К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт»
Для расчета основания предлагается метод полуплоскостей: как при определении полей от поверхностного источника, так и при нахождении фундаментальных решений для сосредоточенного источника с целью реализации МГЭ. Метод обладает высокой эффективностью, так как позволяет разделить волновые поля по их отражению от различных границ слоистой структуры, в том числе при анализе плотности потока энергии… Читать ещё >
К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт» (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
При реализации методов расчета поведения поверхностных строительных объектов на основе совместного использования методов конечных (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ) [1] важными вопросами являются построение эффективных схем расчета элементов напряженно-деформированного состояния полуограниченных структур, относящихся к многослойному основанию, и согласование методов в области их сопряжения.
1. Для расчета основания предлагается метод полуплоскостей: как при определении полей от поверхностного источника, так и при нахождении фундаментальных решений для сосредоточенного источника с целью реализации МГЭ. Метод обладает высокой эффективностью, так как позволяет разделить волновые поля по их отражению от различных границ слоистой структуры, в том числе при анализе плотности потока энергии упругих колебаний.
Проиллюстрируем отмеченное на примере задачи плоской деформации многослойного полупространства.
Пусть область, занимаемая средой, представляет собойслойное упругое полупространство:, описываемое в декартовой системе координат как (рис. 1):
Рис. 1 — Область в декартовой системе координат
— полупространство;
— j-й слой (j=2,…, N) толщины .
Упругие свойства сред в описываются плотностью и коэффициентами Ламе или соответственно модулем упругости и коэффициентом Пуассона :
.
На поверхности среды в области задана система распределенных усилий:
.
В случае однородной полуплоскости с применением преобразования Фурье по переменной.
для функций перемещений точек данной области получим интегральные представления:
.(1).
Элементы матрицы имеют вид ():
.
.
, ,.
Аналогично для вектора напряжений на линиях, найдем, что.
(2).
.
.
Рис. 2 — Контур интегрирования
Контур интегрирования в представлениях (1), (2) определяется применением принципа предельного поглощения [2]: при отсутствии диссипации энергии в среде обходит положительный корень уравнения Рэлея: — снизу, отрицательный — сверху, а на остальной части совпадает с вещественной осью, как показано на рис. 2.
При наличии малой диссипации энергии в среде интегрирование можно проводить непосредственно по вещественной оси.
Решение для одного слоя при заданных на его гранях векторах напряжений:
.
строится способом суперпозиции решений для двух полуплоскостей.
Пусть в локальной системе координат дляго слоя: амплитудные функции перемещений имеют вид:
.
Функции, удовлетворяющие уравнениям движения, согласно предлагаемому методу будем разыскивать в виде суммы решений для полупространств :
.(3).
Рис. 3.
Здесь слагаемые в (3) являются решениями уравнений Ламе для однородной полуплоскости с удовлетворением граничных условий:
.
Вектор перемещений, представим через трансформанты вектора напряжений в виде:
.(4).
Здесь функции получены из заменой упругих параметров полуплоскости на параметрыго слоя.
Аналогично формуле (4) определяются перемещения для полуплоскости через функции, где для элементов справедливы соотношения:
.
— символ Кронекера. Определяя напряженное состояние слоя в виде суммы решений для двух полуплоскостей, получим:
(5).
где имеют вид (2).
Для второй группы слагаемых найдем:
.
При рассмотрении далее общей краевой задачи дляслойной полуплоскости используются граничные условия и условия сцепления слоев между собой и подстилающей полуплоскостью, что в пространстве преобразований Фурье по переменной приводит к системе ЛАУ относительно неизвестных функций напряжений,; .
По найденным компонентам напряжений на гранях слоя можно восстановить осредненный за период колебаний поток энергии, проходящий через границы раздела сред :
. (6).
Здесь, при введении малой диссипации в слоях конструкции в качестве контура выбиралась вещественная ось.
Подставляя далее выражения (3), (5) в преобразованном по Фурье виде в соотношение (6), получим:
.
где имеют смысл плотности потока энергии излучаемых и отраженных волн от плоской поверхности .
1. Важным моментом при численной реализации совместного использования методов конечных и граничных элементов для системы «сооружение-грунт» является выбор системы аппроксимирующих функций, а также применение формул численного интегрирования на элементах.
Стыковка МКЭ и МГЭ предполагает равенство векторов узловых перемещений и усилий в области контакта фундамента здания или сооружения и окружающего грунтового массива и не требует согласования данных характеристик вне узлов. Отсюда выбор закона полиномиального распределения перемещений в области контакта может быть независимым для каждого из методов (безусловно, предпочтительнее выбирать аппроксимирующие функции одной и той же степени).
