Одномерные потоки жидкостей и газов

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

" Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Новотроицкий филиал Кафедра металлургических технологий Реферат

по гидрогазодинамике По теме «Одномерные потоки жидкостей и газов»

Выполнил: Бисекеев Д.Ж.

Группа: ПТЭ-12−21

Проверил: Ануфриенко О.С.

Новотроицк 2013

• 1. Роль одномерного анализа при решении технических задач
• 2. Основные уравнения
• Уравнение Бернулли для идеальной жидкости
• Уравнение Бернулли для реальной жидкости
• Уравнение неразрывности
• 3. Скорость звука
• 4. Изоэнтропийное течение
• 4. Критический расход
• 5. Сопло Лаваля
• 6. Принцип действия
• 7. Тест
• Список использованной литературы

1. Роль одномерного анализа при решении технических задач

Одномерные установившиеся течения являются самым простым видом течений. При рассмотрении одномерных течений делают основное предположение о том, что параметры потока не меняются по поперечному сечению канала (или что эти параметры осреднены по сечению). В связи с этим предполагают, что хотя площадь поперечного сечения канала и может меняться произвольным образом, однако достаточно плавно. Поэтому правильнее было бы рассматривать не одномерную, а квазиодномерную задачу. Значение одномерных задач для технических расчетов трудно переоценить, так как в них удается учесть все виды воздействий на поток: подвод теплоты, трение, подвод другого газа или жидкости, конденсацию, испарение, горение и т. д. Конечно, все полученные результаты будут приближенными, но их получают очень просто и они обычно в целом достаточно хорошо согласуются с экспериментальными. Отсюда не следует делать вывод о том, что вообще все задачи могут быть удовлетворительно решены в одномерной постановке. Следует отметить, что полнее понять происходящие процессы и оптимизировать конструкцию можно после рассмотрения более сложных плоских или пространственных задач.

Уравнения сохранения массы, количества движения и энергии для установившегося одномерного течения могут быть получены из общих уравнений сохранений. Однако проще получить эти уравнения непосредственно для одномерного течения, тем более что при исследований поставленной задачи целесообразно ввести некоторые изменения.

2. Основные уравнения

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P, средней скоростью х и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом в (рис. 3.5).

Рис. 1 Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1−1 и сечение 2−2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры — тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту. В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1−1 и 2−2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1−1 и 2−2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис. 3.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0−0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений 1−1 и 2−2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

Так как сечения 1−1 и 2−2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z1 и z2 — удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1−1 и 2−2;

и — удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;

и — удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя на рис. 3.5, можно заметить, что z1 и z2 — геометрические высоты сечений 1−1 и 2−2 над плоскостью сравнения; и — пьезометрические высоты; и — скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения

Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1−1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2−2 на величину потерянной энергии (рис. 3.6).

Рис. 2 Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Из рис. 2 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1−1 до сечения 2−2 потерянный напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1−1 и 2−2.

Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента б₁ и б₂, которые называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости (б = 2 для ламинарного режима, б = 1 для турбулентного режима).

Потерянная высота складывается из линейных потерь, вызванных силой трения между слоями жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, с, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости х₁щ ₁ = х₂щ₂.

Уравнение неразрывности

Основным условием, которое должно соблюдаться при течении жидкости, является непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т. е. при течении жидкости должны быть соблюдены условия при, которых жидкость должна двигаться в канале как сплошная среда, без разрывов.

Выделим внутри пространства с движущейся капельной жидкостью неподвижный контур в форме элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (см. рис. 2.35). Обозначим скорость жидкости, которая втекает в левую грань параллелепипеда, через. Скорость жидкости, вытекающей из правой грани, вследствие неразрывности поля скоростей равна

Рис. 3 Движение жидкости через контур

Поскольку рассматриваемый элементарный объем неподвижен, изменение скорости не зависит от времени. В направлении оси х через левую грань втечет за 1 с жидкость массой, а вытекает через правую грань

Значит, за 1 с из параллелепипеда вытекает в направление оси х жидкости больше, чем втекает, на

Аналогичные выражения получаются и для направлений x, y, z. Закон сохранения массы требует, чтобы сумма трех полученных приращений была равна нулю:

Это уравнение называют уравнением неразрывности, т.к. оно предполагает, что жидкость является сплошной средой.

Рассмотрим уравнение неразрывности для случая течения струйки при установившемся движении. Масса жидкости течет в трубке тока (см. рис. 2.34). Пусть левое входное сечение трубки тока имеет площадь и в этом сечении скорость жидкости, а ее плотность. Площадь сечения на выходе из трубки тока, скорость течения жидкости, и ее плотность. Скорости струйки направлены по касательной к стенкам трубки тока, поэтому через стенки обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через левое сечение втекает в единицу времени масса жидкости. Через правое сечение вытекает в единицу времени масса жидкости. В трубке тока масса жидкости, находящаяся между левым и правым сечениями, остается постоянной, следовательно, условие сплошности потока в трубке тока будет:

(2.34)

Если плотность жидкости по длине трубки тока не изменяется, т. е. =, то можно записать для левого и правого сечений:

или (2.35)

Полученное уравнение является уравнением неразрывности для трубки тока.

Для потока реальной жидкости уравнение неразрывности записывается в следующем виде:

(2.36)

где и — площади сечения потока в сечениях на входе и на выходе; и — средние скорости потока в этих сечениях.

