Численная модель гексагонального течения на северном полюсе Сатурна

В работе [27] система уравнений (19−20) решалась численно методом установления в прямоугольной области. Все величины в уравнениях (19) приводились к безразмерному виду. В качестве масштаба скорости используется произведение, где — выбранный нами масштаб моделирования, который охватывает струю гексагонального течения и некоторую часть внешнего течения, — угловая скорость вращения Сатурна в северных широтах [5].

Для обеспечения необходимых свойств формирования гексагональной струи, система уравнений (19) замещалась системой:

(20).

Здесь — параметры. В качестве начальных данных использовались нулевые данные:

(21).

В качестве граничных условий на нижней границе использовались нулевые граничные условия (21), а на верхней границе и на боковых стенках использовалось точное решение для плоского геострофического течения.

(22).

Здесь, параметры модели подбираются из условия согласования с экспериментальными данными, — время установления, которое везде ниже принято за единицу, .

В области взаимодействия геострофического течения с турбулентным пограничным слоем в качестве граничных условий на верхней границе и на боковых стенках использовался модельный профиль, описывающий сдвиговое течение:

(23).

Параметры завихренности и угловая скорость вращения Сатурна составляют по данным [5].

(24).

Задавая параметры модели и профиля (24) можно получить гексагональные паттерны в турбулентном пограничном слое [27]. Далее будем моделировать геострофическое течение согласно (22), как комбинацию нулевой и шестой гармоник с параметрами.

Отметим, что параметры (25) отличаются от соответствующих данных, приведенных в [27] значением коэффициента, который в настоящей работе выбран вполовину меньше. Для оптимизации профиля с существующим в северных широтах Сатурна профилем течения [5] вместо функции Бесселя в выражении (22) использовалась функция .

Изолинии безразмерной азимутальной скорости (слева) и лини тока (справа) гексагонального течения в сечении, где достигается максимальная скорость струи. Для получения размерных величин данные безразмерной скорости следует умножить на выбранный масштаб .

При распространении вглубь пограничного слоя скорость течения возрастает и достигает максимального значения около 180 м/с. Отметим, что гексагональное течение при визуализации по модулю скорости выглядит как отвесная стена, высотой около 100 км [27]. Было установлено [5], что вокруг северного полюса существует циклоническое течение, скорость которого превосходит скорость в гексагональной струе. Действительно, данные на рис. 2 показывают, что азимутальная скорость достигает максимального значения в области и спадает на периферии.

Отметим, что линии тока указывают на наличие вихрей, распределенных по сторонам шестиугольника, что качественно согласуется с лабораторной моделью гексагонального течения [3]. С другой стороны, картина распределения модуля скорости качественно соответствует аналогичному распределению, полученному в модели [4].

Возбуждение шестой гармоники является естественным откликом при деформации симметричного сдвигового геострофического течения, взаимодействующего с планетарным пограничным слоем. Дальнейшее развитие течения ведет к образованию гексагональной струи с высокой скоростью в пограничном слое — рис. 2, которая, тем не менее, является малой величиной в сравнении с основным масштабом скорости .

Следовательно, наблюдаемое течение в гексагональной струе можно рассматривать как малое возмущение основного течения [2]. Отсюда следует, что волновые числа, фигурирующие в выражении функции тока (22) должны соответствовать стоячим волнам, что использовано для нахождения этих параметров при формировании данных (25).

Выбранный масштаб моделирования толщины планетарного пограничного слоя в безразмерных единицах составляет 0.006, что соответствует 217.5 км, а максимум скорости струи приходится на высоту 0.003, что соответствует 108.75 км.

Таким образом, мы установили механизм образования гексагонального течения на северном полюсе Сатурна, который заключается в усилении слабого геострофического течения в турбулентном планетарном пограничном слое.