Структура атома и элементарных частиц в 112D

Выше мы рассмотрели только случай пятимерного пространства и динамику скалярного поля в 5D. Однако развитая в [11, 16−18] теория атома и атомного ядра в 5D легко обобщается на случай произвольного числа измерений. Действительно, уравнение (26) является универсальным, а метрику (27) можно рассматривать как часть метрики, определенной в 112D. Без ограничения общности можно считать, что дополнительные измерения вносят свой вклад аналогично пятому измерению, имеем.

(47).

Здесь матрица определяется на основе разложения метрического тензора в окрестности центра гравитации [11] по степеням расстояния до источника,, следовательно.

(48).

В работе [11] было показано, что достаточно будет удержать три слагаемых в правой части (48). Путем обращения тензора (48) находим обратный тензор, определитель и соответствующие выражения коэффициентов уравнения (47). Отметим зависимость решений уравнения (47) от большого числа параметров, описывающих особенности метрики и движение в каждом измерении.

В общем случае в 112D для симметричного метрического тензора типа (48) имеем 18 648 параметров. Для сравнения укажем, что для описания свойств элементарных частиц, нуклидов и химических элементов на сегодняшний день требуется около 150 290 параметров [15]. Если предположить, что часть параметров соответствует квантовым числам, то решение задачи на собственные значения для уравнения (48) должно содержать 8−9 квантовых чисел.

Но выражение (38) уже содержит 8 квантовых чисел —. Следовательно, расширение числа измерений до 112 в уравнении (47) качественно не меняет зависимость энергии связи нуклонов и электронов от квантовых чисел задачи — уравнения (37)-(45), однако количество квантовых чисел может увеличиться. Такое расширение числа параметров позволяет, например, рассмотреть задачу о симметрии электронных и ядерных оболочек [19−20].

Отметим, что метрики типа (5) или (9) позволяют описывать взаимодействие между мирами, которые объединяет наличие общего движения. Представление Римана об атомах, как о своеобразных порталах соединяющих два мира — осязаемый и неосязаемый [5−6], получило развитие в известной модели элементарных частиц [31]. Если таких миров больше двух, тогда порталы должны иметь сложную структуру, что подтверждается современными данными о строении нуклонов.

В стандартной модели [2−3] предполагается наличие трех поколений фермионов — кварков и лептонов. С точки зрения обсуждаемой модели эти поколения частиц представляют собой порталы, соединяющие наш мир с другими мирами. Динамика частиц в стандартной модели отображается в четырехмерном пространстве-времени на основе единого для всей системы лагранжиана [32]. В результате применения вариационного принципа приходим к системе нелинейных уравнений в частных производных, исследование которых до сих пор не завершено [2−3].

С другой стороны, в метрике (5) всякое движение представляется как единое движение на гиперсфере [14, 21−22, 29, 33]. Используя линейное уравнение (26), можно построит волновую механику в многомерном пространстве, а затем отобразить на четырехмерное пространство-время аналогично тому, как это было сделано в случае пяти измерений [11, 16−18].

Для моделирования радиального движения можно использовать как стандартные выражения (24)-(25), так и более общие выражения [29], основанные на интегрировании уравнения (6). Для этого рассмотрим статические решения уравнения (6), полагая, находим.

(49).

Интегрируя уравнение (49), получим.

(50).

Здесь С — произвольная постоянная. Нас интересуют периодические решение уравнения (50), зависящие от функции Вейерштрасса, для нахождения которых следует положить [29].

(51).

Тогда решение уравнения (50) при имеет вид.

(52).

Здесь обозначено: — инварианты функции Вейерштрасса, — константа, связанная с выбором начала координат. Отметим, что аналогичная метрика, зависящая от функции Вейерштрасса, была получена в работе [33], как решение уравнений Янга-Миллса. Метрики типа [33] и (5), (51), (52) использовались в наших работах [19−20, 29, 34−37] и других для моделирования структуры адронов, барионов и атомных ядер.

Вычисляя определитель метрического тензора в метрике (5), находим.

(53).

Соответственно уравнение (26) в метрике (5) принимает вид.

(54).

Здесь — оператор Лапласа, определенный на гиперсфере.

(55).

Положим — собственные значения оператора, зависящие от квантовых чисел. Решение уравнения (54) можно представить в виде.

(56).

Здесь — собственные функции оператора такие, что.

Подставляя выражение (56) в уравнение (54) и разделяя переменные, находим окончательно.

(57).

Уравнение (57) можно упростить, полагая, тогда имеем.

(58).

На рис. 1−2 приведены потенциалы и радиальная часть волновой функции в частном случае метрики, зависящей от функции Вейерштрасса в виде (51), (52) для основного и возбужденного состояний. Из данных приведенных на рис. 1−2 следует, что волновая функция является периодической как в основном, так и в возбужденных состояниях. Период волновой функции зависит от энергии системы, от углового момента и от инвариантов функции Вейерштрасса. Отметим, что в основном состоянии волновая функция может быть определена на всей оси радиальной координаты — рис. 1, тогда как в возбужденных состояниях волновая функция определена в ограниченном интервале, совпадающем с периодом потенциальной функции — рис. 2.

Эти результаты можно сравнить с аналогичными результатами, полученными в теории атома Эйнштейна [38], в которой был выведен спектр атома водорода, и с пятимерной теорий гравитации и электромагнитного поля [16−18], в которой было получено уравнение Зоммерфельда-Дирака в форме (45).

Рис. 1. Потенциал и волновая функция в основном состоянии: в верхней части рисунков указан лист параметров .

Отметим, что метрика, зависящая от эллиптической функции Вейерштрасса, была получена в теории Янга-Миллса [33] и использована нами для моделирования структуры адронов, кварков и лептонов [34−37]. Тот факт, что аналогичная метрика (51)-(52) существует и в общей теории относительности в многомерных пространствах, является указанием на тесную связь теории Эйнштейна с теорией Янга-Миллса [39−40]. С точки зрения развиваемой здесь теории наличие периодических потенциалов, обусловленных только метрикой пространства-времени, свидетельствует не только о возможности создания единой модели атома и атомного ядра, но и о возможности развития новых технологий, связанных с использованием ресурса дополнительных измерений пространства.

Рис. 2. Потенциал и волновая функция в возбужденных состояниях: в верхней части рисунков указан лист параметров .

Есть все основания полагать, что уравнение (26) с метрикой (5), (51), (52) описывает фундаментальную структуру материи. Однако рассмотрение этих вопросов выходит за рамки настоящей работы.