Подготовка данных для построения нейросетевых моделей при малом количестве экспериментов

Одной из основных проблем при создании нейросетевых моделей для анализа экспериментальных данных и дальнейшего использования при прогнозировании является количество данных, необходимое для обучения и тестирования сети. Малое число примеров может вызвать «переобученность» сети [1−3], когда она хорошо функционирует на примерах обучающей выборки, но плохо — на тестовых примерах, подчиненных тому же статистическому распределению. Считается [4,5], что число наблюдений должно быть в десять раз больше числа связей в сети.

При построении нейронных сетевых моделей для прогнозирования прочностных свойств материалов часто сталкиваются с проблемой недостаточности обучающей выборки [6,7]. Если задача получения большего количества данных при пассивном эксперименте связана в основном с временными затратами, то при активном эксперименте — это еще и большие материальные расходы.

Физико-механические свойства материалов имеют четкую вероятностную природу, начиная с атомно-молекулярного уровня и заканчивая уровнем элемента конструкции. Свойства материала оказываются не только различными в разных точках одного и того же элемента конструкции, но они являются различными и при испытании образцов в лабораторных условиях [8,9]. Для волокнисто-пористых биокомпозитов это объясняется наличием неконтролируемых флуктуаций химического состава материала, его композиционной структурой, случайными изменениями параметров технологических процессов и их неустойчивостью. В силу особенностей структуры ориентация пучков коллагеновых волокон носит случайный характер [6], поэтому отмечают преимущественную ориентацию волокон в одном из направлений (в чепрачной части — вдоль хребтовой линии), что на макро-уровне приводит к проявлению анизотропных свойств. В результате такие физико-механические характеристики, как предел прочности, относительное удлинение при разрыве, неупругая деформация приобретают ярко выраженный стохастический характер.

На предприятиях производства кожи и меха лабораторией технического контроля осуществляется инструментальный контроль физико-механических свойств кожевой ткани выборочно по партии, которые комплектуются по виду исходного сырья и другим параметрам. Прочностные свойства определяются в среднем при разрыве образцов в продольном и поперечном направлении хребтовой линии (сопротивление разрыву, сопротивление разрыву по лицу, предельные удлинения) [10] из стандартных участков кож, взятых случайным образом из партии. Количество данных, полученных за несколько лет измерений обычно достаточно для построения нейросетевой модели, но, так как в плоскости листа материал проявляет ортотропные свойства, для построения поверхности прочности необходимы дополнительные данные по прочностным показателям, как минимум, в направлении 450 к хребтовой линии кож [11,12].

На основании вышеизложенного стоит задача дополнения экспериментальных данных за счет статистического моделирования.

При моделировании экспериментальных данных, отражающих макро-неоднородности материала, необходимо исходить из того, что причиной их рассеяния могут являться два фактора: свойства материала (неоднородность, вариации химического состава) и методики испытаний (погрешность изготовления образцов и измерений деформаций или приложенной нагрузки и т. д.). Таким образом, предполагаем, что предельные состояния образцов являются аддитивными составляющими двух случайных функций:

(1).

где М[] = 0 и (М[*] - оператор математического ожидания).

В связи с этим может рассматриваться как шум, порождающийся второй группой факторов и наложенный на случайную функцию, отражающую стабильные случайные свойства материала. Так как роль сводится к созданию незначительных флуктуаций около каждой из реализаций, то при создании статистической модели данных в явном виде может быть опущена.

При построении стохастической модели данных по предельным напряжениям и предельным деформациям волокнисто-пористого биокомпозита необходимо:

• — иметь экспериментальные данные по предельным напряжениям и предельным деформациям в направлениях: преимущественной ориентации пучков коллагеновых волокон, под углом 900 и 450 к этому направлению;
• — установить вид законов распределения случайных значений модели;
• — установить корреляционную зависимость между предельным напряжениями и (или) предельным деформациям в направлении преимущественной ориентации пучков коллагеновых волокон и ориентированных под углом 900 и 450 к этому направлению.

Предположим, что величины: — предел прочности при нагружении в направлении преимущественной ориентации волокон; - предел прочности при нагружении в направлении 900 к преимущественной ориентации волокон; - предел прочности при нагружении в направлении 450 к преимущественной ориентации волокон имеют случайный характер. В тоже время их значения связаны между собой регрессионной зависимостью.

Обозначая через F(X) любую из перечисленных величин, можем записать [13]:

(2).

где n — нормированная случайная величина, ,.

M[*] и S[*] - соответственно операторы математического ожидания и среднеквадратического отклонения (, D[*] - оператор дисперсии). Преобразуем (2) к виду.

. (3).

Очевидно, что при.

(4).

соотношение (3) преобразуется к виду.

(5).

где .

Определяя коэффициенты эмпирической линейной регрессии () на [14]:

(6).

(7).

где и — средние выборочные и и ;

,.

и — коэффициенты корреляции, получим зависимость этих величин от значений предельных напряжений в направлении преимущественной ориентации волокон. Из (6) учетом (5) получаем модельные значения для обучения нейронной сети. Вместо линейной зависимости в (6) и (7) может быть использована и нелинейная корреляционная зависимость.