Не ограничивая общности, можно считать, что область контакта является плоской с введением локальной системы координат. Соответствующая система узлов определяется разбиением конечной части системы «сооружение-грунт» в методе конечного элемента и выбором типа конечного элемента.
Рис. 4.
Так для восьмиузловых твердотельных элементов (рис. 4) область разбивается на четырехугольные граничные элементы (IJKL). При использовании опции элементов: призма или тетраэдр, граничные элементы имеют форму треугольников (IJK). Таким образом, наиболее общей формой граничных элементов для применения МГЭ является треугольная. К этому же приводит разбиение области контакта неплоской формы путем триангуляции соответствующей поверхности в пространстве.
Таким образом, считаем, что область разбита сетью граничных треугольных элементов с узлами В каждом узле вектор перемещений имеет значение, .
Рис. 5.
Применим на элементе линейную аппроксимацию:
(7).
Константы определяются из условий , — символ Кронекера. В результате получим:
(8).
.
.
.
Следует отметить, что линейная интерполяция неизвестной функции на каждом элементе не нарушает условия непрерывности поля перемещений в целом на границе. Это следует из условий равенства полного набора констант аппроксимации для области (, где — число граничных элементов модели) и суммы числа условий непрерывности перемещений в узлах для смежных элементов и числа самих узлов как точек коллокации для определения неизвестных перемещений в них.
При использовании аппроксимаций более высокого порядка, например квадратичной (лагранжевы элементы), условия согласования перемещений в узлах и их корректное определение требуют введения дополнительных узлов по центру сторон треугольников. Это в свою очередь приводит к необходимости использования в сопрягаемом МКЭ 10-узловых пирамидальных элементов (рис. 6), что увеличивает порядок системы линейных уравнений метода конечных элементов и сложности стыковки с МГЭ. Получаемое же увеличение точности решения легко можно компенсировать уменьшением сетки разбиения при использовании линейной интерполяции на элементах.
Рис. 6.
Решение граничного интегрального уравнения требует также аппроксимации в области вектора напряжений:
.
где — тензор напряжений Коши, — нормаль к области. Исходя из требования сохранения количества узлов сопрягаемых сеток граничных и конечных элементов, для вектора напряжений необходимо применять интерполирующие функции того же порядка, что и для вектора перемещений.
Форма сопряжения МГЭ и МКЭ по напряжениям в узловых точках в этом случае может иметь следующий вид:
.
здесь — узловое усилие вм узле МКЭ;
— значение вектора напряжений вм узле МГЭ;
— множество граничных элементов, сопряженных см узлом;
— площадь элемента с номером (рис. 5), ;
— количество узлов граничного элемента (в случае линейной интерполяции, для квадратичной —).
При использовании метода граничных элементов необходимым элементом является интегрирование по двумерной области с разбиением на треугольные элементы:
.
где подынтегральная функция может иметь интегрируемую особенность степенного или логарифмического характера в точках, совпадающих с узлами аппроксимации (вершинами треугольника или серединами его сторон). В этом случае одним из способов интегрирования, показавшим существенную эффективность, является использование квадратурных формул с узлами внутри треугольной области.
Отобразим треугольник (рис. 5):, на равносторонний треугольник в системе координат (рис.7) с использованием линейного преобразования:
.
деформация многослойный полупространство интегрирование.
Рис. 7.
Несложно получить, что.
.
В результате имеем:
.
— якобиан перехода к системе координат .
Для вычисления двойного интеграла по треугольнику воспользуемся 7-узловой квадратурной формулой:
.
где весовые коэффициенты и узлы приведены в таблице 1.
Таблица 1.
i. | ||||
270/1200. | ||||
Данная формула имеет 6 порядок точности:
[3].
- 1. Кадомцев, М. И. Исследование динамики заглубленных фундаментов методами граничных и конечных элементов / Кадомцев, М.И., Ляпин, А.А., Селезнев, М.Г. // Строительная механика и расчет сооружений. — 2010. — № 3. — С.61−64.
- 2. Бабешко, В. А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред / Бабешко, В.А., Глушков, Е.В., Зинченко, Ж.З./ - М.: Наука; Главная редакция физико-математической литературы. 1989. — 343 с.
- 3. Справочник по специальным функциям /Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган/ -М.: Наука, 1979. -832 с