Фононы и квазичастицы

В соответствии с гипотезой де Бройля, подтвержденной опытными фактами, с каждой бегущей монохроматической волной связаны энергия и импульс, определяемые соотношениями.

?=hщ, р= h?, (1).

Введенными по аналогии с теорией фотонов. Волна, несущая энергию импульс, определяемые формулами (1), в каком-то отношении ведет себя как частица. Частица, уподобляемая звуковой волне в вышеуказанном смысле, называется фононом. Фонон несет энергию и импульс, связанные с частотой волны щ и волновым вектором ? посредством постоянной Планка h.

Строго определенные значения величины щ и ? имеют только в случае неограниченных плоских волн. Реальное же существование имеют только пространственно ограниченные волны. Реальным образом фонона является не бесконечная, а ограниченная волна, например волновой пакет.

Гипотеза фононов согласуется, например, с существованием звукового давления. Рассмотрим ради простоты изотропную сплошную среду (изотропное твердое тело, жидкость, газ), в которой распространяется монохроматическая плоская продольная звуковая волна, нормально падающая на плоскую границу твердого тела и поглощаемая им. Такая волна ежесекундно передает единице поверхности твердого тела импульс cNh?, где c-скорость звука, а N— число фононов в единице объема среды. Этот импульс и есть давление P, оказываемое звуком на тело. Поскольку сплошная среда недиспергирующая, скорость звука в ней с совпадает с фазовой скоростью щ/?. Поэтому

Р=е, (2).

где е=Nhщ-объемная плотность звуковой энергии, падающей на тело. Формула (2) справедлива и в общем случае нормального падения волны при наличии отражения и прохождения. Только в этом случае плотность энергии дается выражением е=(1+r) Nhщ, где rкоэффициент отражения. Полученные результаты согласуются с опытом и с тем, что дает классическая гидродинамика.

В изотропных твердых сплошных телах могут возбуждаться фононы двух типов — продольные и поперечные. В кристаллах, помимо продольных и поперечных, могут возбуждаться и другие фононы, соответствующие различным частотам и типам поляризации колебаний. (Как правило, в кристаллах «продольные» и «поперечные» волны не являются строго продольными и строго поперечными.) Для всех таких фононов справедливы соотношения (1). Только в этих случаях частота колебаний щ связана с волновым вектором ? не обязательно линейной однородной зависимостью, как было при отсутствии дисперсии, а зависимостью более сложного вида щ= щ (?). Такого рода зависимости называются дисперсионными соотношениями.

Волновой вектор ? волны в кристаллической решетке определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, равного вектору обратной решетки. В соответствии с этим и вектор р= h? определен также неоднозначно. Но можно устранить эту неоднозначность, если ограничить область изменения ? основной зоной Бриллюэна, что мы и будем делать. Так однозначно определенный вектор р называется квазиимпульсом фонона. Самый фонон, поскольку ему свойственны признаки частицы, называется квазичастицей, о чем уже было сказано раньше. Такой термин вводится, чтобы подчеркнуть, что квазичастица не является «настоящей» частицей.

В идеальной кристаллической решетке, свободной от посторонних примесей и лишенной различных дефектов (примесные атомы, атомы в междоузлиях, незаполненные узлы), плоская звуковая волна в линейном приближении должна распространяться без затухания и рассеяния в стороны. Линейное приближение означает, что разложение потенциальной энергии кристалла по степеням смещений атомов из положений равновесия обрывается на членах второй степени. Тогда возникают волны с гармоническими колебаниями атомов, или фононы, не взаимодействующие друг с другом. При наличии членов высших степеней, если они достаточно малы (а это, как правило, имеет место всегда, пока решетка не разрушена, т. е. вплоть до температуры плавления), также можно говорить о распространении плоских волн, или фононов, в кристалле. Однако в этом случае наступает взаимодействие различных волн (фононов). Поскольку энергия и импульс фононов квантуются, такое взаимодействие носит характер столкновений, в которых происходит уничтожение старых и рождение новых фононов. Наличие в потенциальной энергии членов третьей степени приводит к столкновениям, в которых одновременно участвуют три фонона. При наличии членов четвертой степени появляются столкновения четырех фононов и т. д.

Фононы и вообще квазичастицы хорошо приспособлены для описания слабых коллективных возбуждений в телах. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, и если «длина свободного пробега» его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ. При этом число фононов не сохраняется, что дает основание рассматривать их как бозе-частицы (бозоны). фонон квазичастица энергия изотропный На рис. 101 графически изображены примеры возможных взаимодействий фононов. Фононы изображены стрелками, а факты их взаимодействия — кружками.

Рис. 1 а) соответствует распаду фонона ?, щ на два фонона, и,. Рис. 1 б) изображает столкновение фононов, и, , в результате которого возникает один фонон ?, щ. На рис. 1 в) изображено столкновение двух фононов, и, , завершающееся возникновением двух новых фононов, и, .

При взаимодействии фононов соблюдается закон сохранения энергии. В случае процесса, изображенного на рисунке а), он записывается в виде.

hщ=+ (3).

