Математическое описание асинхронного генератора с разветвленной статорной обмоткой

В сельскохозяйственном производстве все более широкое применение находят мобильные автономные электроустановки с бензогенераторами в качестве источников питания электроприемников. Такие генераторы могут быть асинхронными с разветвленной статорной обмоткой для создания благоприятных условий возбуждения от конденсаторов повышенного напряжения и обеспечения потребителей электроэнергией повышенного качества.

При исследовании таких генераторов большое значение придается математическим методам, имеющим более широкие возможности исследования электромагнитных и электромеханических процессов, чем экспериментальные, в частности, при исследовании аномальных режимов работы.

В статье приведены результаты математического описания асинхронного генератора (АГ) [1], на статоре которого (рис. 1) размещена обмотка, выполненная из девяти секционных групп разного расположения в пространстве машины (рис.2). Все секции обмотки одинаковые. При этом обмотки 1−6 имеют по две катушечные группы из трех секций, обмотки 7, 8 и 9 имеют по две катушечные группы из двух секций, т. е. имеют число витков, составляющее 2/3 от числа витков обмоток 1−6. Секционные группы имеют симметричное трехфазное расположение в пазах статора, т. е. обмотки 1, 2 и 3 составляют трехфазную обмотку, обмотки 2, 4 и 6, а также 7, 8 и 9 составляют две другие трехфазные обмотки. Ротор традиционный, с короткозамкнутой обмоткой.

Рисунок 1 — Схема соединения обмоток генератора.

Приведенная схема позволяет использовать конденсаторы возбуждения при более высоком напряжении, чем на нагрузке, и уменьшить их габариты и вес. Такие генераторы могут найти применение в качестве источников питания в некоторых электроустановках АПК и других областях.

Теоретические основы для математического описания электрических машин с несколькими трехфазными обмотками, смещенными в пространстве машины, в подробном изложении приведены в [2]. При описании машины сделаны допущения об идентичности конструкции секций статорных обмоток, из чего следует равенство их активных сопротивлений и собственных индуктивностей. Рассматривается только первая (основная) гармоника ЭДС, токов и распределения МДС вдоль воздушного зазора. Воздушный зазор генератора принимается равномерным и гладким.

Рисунок 2 — Схема расположения секций обмотки статора Уравнения напряжений u_i статорных обмоток 1−9 целесообразно представить в виде:

(1).

где r_i — активное сопротивление j-той обмотки; i_j — ток соответствующей обмотки (мгновенное значение); ш_j — потокосцепление j-ой обмотки; d/dt — знак производной (дифференциал). При этом, вследствие вышеприведенных особенностей обмоток, r₁ = r₂ =…= r₆, r₇ = r₈ = r₉ = 2/3r₁.

Отметим, что вторые слагаемые правой части уравнений (1) являются ЭДС этих обмоток и в нормальных режимах работы генератора количественно преобладают над первыми слагаемыми.

В матричной форме эти уравнения записываются в виде обобщенного уравнения асинхронный генератор статор обмотка.

(2).

где [k (k = u, i, ш)] = colon kj (j = 1,…, 9); р = d/dt — знак дифференциала.

Для двухфазной ортогональной обмотки уравнения напряжений ротора имеют вид:

• 0 = r_yi_yd + pш_yd;
• 0 = r_yi_yq + pш_yq,(3)

где r_y — активное сопротивление обмотки ротора по осям d и q; ш_yd, ш_yq — потокосцепления этих обмоток.

Равенство нулю напряжений этих обмоток является следствием их короткозамкнутой конструкции.

Взаимоиндуктивная связь двух обмоток определяется их расположением в машине, т. е. зависит от угла их пространственного взаимного смещения [1,2]. Взаимоиндукция с роторной обмоткой является периодической функцией углового расположения ротора, поскольку при работе генератора ротор вращается с заданной частотой. Обмотка ротора в виде беличьей клетки при математическом описании традиционно замещается трехфазной [1] или двухфазной [2,3] обмоткой с ортогональным расположением по осям d и q фазных обмоток. В работе принят второй вариант, позволяющий уменьшить число переменных и несколько упростить уравнения генератора. Потокосцепления обмоток АГ определяются ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции с другими обмотками. Для отдельных обмоток они имеют вид:

Ш₁ = L₁i₁ + M₁₂i₂ + M₁₃i₃ +…+ M₁₉i₉ + M_1ydi_yd + M_1yqi_yq;

Ш₂ = M₂₁i₁ + L₂i₂ + M₂₃i₃ +…+ M₂₉i₉ + M_2ydi_yd + M_2yqi_yq; (4).

Ш₉ = M₉₁i₁ + M₉₂i₂ + M₉₃i₃ +…+ L₉i₉ + M_9ydi_yd + M_9yqi_yq;

Ш_yd = M_yd1i₁ + M_yd2i₂ + M_yd3i₃ +…+ M_yd9i₉ + L_ydi_yd;

Ш_yq = M_yq1i₁ + M_yq2i₂ + M_yq3i₃ +…+ M_yq9i₉ + L_yqi_yq.

где Li — собственные индуктивности обмоток; Mij — взаимные индуктивности обмоток i и j.

В матричной форме уравнения (4) принимают вид:

(5).

где h (h=ш, i) = colon (h₀₁, h₀₂,…, h₀₉, h_yd, h_yq);

[М] - матрица взаимных индуктивностей, имеющая следующий вид:

.(6).

