Одномерное автомодельное движение нелинейно упругой среды

Введение

Глава I. Определяющие соотношения модели нелинейно упругой среды

1.1 Исходные соотношения среды

1.2 Вычисление компонент тензора напряжений нелинейно-упругой среды Глава II. Основные соотношения для одномерного автомодельного движения. Определение автомодельного движения. Сведение модельных соотношений к системе дифференциальных уравнений зависящих от автомодельной переменной Глава III. Краевая задача разгрузки нелинейно упругой среды

3.1 Постановка задачи

3.2 Численные решения Основные результаты Литература

Процессы распространения возмущений в сплошной среде в рамках линейно-упругой среды хорошо изучены в классической механике, однако линеаризация систем уравнений часто приводит к тому, что многие существенные моменты таких процессов попросту теряются.

Построение решений краевых задач динамики нелинейно-упругой среды является одной из наиболее сложных проблем механики и в основном осуществимо с жесткими ограничениями на характер движения и начальные условия. Важное значение имеют решения, в которых уменьшение числа аргументов искомых функций достигается за счет введения некоторых комбинаций из независимых переменных. Одним из видов таких решений являются автомодельные, последние в основном и решались в механике упругой среды для описания поведения процессов распространения возмущений.

Следует отметить, что, несмотря на упрощения, допускаемые в автомодельных задачах, они позволяют получить качественную картину описания происходящих процессов. Так же необходимо отметить, что даже в случае автомодельных постановок, несмотря на кажущуюся простоту, найти решение конкретной краевой задачи является существенной проблемой со своими сложностями

В настоящей работе рассмотрено одномерное динамическое деформирование нелинейно упругой среды, в частности одномерное автомодельное движение нелинейно упругой среды, возникающее при мгновенном снятии известных нагрузок.

Для этого в первой главе приведены определяющие соотношения модели нелинейно упругой среды. Расписана покомпонентная зависимость тензора напряжений от деформаций.

Во второй главе вводятся основные соотношения для одномерного автомодельного движения, определяется автомодельного движения, модельные соотношения сводятся к системе дифференциальных уравнений зависящих от автомодельной переменной.

В третьей главе задаётся краевая задача разгрузки нелинейно упругой среды. Показаны численные решения при заданных начальных параметрах среды. Представлены графики зависимости деформаций и напряжений от автомодельной переменной.

Принята двойная нумерация формул, первая цифра обозначает номер главы. В пределах каждой главы нумерация формул сквозная. Общий объём работы — 18 страниц, в том числе 2 рисунка и 6 графиков.

Глава I. Определяющие соотношения модели нелинейно упругой среды

1.1 Исходные соотношения среды

Пусть — декартова система координат,, (i, j =1, 2) -компоненты вектора скорости, симметричного тензора напряжений, характеризующих напряженно-деформированное состояние нелинейно упругой среды. Полную систему соотношений среды будут составлять формула Мурнагана, закон сохранения импульса, закон сохранения массы:

Здесьтензор деформации Альманси:

W — упругий потенциал среды, выраженный через инварианты тензоров напряжения, вплоть до третьего порядка. (Имеется ввиду степень тензора напряжения) Коэффициенты перед инвариантами тензора напряжения получаются экспериментальным путём.

Запишем закон сохранения массы через инварианты тензора напряжения:

В нашем случае сведётся к более простому виду:

Эти соотношения выполняются во всех точках среды.

1.2 Вычисление компонент тензора напряжений нелинейно-упругой среды

Распишем производную упругого потенциала по деформации в формуле Мурнагана и запишем формулу для всех i, j:

Учитывая, что:

Глава II. Основные соотношения для одномерного автомодельного движения. Определение автомодельного движения. Сведение модельных соотношений к системе дифференциальных уравнений зависящих от автомодельной переменной

Важной частью решения задачи является уменьшение числа аргументов искомой функции, за счёт существенности только некоторых комбинаций из независимых переменных. Тем самым осуществляется переход от частных производных к полным.

