Методы проецирования

Основные понятия

Важнейшая функция компьютера — обработка информации. Особо можно выделить обработку информации, связанную с изображениями. Она разделяется на три основные направления: компьютерная графика (КГ), обработка и распознавание изображений.

Задача компьютерной графики (Computer Graphics) — визуализация, то есть создание изображения. Визуализация выполняется, исходя из описания (модели) того, что нужно отображать. Существует много методов и алгоритмов визуализации, которые различаются между собою в зависимости от того что и как отображать. Например, отображение того, что может быть только в воображении человека — график функций, диаграмма, схема, карта. Или наоборот, имитация трехмерной реальности — изображение сцен в компьютерных играх, художественных фильмах, тренажерах, в системах архитектурного проектирования. Важными и связанными между собою факторами здесь являются: скорость изменения кадров, насыщенность сцены объектами, качество изображения, учет особенностей графического устройства.

Обработка изображений (Computer Vision) — это преобразования изображений. Входными данными является изображение, и результат обработки — тоже изображение. Примерами обработки изображений могут служить: повышение контраста, чёткости, коррекция цветов, редукция цветов, сглаживание, уменьшение шумов и так далее. В качестве материала для обработки могут использоваться космические снимки, сканированные изображения, радиолокационные, инфракрасные изображения и т. п. Задачей обработки изображений может быть как улучшение в зависимости от определенного критерия (реставрация, восстановление), так и специальное преобразование, кардинально меняющее изображения. В последнем случае обработка изображений может быть промежуточным этапом для дальнейшего распознавания изображения. Например, перед распознаванием часто необходимо выделять контуры, создавать бинарное изображение, разделять по цветам. Методы обработки изображений могут существенно отличаться в зависимости от того, каким путем получено изображение — синтезировано системой КГ либо это результат оцифровки черно-белой или цветной фотографии.

Разновидности компьютерной графики

Распространение компьютерной графики началось с полиграфии. Но вскоре она вырвалась из тесных помещений типографий на простор широкого применения. Огромную популярность завоевали компьютерные игры, научная графика и фильмы. Сейчас без развитой и изощренной графики не обходится ни один фантастический фильм, ни одна компьютерная игрушка. Создаются изображения настолько реальные, что трудно поверить в то, что все это создано на компьютере. Мощнейшие машины и талантливейшие команды математиков, программистов и дизайнеров работают над этим. Ни один приличный доклад в сфере бизнеса не обходится сейчас без компьютерной презентации.

Из простого перечисления областей применения видно, что понятие компьютерной графики довольно обширно — от алгоритмов, рисующих на экране причудливые узоры, до мощных пакетов ЗD-графики и программ, имитирующих классические инструменты художника. Иными словами, компьютерная графика не является простым рисованием при помощи компьютера, а представляет собой довольно сложный комплекс, который находит применение во многих областях человеческой деятельности:

двухмерная графика;

полиграфия;

web-дизайн;

мультимедиа;

ЗD-графика и компьютерная анимация;

видеомонтаж;

САПР и деловая графика;

геоинформационные системы.

Сферы применения компьютерной графики чрезвычайно разнообразны. Каждый ее раздел имеет свои отличительные особенности и тонкости «технологического производства». Для каждого из них создано свое программное обеспечение, включающее разнообразные специальные программы (графические редакторы). Вне зависимости от области использования каждый графический редактор, как правило, должен иметь:

? инструменты рисования на компьютер;

? библиотеку готовых изображений;

? набор шрифтов;

? набор спецэффектов;

? а также быть совместимым с другими графическими программами.

Остановимся на некоторых характерных чертах, присущих отдельным областям компьютерной графики, попутно затрагивая используемые в них программные средства.

1. Методы проецирования

Одно из основных геометрических понятий — отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка на плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество, отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

Общий аппарат проецирования

В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем (рис. 1).

Рис. 1

Если через точки A, B и C, взятые на некоторой линии l, провести семейство проецирующих лучей S, то в результате пересечения этих лучей с проецирующей поверхностью Р? образуются проекции этих точек A?, B? и C?.

Проекцией оригинала l на поверхности Р? есть линия, соединяющая проекции точек A?, B? и C? (рис.).

