Оптимизационная задача — это математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.
В самом общем виде задача линейного программирования математически записывается следующим образом:
где X = (x1, x2, …, xn); W — область допустимых значений переменных x1, x2, …, xn ;f (Х) — целевая функция.
Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т. е. указать такое, что при любом .
Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешимой, если целевая функция f (Х) не ограничена сверху на допустимом множестве W.
Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f (Х), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.
Оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому критерию, определяемому соответствующей целевой функцией.
Например, в ряде задач проектирования существует необходимость определить значения параметров (их называют переменными оптимизационной задачи), которые доставляют максимум или минимум некоторому функционалу (или целевой функции), зависящему от этих параметров. Если на значения этих параметров не накладываются какие-либо ограничения (например, требование положительности), то приходим к задаче безусловной оптимизации (или оптимизации без ограничений). Если заданы ограничения, определяющие допустимые значения параметров, то приходим к задаче условной оптимизации (оптимизации с ограничениями). Вторая задача отличается от первой тем, что решение находится только среди допустимых значений, или на допустимом множестве параметров.
Все множество оптимизационных задач можно разделить на задачи линейного и нелинейного программирования. Если целевая функции и функции ограничения линейны, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций не линейна, то рассматриваемая задача является задачей нелинейного программирования. линейный программирование целевой множество.
