Методы решения задачи многокритериальной оптимизации

Для того, чтобы получить полную характеристику достоинств и недостатков объекта, необходимо внести в рассмотрение больше критериев качества. Задачи проектирования сложных систем всегда многокритериальные, так как при выборе наилучшего варианта приходится учитывать большое количество различных требований, предъявленных к системе.

На первый взгляд, задача со многими критериями решения не имеет, но это не так — всегда есть возможность одновременного удовлетворения всех заданных условий. А так, как практически любая подобная ситуация допускает разные компромиссные разрешения, то и подходы к их поиску многочисленны и весьма разнообразны.

Существует несколько методов решений задач многокритериальных задач, такие как метод последовательных уступок, метод идеальной точки, метод свертывания и другие. Остановимся и подробно рассмотрим такой подход к решению, как метод последовательных уступок. Далее подробно рассмотрим данный метод решения задач МО.

Метод последовательных уступок

Метод последовательных уступок решения многокритериальных задач применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывающей важности. Предположим, что все критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Сначала определяется максимальное значение, первого по важности критерия в области допустимых решений, решив задачу, при .

Затем назначается, исходя из практических соображений и принятой точности, величина допустимого отклонения (уступка) критерия и отыскивается максимальное значение критерия при условии, что значение первого должно отклоняться от максимального не более чем на величину допустимой уступки, то есть решается задача:

Снова назначается величина уступки по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного экстремума третьего частного критерия и т. д. Наконец, выявляется экстремальное значение последнего по важности критерия при условии, что значение каждого из первых частных критериев отличается от экстремального не более, чем на величину допустимой уступки. Получаемое на последнем этапе решение считается оптимальным.

Пример решения задачи Рассмотрим пример, математическая модель трехкритериальной задачи имеет вид:

Уступка по первому критерию, а по второму .

Найти оптимальное решение задачи. Приступим к решению.

Рассмотрим первую целевую функцию F1, найдем решение, воспользовавшись любым методом решения ЗЛП. Определим максимальное значение целевой функции F1 при данных условиях-ограничений.

Оптимальный план такой:

Итак, мы максимизировали первую целевую функцию.

Далее переходим к решению задачи при ограничениях задачи, к которым добавлено новое ограничение. При: и получаем:

Выполним минимизацию функции F2 .

Оптимальный план:

Наконец найдем решение для третьей целевой функции при ограничениях задачи, к которым добавлено ещё одно ограничение, где. Так, как вторая функция минимизируется, то ее значение не должно превышать .

Получаем следующие ограничения:

Найдем оптимальное решение для целевой функции F3. Полученный оптимальный план для F3:

Результат решения всей задачи таков:

При этом все условия задачи выполнены.