Свойства центрального проецирования

В пространстве выбирают произвольную точку (рис. 2) в качестве центра проецирования и плоскость П, не проходящая через точку, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку, А на плоскость П, через центр проецирования проводят луч, А до его пересечения с плоскостью П в точке А. Точку, А принято называть центральной проекцией точки А, а луч, А — проецирующим лучом.

Рис. 2

Если проецирование осуществляется из какой-либо точки S, находящейся на конечном расстоянии от плоскости проекций, то образуется так называемое центральное (коническое) проецирование (рис. 4).

Рис. 4 Рис. 5

Недостатком центрального проецирования является трудоёмкость построения изображений и искажение формы предметов.

Если центр проекций S расположен в бесконечности, то все проецирующие лучи становятся параллельны между собой. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис. 5). Такой способ проецирования называется параллельным, а полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

Если направление проецирования S задано под косым углом к плоскости проекций П, то параллельная проекция называется косоугольной, а если под прямым углом — прямоугольной (ортогональной). Прямоугольное проецирование позволяет обеспечить простоту графических построений и сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость — восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) и возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность — чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3. Точность — графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота — изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

2. Свойства параллельного проецирования

1. Проекция точки на плоскость есть точка (рис. 6).

A A₁.

2. Проекция прямой в общем случае прямая: l l₁, (рис. 1.6). Она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования.

3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии (рис.).

A l A₁ l₁

3.1. Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек:

A l B l A₁ l₁ B_l l₁

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекцій (рис. 6):

К = а b K₁ = а₁ b₁

5. Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 6):

6. Если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении (рис. 6):

Рис. 6

7. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 7):

l n l₁ n₁

8. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости, параллельной плоскости проекций, то проекция этой фигуры на плоскость П₁ конгруэнтна (согласована) самой фигуре (проецируется в натуральную величину НВ):

9. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекцій (рис. 8).

Метрические характеристики геометрических фигур при параллельном проецировании в общем случае не сохраняются (происходит искажение линейных и угловых величин).

Рис. 7 Рис. 8

Свойства и особенности ортогонального проецирования

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования, и, кроме того, для него справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в виде прямого угла.

При составлении чертежей используется ортогональное проецирование по методу Монжа — ортогональное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций: П₁ — горизонтальную и П₂ — фронтальную. Плоскость П₁ пересекает плоскость П₂ по линии Ох, которую называют осью проекций.

Для создания чертежа плоскость П₁ совмещают с плоскостью П₂, вращая ее вокруг оси Ох. Чертеж, выполненный таким образом, часто называют эпюром Монжа. Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти. При выполнении ортогональных проекций полагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Графическая модель объекта любой сложности рассматривается как геометрическое место точек, по взаимному расположению которых можно составить представление о форме отображаемого объекта. По расположению точек относительно системы координат судят о положении объекта в пространстве. Таким образом, рассмотрев процесс проецирования точки на плоскости П₁ и П₂, можно составить алгоритм выполнения чертежа объекта. При проецировании точка принимается за физический объект.

3. Комплексный чертёж точки (эпюр г. Монжа)

Одна проекция точки не даёт возможности судить о положении точки в пространстве. Необходимо иметь две её параллельные проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.

Наиболее удобной для фиксирования положения любой геометрической фигуры в пространстве и выявления её формы по прямоугольным проекциям является, декартова система координат, состоящая из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 9).

Эти плоскости делят пространство на 8 частей (октантов) (рис. 10).

Рис. 9 Рис. 10

П₁ — горизонтальная плоскость проекций, П₂ — фронтальная плоскость проекций, П₃ — профильная плоскость проекций.

Линии пересечения плоскостей проекций — оси координат:

X= П₁ П₂, Y= П₁ П₃, Z= П₂ П₃.

Точка А₁ называется горизонтальной проекцией точки А, а точка А₂ — ее фронтальной проекцией. Точка А₃ называется профильной проекцией точки А, Пространственная модель плоскостей проекций на рис. 1.6 неудобна для практического использования, так как на плоскостях П₁ и П₃ происходит искажение формы и размеров проекций геометрической фигуры.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁ совмещают с плоскостью П₂, вращая вокруг оси x₁₂, а плоскость П₃ совмещают с плоскостью П_2, вращая вокруг оси x₂₃ (рис. 11). В результате получим плоскостной чертеж точки А, состоящий из комплекса трех ее проекций.