Введём автомодельную переменную:

И некоторые функции от неё:

Считаем, что среда движется следующим образом:

Распишем покомпонентно деформацию и запишем её через автомодельную переменную:

Распишем закон сохранения импульса через автомодельную переменную:

Продифференцируем напряжение, согласно формуле Мурнагана записанной в деформациях (формулы ), и, выразив её через автомодельную переменную, подставим в закон сохранения импульса (формулы ) и обезразмерим поделив на :

Далее для простоты дальнейших вычислений и упрощения записей будем пользоваться переменными:

Данная система имеет тривиальное решение, когда и равны нулю.

В этом случае напряжение, деформации и скорости будут постоянными величинами. Нетривиальное решение будем искать из системы:

Продифференцируем первое уравнение:

Выразим из второго уравнения :

Подставим в первое уравнение:

Выразим :

Нетривиальное решение описывает область, в которой напряжение, деформации и скорости изменяются непрерывно. Данные области называются простыми волнами. Согласно полученным вычислениям возможны две центрированные волны.

Глава III. Краевая задача разгрузки нелинейно упругой среды

3.1 Постановка задачи

Рассматривается идеальная нелинейно упругая среда. Считаем, что у нас полупространство х₁>0 было равномерно нагружено до некоторого момента t₀

При этом напряжение и деформации постоянные величины.

Затем на границе полупространства нагрузка мгновенно снимается, в результате чего по среде начинают распространятся возмущения.

Нам известны и которые были до снятия нагрузок. С помощью системы уравнений (которая состоит из тривиального и нетривиального решения) мы найдём

Начиная от будет идти область простой волны, вплоть до далее начинается область тривиального решения, где деформация и напряжение постоянные величины. Снова решая систему уравнений мы найдём, от которой идёт решение для простой волны до от которого снова начинается область, где деформации и напряжение постоянны.

Необходимо подобрать такие и, чтобы на границе полупространства (х₁=0) = =0

3.2 Численные решения

нелинейный упругий тензор автомодельный В качестве начальных параметров системы нам известны U_1,1=-0.016 и U_2,1=0.028 (фактически из них мы видим начальные деформации и напряжения) Коэффициенты упругого потенциала:

Из системы находим начальное

Далее используя систему и метод перебора находим графики зависимости U_1,1 и U_2,1 от

Используя формулы и, получим графики для деформаций С помощью формулы Мурнагана найдём графики для деформаций.

Здесь, чтобы обезразмерить напряжение, будем использовать нормированные коэффициенты упругого потенциала:

Формулы примут вид:

Основные результаты

1. Следуя закону сохранения (закон сохранения импульса) получена система уравнений, описывающая динамическое деформирование нелинейно упругой среды для одномерного случая.

2. Рассмотрено одномерное автомодельное движение нелинейно упругой среды, как частный случай одномерного деформирования нелинейно упругой среды.

3. Получена однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений описывающих данный процесс.

4. В ходе численного решения было получено, что возмущения в среде распространяются посредством двух центрированных волн, скорость одной из них близка к скорости распространения безвихревой волны, а скорость другой близка к скорости эквиволюмиальной волны.

5. Из численных вычислений видно, что в каждой волне присутствует одновременно изменение объемных и сдвиговых деформаций, однако в центрированной волне с большей скоростью происходит большее изменение объемных деформаций, а в волне с меньшей скорость с большей степенью изменяются сдвиговые деформации.

1. Седов Л. И.

Введение

в механику сплошной среды. — М.: физматгиз. -1962. — 284с.

2. Буренин А. А., Лапыгин В. В. Автомодельная задача об ударном нагружении упругого полупространства.// Прикл. матем. и механика. -1979 -Т.43, вып.4. — С.722−729

3. Буренин А. А. Об ударном деформировании несжимаемого упругого полупространства.// Прикл. механика. — 1985 -Т.21, № 5. — с. 3−8

4. Буренин А. А., Лапыгин В. В. Об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от плоской жёсткой границы нелинейно упругой среды.// Прикл. механика и техн. физика — 1985 — № 5 с. 125−129

5. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. Автомодельная задача о действии внезапной нагрузки на границу упругого полупространства.// Прикл. матем. и механика. — 1985. — Т.49, вып. 2 — с.284−291.