При принятых допущениях собственные индуктивности обмоток 1−6 (рис. 1) являются равными величинами (L₁ = L₂ =…= L₆ = L). Поскольку собственные индуктивности обмоток пропорциональны квадрату числа витков, собственные индуктивности обмоток 7−9 L₇ = L₈ = L₉ = 0,44L. Собственная индуктивность L включает индуктивности от потока рассеяния l_у и основную индуктивность l_m от основного магнитного потока (в воздушном зазоре).

Взаимные индуктивности пропорциональны произведениям чисел витков взаимоиндуцирующих обмоток. Взаимные индуктивности с симметричными индексами равны между собой (М₁₂ = М₂₁, М₁₃ = М₃₁ и т. д.), при этом в общем случае М₁₂ М₁₃.

Индуктивности и активные сопротивления являются параметрами генератора или коэффициентами уравнений его математического описания. Их значение определяется экспериментально (измерениями) или расчетом. В определенном смысле исключение составляют взаимные индуктивности обмоток статора и ротора, величина которых определяется мгновенным расположением взаимоидуцирующих обмоток, изменяющемся по периодическому закону вследствие вращения ротора.

М_jyd = M_maxcosд, (j= 1,…, 9);

М_jyq = M_maxsinд, (j= 1,…, 9),(7).

где M_max — взаимная индуктивность обмоток j и yd при совпадении их магнитных осей; д — угол, линейно связанный с углом расположения ротора г по отношению к началу координат.

Для вращающегося генератора угол г определяется выражением.

(8).

где г₀ — значение г при t = 0; - угловая частота вращения.

Для равномерно вращающегося генератора г = t + г₀.

При определении угла д учитывается угол смещения магнитных осей обмоток статора в пространстве машины. Угловое смещение обмоток показывает схема статорной обмотки на рис. 2 и составленная по ней табл. 1.

Таблица 1. Угловое расположение обмоток статора.

Приняв индуктивность от поля рассеяния равной 10% от основной индуктивности и выполнив расчеты, получим числовые значения матрицы взаимной индукции:

,(9).

где М — максимальное значение индуктивности по основному потоку обмоток 1−6.

Взаимные индуктивности обмоток статора и ротора, являющиеся периодическими функциями угла их взаимного расположения, имеют следующие значения:

m_1yd = m_m cosг; m_2yd = m_mcos (г+90); m_3yd = m_m cos (г+120);

m_4yd = m_m cos (г+210); m_5yd = m_m cos (г+240); m_6yd = m_m cos (г+330);

m_7yd = m_m cos (г+75); m_8yd = m_m cos (г+195); m_9yd = m_m cos (г+315); (10).

m_1yd = m_m sinг; m_2yd = m_m sin (г+90); m_3yd = m_m sin (г+120);

m_4yd = m_m sin (г+210); m_5yd = m_msin (г+240); m_6yd = m_msin (г+330);

m_7yd = m_msin (г+75); m_8yd = m_msin (г+195); m_9yd = m_msin (г+315),

где значения углов приведены в электрических градусах; m_m -значение взаимной индуктивности при совпадении магнитных осей обмоток (максимальное) по отношению к индукции М, т. е. m_m = M_max/M.

Потокосцепления, токи и напряжения являются изменяемыми (переменными) величинами, определяемыми расчетом при моделировании на основании уравнений равновесия напряжений, уравнений токов и уравнения электромагнитного момента. Уравнения равновесия напряжения электрических контуров статорной обмотки составляются для независимых контуров цепей возбуждения и нагрузки.

Для цепи возбуждения:

(11).

для цепи нагрузки:

u_н1н2 = u₁ + u₂;

u_н2н3 = u₃ + u₄;(12).

u_н3н1 = u₅ + u₆.

Уравнения внешней цепи нагрузки определяются её схемой замещения. Для случая присоединения к генератору симметричной активной нагрузки (нагревательные приборы, осветительные с лампами накаливания и др.), замещаемой резистивными элементами, соединёнными треугольником, эти уравнения имеют вид:

u_н1н2 = R_нi_н1;

u_н2н3 = R_нi_н2;(13).

u_н3н1 = R_нi_н3,

где R_н — сопротивление фазы нагрузки; i_нj — ток в фазе треугольника нагрузки.

Токи в ветвях генератора и нагрузки имеют следующие соотношения:

i_н1 = i₆ — i₁; i_н12 = i₂ — i₃; i_н3 = i₄ — i₅; i_н1 + i_н2 + i_н3 = 0 (14).

Электромагнитный момент генератора М_э определяется всеми возможными комбинациями произведений токов обмоток статора и ротора [3]. Поскольку токи обмоток 7−9 чисто реактивные, они не участвуют в создании электромагнитного момента. В его создании участвуют токи обмоток статора 1−6. Уравнение электромагнитного момента может быть представлено в виде:

.(15).

Уравнение движения рассматриваемой системы имеет традиционный для вращающихся машин вид:

(16).

где М_дв — момент первичного двигателя.

Объединенные в систему, уравнения (1),(4),(9),(14),(15) представляют математическое описание рассматриваемого АГ.

• 1. Богатырев Н. И., Ванурин В. Н., Джанибеков К.А.-А. Электрические машины переменного тока. — Краснодар, изд. КубГАУ, 2011.
• 2. Стрижков И. Г. Электрооборудование технологических комплексов орошаемого земледелия. Дисс. … д-ра техн. наук. — Краснодар, 2001.
• 3. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин. -М.: Высш. шк., 2001.