Такой чертёж, составленный из двух или трёх связанных между собой прямоугольных проекций геометрической фигуры, называют комплексным чертежом.

Рис. 11

Основные свойства комплексного чертежа

Прямая (А₁А₂), перпендикулярная к оси х₁₂ и соединяющая две проекции точки на комплексном чертеже, называется вертикальной линией связи.

Прямая (А₂А₃), перпендикулярная к осих₂₃, называется горизонтальной линией связи.

Расстояние между горизонтальной проекцией точкой А₁ и осью х₁₂ — координата Y_A точки A (глубина).

Расстояние между фронтальной проекцией точкой А₂ и осью х₁₂ — координата Z_A точки A (высота).

Координата X_A точки A, это расстояние от начала координат O до вертикальной линии связи А₁А₂.

Расстояние от горизонтальной проекцией точкой А₁ к оси х₁₂ равно расстоянию от фронтальной проекции точки А₃ к оси z₂₃ (Y_A координата точки A).

Проекции точек А₁ и А₂ всегда лежат на вертикальной линии связи.

Проекции точек А₂ и А₃ всегда лежат на горизонтальной линии связи.

Полученный таким образом комплексный чертеж точки будет обратимым, так как две ее проекции А₁ и А₂ однозначно определяют положение точки, А в пространстве (X_A; Y_A; Z_A).

Таким образом, двухкартинный комплексный чертёж определяет однозначно положение точки в пространстве:

Рис. 12

Проецирование на дополнительные плоскости При выполнении технических чертежей используют дополнительные плоскости проекций, которые располагают перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций.

На рис. 13 дополнительная плоскость П₄ П₁.

Здесь сохраняется координата Z_A точки A (высота).

1) Линия связи X₁₄,

2) IA₄ A₁₄I = IA₂ A₁₂I

Рис. 13

На рис. 14 дополнительная плоскость П₄ П₁.

Рис. 14

Здесь сохраняется координата Y_A точки A (глубина).

1) Линия связи X₂₅,

2) IA₅ A₂₅I = IA₁A₁₂I.

4. Взаимное расположение точек

проецирование чертеж параллельный Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек (рис. 15):

1. Пусть точки А и В расположены в первой четверти так, что:

— Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В

— Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

— X_АВ. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А;

Рис. 15

2. — Если Y_А = Y_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₂ и их горизонтальные проекции расположатся на прямой А₁В₁// x₁₂.

— Если Z_А = Z_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₁ и их фронтальные проекции расположатся на прямой А₂В₂// x₁₂.

— Если X_А=X_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А₁В₁// y и А₂В₂//z.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На (рис. 1.16) даны три пары таких точек, у которых:

Рис. 16

· X_А=X_D; Y_А=Y_D; Z_А>Z_D;

· X_A=X_C; Z_A=Z_C; Y_A>Y_C;

· Y_A=Y_B; Z_A=Z_B; X_A>X_B;

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD; фронтально конкурирующие точки A и C, расположенные на фронтально проецирующей прямой AC. Профильно конкурирующие точки A и B располагаются на профильно проецирующей прямой AB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

проецирование чертеж параллельный

1. Инженерная графика: общий курс [Текст]: учебник / под ред. В. Г. Бурова, Н. Г. Иванцивской. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Логос, 2008. — 232 с.: ил.

2. Левицкий, В. С. Машиностроительное черчение и автоматизация выполнения чертежей [Текст]: учебник для втузов / В. С. Левицкий. — 8-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 2007. — 436 с.: ил.

3. Локтев, О. В. Краткий курс начертательной геометрии [Текст]: учебник для втузов / О. В. Локтев. — 6-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2010. — 136 с.: ил.

4. Общие правила выполнения чертежей ЕСКД [Текст]: сборник стандартов ЕСКД. — М.: Изд-во стандартов, 2009. 238 с.

5. Чекмарев, А. А. Инженерная графика [Текст]: учебник для вузов / А. А. Чекмарев. — 5-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2010. — 365 с.: ил.

6. Чекмарев, А. А. Начертательная геометрия и черчение [Текст]: учебник для вузов / А. А. Чекмарев. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Владос, 2008. — 472 с.: ил.

7. Чекмарев, А. А. Справочник по машиностроительному черчению [Текст]: справочник / А. А. Чекмарев, В. К. Осипов. — 8-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2008. — 493 с.: ил.