и аналогично в других случаях. Однако закон сохранения квазиимпульса может и не соблюдаться. Причиной этого является неоднозначность волнового вектора ?, отмеченная выше. Действительно, разложим, например, вектор ? на два вектора: ? = + (рис.2).

Вектор ? предполагается лежащим в основной зоне Бриллюэна, так что при нашем ограничении h? является квазиимпульсом. Но предположим, что составляющие векторы и (или по крайней мере один из них) настолько длинны, что они не умещаются в основной зоне Бриллюэна. Тогда, при нашем ограничении, векторы и h не будут квазиимпульсами. Квазиимпульсы и получаются из них путем прибавления векторов вида 2рnК, где К — вектор обратной решетки, а n= 0, ±1…Например, для процесса, соответствующего рис. 1, а), следует писать.

h?+2рК (4).

Если n=0, то в процессе взаимодействия фононов квазиимпульс сохраняется. Такие процессы называются нормальными. Если же n?0, то соответствующие процессы называются процессами переброса. Существование процессов переброса лишний раз оправдывает введение терминов «квазичастица» и «квазиимпульс» вместо простых терминов «частица» и «импульс».

Конечно, соотношения вида (3) и (4) справедливы не только при взаимодействии фононов между собой, но и при взаимодействии их с другими частицами и квазичастицами, например с фотонами. При переводе на классический язык эти соотношения выражают законы интерференции волн, принцип Допплера и вообще законы изменения частоты волн при различных процессах. Вот почему комбинационное рассеяние света, рассеяние Мандельштама — Бриллюэна, эффект Вавилова — Черенкова, изменение частоты света при распространении в гравитационном поле и другие явления могут быть истолкованы как с волновой точки зрения, так и с помощью представления о квазичастицах.

Воспользуемся теперь представлением о фононах для рассмотрения теплопроводности твердых тел. Мы имеем в виду диэлектрики, а не металлы. В диэлектриках перенос тепла осуществляется фононами, тогда как в металлах основную роль в этом процессе играют электроны. Само понятие теплопроводности относится к локально равновесному состоянию неподвижного тела, каждой точке которого можно приписать определенную температуру. Чтобы получить полностью равновесное состояние тела, можно, например, заключить его в жесткую оболочку, поддерживаемую при постоянной температуре. Тогда в результате теплового возбуждения фононов, их поглощения и рассеяния на других фононах, на примесях и дефектах решетки, на границах тела и окружающей оболочки, в конце концов установится полностью термодинамически равновесное состояние тела, однозначно определяемое только температурой оболочки.

Будем сначала предполагать, что кристалл идеальный, т. е. не содержит примесей, а кристаллическая решетка лишена всех дефектов. Совокупность фононов в теле будем рассматривать как фононний газ и воспользуемся для его теплопроводности формулой.

=1/3*ЫСл (5).

которую дает элементарная теория газов. Здесь С — теплоемкость единицы объема тела (в прежних обозначениях С = nm), Ы — средняя скорость фонона в теле, л — средняя длина свободного пробега фонона.

Из приведенных рассуждений следует, что теплопроводность идеального кристалла может быть связана только с такими столкновениями фотонов, которые сопровождаются процессами переброса, так как при этих столкновениях не соблюдается закон сохранения квазиимпульса. Значит, только эти столкновения и должны быть приняты во внимание при вычислении средней длины свободного пробега фонона, входящей в формулу (5).

Вблизи абсолютного нуля температур, когда тепловых фононов практически нет, средняя длина свободного пробега фонона ограничивается размерами кристалла. Здесь дело обстоит аналогично тому, что имеет место в случае ультраразреженных газов, когда длина свободного пробега молекулы велика по сравнению с размерами сосуда, в котором заключен газ. Полагая в формуле (5) л = l, где l — размеры кристалла, мы получим величину, которая будет характеризовать не только внутренние свойства кристалла, но будет зависеть и от его размеров. При низких температурах скорость Ы практически постоянна, а теплоемкость по теории Дебая пропорциональна, поэтому и теплопроводность кристалла будет также пропорциональна .

При повышении температуры влияние размеров кристалла отойдет на второй план. Определяющими будут столкновения между фононами, сопровождающиеся процессами переброса. За счет этого, а также за счет увеличения теплоемкости произойдет и быстрое увеличение теплопроводности. В этой области температур величина л, а с ней и теплопроводность х кристалла уже перестают зависеть от размеров кристалла, а становятся только его внутренними свойствами. В области высоких температур можно ожидать зависимости ~ 1 /Т. Действительно, в этой области справедлив классический закон равномерного распределения кинетической энергии по степеням свободы, в силу которого энергии всех фононов становятся одинаковыми (не зависящими от частоты щ). Поэтому плотность фононов N пропорциональна плотности энергии, т. е. Т, а теплоемкость С достигает классического предела, который не зависит от Т. Поэтому средняя длина свободного пробега фонона л ~ 1/N, а с ней и теплопроводность х становятся пропорциональными 1/Т.