Решение проблемы оптимального управления запасом

Для рассмотренного класса управляющих вероятностных распределений G (u), а именно, для множества распределений неотрицательных случайных величин, заданных на множестве допустимых управлений u=[0;?), функционал I (G) определен. Иначе говоря, выполняется условие:

Подынтегральная функция знаменателя B (u) удовлетворяет условию:

Теперь применим теорему о безусловном экстремуме интегрального дробно-линейного функционала в формулировке П. В. Шнуркова.

Предположим, что функция достигает глобального (абсолютного) экстремума на множестве допустимых управлений uU в некоторой точке. Тогда решение исходной экстремальной задачи для дробно-линейного интегрального функционала I (G) существует и достигается на вырожденном вероятностном распределении, сосредоточенном в точке :

Тогда имеет место соотношение:

(2.15).

Где — множество вырожденных распределений вида (2.14) для всех возможных точек.

Таким образом, необходимо исследовать на глобальный экстремум основную функцию рассматриваемого дробно-линейного функционала:

Достаточные условия непрерывности основной функции и существование детерминированного оптимального управления

Функция A (u), определяемая формулой (2.2), является непрерывной в области .

Рассмотрим функцию A (u) при, определяемую формулой (2.3).

Интеграл.

является постоянной величиной; интеграл.

Функция A (u), определяемая формулой (2.3), является непрерывной функцией от u в области .

Функция A (u), задаваемая формулой (2.4), является непрерывной при всех .

Основываясь на утверждении леммы, можно доказать следующее утверждение относительно свойств основной функции данного дробно-линейного функционала.

Предположим, что выполнены следующие условия, связанные со стоимостными характеристиками модели:

Функция непрерывна при любых значениях аргумента.

Функция непрерывна при любых значениях аргумента.

Выполняется условие.

Функция непрерывна при любых значениях.

Для любого значения выполняется условие:

Тогда основная функция рассматриваемого дробно-линейного функционала (2.1), то есть функция, определяемая соотношениями (2.2)-(2.4), является непрерывной при всех конечных значениях аргумента и существует конечный предел.

Вычисляется предел.

и доказывается, что существует конечный предел:

Далее доказывается теорема:

Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Тогда решение задачи оптимального управления запасом существует и достигается на детерминированном управлении, которое представляет собой точку глобального максимума функции на множестве .

Анализа частного случая задачи

Рассматривается случай, при котором функции дохода и затрат задаются линейными функциями.

Затраты:

— затраты, связанные с хранением товара на складе;

— затраты, связанные с дефицитом товара на складе;

— плата за поставку товара (при фиксированном u).

Доходы в этом случае будут выглядеть как:

x>0.

При чем — заданная величина.

— заданная величина.

.

Таким образом цена поставки минимальна при большом запасе (близком к максимальному) и максимальна при малом запасе (близком к нулю). в частности, она может быть постоянной, если, тогда .

Цена поставки в случае дефицита одинакова при любом уровне дефицита; реального запаса нет, спрос будет удовлетворен в будущем при пополнении запаса.

Возможны два случая при и при. Рассмотрим первый из них. Исследуется функция S (u), с помощью формул (2.2) и (2.5):

Целевая функция на интервале [0;].

=.

Целевая функция на интервале [.

В данном случае функции и будут одинаковыми.

Исследование целевой функции при u=.

Резюмируя полученный результат, следует сказать, что для заданной задачи в явном виде были найдены представления целевой функции на каждом из рассматриваемых интервалов. Полученные данные, в дальнейшем, могут быть использованы для исследования модели на экстремум.