Алгоритм моделирования статистических данных состоит в следующем. На основании данных экспериментов проверяется гипотеза корреляционной зависимости данных и определяется уравнение регрессии. С учетом функциональной зависимости в средних значениях, соотношения (4) и генерации случайных величин n (5), распределенных по нормальному закону, получаем набор данных. нейронный сеть волокнистый Экспериментальная проверка условия (4) и моделирования статистических данных была выполнена на основании экспериментальных данных по определению предела прочности бычины хромового дубления и эластичных кож. Данные получены на ЗАО «КОРС», отбор производился по отдельным кожам, взятых случайным образом по три из партии. Из каждой кожи отбиралось по три образца направлением ориентации вдоль, поперек и под углом 450 к хребтовой линии, усредненные значения по образцам использовались при дальнейшей обработке и моделировании.

В таблице 1 представлены данные по корреляции значений предельных напряжений для различных кож (рисунки 1, 2).

Таблица 1 Значение коэффициентов корреляции.

• а)
• б)

Рисунок 1 Регрессионные зависимости значений предельных напряжений для бычины: а) и — предельные напряжения соответственно вдоль и поперек хребтовой линии, МПа; б) и — предельные напряжения соответственно вдоль и под 450 к хребтовой линии, МПа

Как видно из таблицы значения коррелированны между собой, что позволяет найти функциональные зависимости в средних значениях.

Рисунок 2 Регрессионные зависимости значений предельных напряжений для эластичных кож: а) и — предельные напряжения соответственно вдоль и поперек хребтовой линии, МПа; б) и — предельные напряжения соответственно вдоль и под 450 к хребтовой линии, МПа

На рисунках 3 и 4 представлены полигоны и функции нормального распределения для значений предельных напряжений образцов.

Рисунок 3. Функции нормального распределения 1 и полигоны 2 для предельных напряжений бычины: и — предельные напряжения соответственно вдоль, поперек и под 450 к хребтовой линии, МПа.

Проверка по критерию Пирсона [13] (Таблица 2) подтвердила высокую степень согласованности статистических и теоретических распределений.

Рисунок 4 Функции нормального распределения 1 и полигоны 2 для предельных напряжений эластичных кож: и — предельные напряжения соответственно вдоль, поперек и под 450 к хребтовой линии, МПа В соответствии с полученными значениями критерия Пирсона гипотезу о выбранных законах распределения можно считать правдоподобной.

Таблица 2. Значения величин критерия Пирсона.

Таким образом, разработанная методика моделирования статистических данных позволяет дополнить результаты экспериментов до необходимого количества для построения нейронной сети.

• 1. Хайкин, Саймон Нейронные сети: полный курс /Саймон Хайкин. — М.: «Вильямс», 2006. -1104 с.
• 2. Нейронные сети. STATISTICA Neural Networks: Методология и технологии современного анализа данных /Под. ред. В. П. Боровикова. 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Горячая линия-Телеком, 2008. -392 с.
• 3. Джейн Анил, К.

  Введение

  в искусственные нейронные сети./ Джейн Анил К., Мао Жианчанг, К. М. Моиуддин // Открытые системы — 1997 — № 4. — с. 3−24

• 4. Горбань, А. Н. Обучение нейронных сетей. -М.: Изд. СССР-США СП «ParaGraph», 1990. 160 с. (English Translation: AMSE Transaction, Scientific Siberian, A, 1993, Vol. 6. Neurocomputing, рp.1−134).
• 5. Горбань, А. Н. Нейронные сети на персональном компьютере.// А. Н. Горбань, Д. А. Россиев. -Новосибирск: Наука, 1996. 276 с.
• 6. Соколовский А. Р. Прогнозирование прочности волокнисто-пористых биокомпозитов с использованием нейронных сетей (монография) / А. Р. Соколовский — М.: МГУДТ. 2010. 92 с. ISBN 978−5-87 055−121−0
• 7. Мунасипов С. Е. Построение поверхности прочности анизотропного пористо-волокнистого биокомпозита с применением нейронных сетей //С.Е. Мунасипов, А. Р. Соколовский, И. Ю. Соколовская / Динамика систем, механизмов и машин. Материалы VII Международной научно-технической конференцииОмск: ОмГТУ, 2009. -Кн. 2. с.384
• 8. Ломакин, В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. / В. А. Ломакин М.: Наука. 1970. 139 с.
• 9. Самарин, Ю.П. О применении стохастических уравнений в теории ползучести материалов // Изв. АН СССР. МТТ, 1974. № 1. С. 88−94.
• 10. ГОСТ 938.11−69 Кожа. Метод испытания на растяжение. -М.: Издательство стандартов. 10 с.
• 11. Соколовский А. Р. Исследование анизотропии прочностных свойств кож для низа обуви и кожгалантерейных изделий. // А. Р. Соколовский, А. С. Железняков /Обувь: Маркетинг конструирование технология, материалы. Межвузовский сборник научных трудов. -М: МГАЛП, 1999. с.71−74
• 12. Соколовский А. Р. Влияние технологических операций на прочность волокнисто-пористого биокомпозита / А. Р. Соколовский // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2010. — № 61(09). — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2010/07/pdf/07.pdf
• 13. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука. 1969. 576 с.
• 14. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн — М: Наука. — 1984. — 831 с.