' = 10⁰C,.

f₂ = р*(d₃² — d₂²)/4 = 3,14*(0,022² — 0,014²)/4 = 0,23 м² — площадь поперечного сечения кольцевого зазора.

G₂ = 2*0,23*1000 = 0,46 кг/с.

t₂'' = 10 + 23 128/(0,46*4190) = 22⁰C.

Площадь поверхности теплообмена:

F = Q/(k*?t),.

• ?t — температурный напор в теплообменнике,
• (t₁' - t₂'')/(t₁'' - t₂') = (110 — 22)/(70 — 10) = 1,47 < 1,5,

следовательно можно принять.

?t = t₁ — t₂ = (t₁'+t₁'')/2 — (t₂'+t₂'')/2 = (110+70)/2 — (10+22)/2 = 74⁰C,.

F = 23 128/(230*74) = 1,36 м²

Общая длина теплообменной поверхности:

F = р*d₂*L > L = F/(р*d₂) = 1,36/(3,14*0,014) = 31 м.

График изменения температуры теплоносителей вдоль поверхности теплообмена.

Что включают в себя условия однозначности? Для чего они нужны?

Теория теплопроводности не рассматривает механизм процесса распространения теплоты, а ограничивается описанием этого процесса на основе закона сохранения энергии и закона Фурье.

Дифференциальное уравнение Фурье отражает общий характер процесса, которое имеет множество решении. Для получения решения, соответствующего конкретной единичной задаче, необходимо задание условии однозначности. В условие однозначности входят геометрические условия, физические параметры материала, начальные условия и граничные условия. Условия однозначности содержат описание всех частных особенностей процесса, которые выделяют единичное явление из всего класса явлений теплопроводности.

Геометрические условия характеризуют форму и размер тела, в котором протекает процесс.

Физические условия определяют числовые значения всех физических параметров тела, входящих в дифференциальное уравнение теплопроводности и граничные условия, а также распределение внутренних источников теплоты q_v.

Временные (начальные) условия характеризуют распределение температуры в теле в начальный момент времени и заключаются в том, что для начального момента времени ф₀ должна быть известна функция t = f (x, y, z, ф₀).

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на границах тела и могут быть заданы следующим образом.

Граничные условия первого рода заключаются в том, что задается температура на поверхности тела.

Граничные условия второго рода заключаются в задании плотности теплового потока на поверхности тела.

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры окружающей среды и интенсивности теплообмена на поверхности тела. Эта интенсивность теплообмена оценивается коэффициентом теплоотдачи б.

Граничные условия четвертого рода характеризуются равенством тепловых потоков, проходящих через поверхность контакта двух т. е.

Дайте понятие изотермической поверхности. Могут ли две изотермические поверхности пересекаться? Какое направление называется нормалью к изотермической поверхности? Сравните между собой градиенты температуры по нормали и по любому другому направлению к изотермической поверхности.

Изотермическая поверхность — поверхность равных температур.

Свойства изотермических поверхностей:

• а) изотермические поверхности не пересекаются;
• б) в нестационарных процессах изотермические поверхности перемещаются в пространстве.

Температурный градиент есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по нормали. За положительное направление градиента принимается направление возрастания температур.

В учебнике [2, рис. 2.24, с.59] показано температурное поле пластины с внутренним тепловыделением при симметричных условиях охлаждения (б, t_{ж ). Покажите график изменения температуры по толщине пластины для условия: б1 > б2 , tж1 = tж2}

Так как граничные условия с обеих сторон пластины одинаковы, то температурное поле в пластине будет симметрично относительно плоскости х = 0.

Если будут заданные разные граничные условия с двух сторон пластины, то температурное поле в пластине будет не симметрично относительно плоскости х = 0.

Ниже перечислены величины, влияющие на коэффициенты теплоотдачи:

л [Вт/мК],? [м], ?t=t c — t ж [^oC], g [м/с²], в [1/К], v [м² /с], а [м² /c],

с [Дж/кгК], с [кг/м3 ], w [м/с].

Укажите величины, влияющие на теплоотдачу при естественной конвекции.

Коэффициент теплоотдачи при естественной конвекции:

б = Nu*л/l,.

Nuкритерий Нуссельта;

л — коэффициент теплопроводности;

l — характерный размер.

Nu = A*(Gr*Pr)^c,.

A u c — коэффициенты, зависящие от режима движения жидкости;

Grкритерий Грасгофа;

Pr — критерий Прандтля.

Gr = g*s³*в*?t/н²,.

Pr = н/a;

н — коэффициент кинематической вязкости жидкости;

?t = t_с — t_ж — температурный напор;

в = 1/Т_ж — температурный коэффициент;

g — ускорение свободного падения;

a — коэффициент температуропроводности.

Получаем, что на теплоотдачу при свободной конвекции оказывают влияние следующие величины: л [Вт/мК],? [м], ?t=t c — t ж [^oC], g [м/с²], в [1/К], v [м² /с], а [м² /c].

• 1. Исаченко В. П. Теплопередача: учеб. пособие / В. П Исаченко. В. А. Осипова, А. С. Сукомел. — М.: Энергоиздат, 1981.
• 2. Краснощёков Краснощёков Е. А., Сукомел А. С. Задачник по теплопередаче. — М.:Энергия, 1980.
• 3. Панкратов Г. В. Сборник задач по теплотехнике. — М.: Высшая школа, 1986.