Можно сделать два важных вывода:

1. При установившемся движении жидкости объемный расход не меняется;

2. При увеличении площади сечения потока жидкости средняя скорость уменьшается, и, наоборот, при уменьшении сечения — скорость увеличивается.

3. Скорость звука

Как известно из курса общей физики, закон дисперсии для звука в сплошной среде имеет вид, где c — скорость звука.

Рассмотрим теперь волны в объеме жидкости (или газа) в общем случае, не исключая возможного течения жидкости со скоростью V 0

С помощью уравнения состояния малое приращение плотности может быть выражено через дифференциалы давления и энтропии:

(7)

Для идеального газа легко выразить скорость звука через термодинамические параметры:

(8)

Подставляя (7) в уравнение непрерывности, для волн малой амплитуды в жидкости получаем систему:

(9)

Где величины с индексом «0» обозначают невозмущенные величины, а без индекса — амплитуды гармонической волны. Поиск решения в виде гармонической волны. Приводит к системе алгебраических уравнений:

(10)

Система (10) имеет два решения. Первое — это быкновенный звук, скорость которого в соответствии с эффектом Допплера модифицирована скоростью течения всей жидкости:

(11)

А амплитуды колебаний гидродинамических величин связаны соотношениями:

p — произвольно. Второе решение — так называемые энтропийно-вихревые волны, перемещающиеся со скоростью среды, для которых отличен от нуля:

(12)

4. Изоэнтропийное течение

Течение невязкого нетеплопроводного газа является изоэнтропийным. Тогда между термодинамическими параметрами существуют соотношения, справедливые для изоэнтропийного процесса:

(7)

Поскольку условие постоянства энтропии было получено из сопоставления уравнений движения и энергии, то одно из этих уравнений можно заменить уравнением (7). Очевидно, что это допустимо только при сделанных ограничениях об отсутствии трения и теплообмена.

Параметры торможения и критические параметры. Газодинамические функции и газодинамические таблицы.

Параметры газа, соответствующие нулевой скорости потока, называются параметрами торможения. Давление, плотность, температура и энтальпия, соответствующие этому состоянию называются давлением, плотностью, температурой и энтальпией торможения и обозначаются po, ro, To, io. Соотношение между местными параметрами потока и параметрами торможения определяются с помощью газодинамических функций t, p, e.

Аргументом газодинамических функций является число Маха или коэффициент скорости

.

Где V — местная скорость потока, — скорость звука в газе, — критическая скорость звука. Установим связь между числом Маха и коэффициентом скорости. Запишем уравнение энергии в виде

Разделим уравнение на, получим

Отсюда

или разрешив относительно числа Маха, имеем

Для вывода газодинамических функций запишем уравнение энергии

Умножим уравнение на и учтем, что. В результате имеем

Уравнение состояния газа, записанное для параметров торможения, позволяет получить соотношение

Из уравнения адиабаты по аналогии для параметров торможения имеем

Из последних трех равенств имеем

Воспользуемся теперь выражением для газодинамической функции t, запишем

Газодинамические функции широко используются для расчета изоэнтропических течений газа. Во многих учебниках по газовой динамике они представлены в виде таблиц. Из выражений для газодинамических функций при М = l = 1 критические параметры газа могут быть найдены через параметры торможения po, ro, To

,

При практических расчетах используют еще одну газодинамическую функцию, называемую удельным секундным расходом q:

Воспользовавшись выражением для газодинамической функции e, а также связью между критическими параметрами и параметрами торможению, учитывая, имеем

Нетрудно заметить, что при l = 0 и получим q=0. В первом случае расход равен нулю, так как газ неподвижен. Во втором случае p = r = T = 0.

4. Критический расход

В случае, если в минимальном сечении параметры равны критическим, то расход называют критическим:

m* = р* u* S* = р* a* S*. Критический расход можно определить так же, как максимальный расход при фиксированных параметрах торможения. Подставим в формулу из формулы и заменим плотность изоэнтропийного торможения через соответствующие давление и температуру с помощью уравнения состояния. Тогда получим формулу для определения критического расхода в таком виде:

Критический расход будет выражен в килограммах на секунду, если принять для воздуха С = 0,0405 с*Кг¹/2/м, а для перегретого водяного пара С = - 0,0311 с*Кг¹/2/м.

Покажем, что расход газа через сопло можно определять с помощью газодинамических функций. Фиксируем параметры торможения ро> То и будем менять давление в пространстве за суживающимся соплом в таких пределах, что. В этом случае давление в выходном сечении сопла равно давлению в окружающем пространстве за соплом.

5. Сопло Лаваля

Рис 4. Сопло Лаваля

Соплом Лавамля — газовый канал особого профиля, разгоняющий проходящий по нему газовый поток до сверхзвуковых скоростей. Широко используется на некоторых типах паровых турбин и является важной частью современных ракетных двигателей и сверхзвуковых реактивных авиационных двигателей.

Сопло представляет собой канал, суженный в середине. В простейшем случае такое сопло может состоять из пары усечённых конусов, сопряжённых узкими концами. Эффективные сопла современных ракетных двигателей профилируются на основании газодинамических расчётов.

Сопло было предложено в 1890 г. шведским изобретателем Густафом де Лавалем для паровых турбин.

Приоритет Годдарда на применение сопла Лаваля для ракет подтверждается рисунком в описании изобретения в патенте США U. S. Patent 1 102 653 от 7 июля 1914 г., на двухступенчатую твердотопливную ракету, заявленном в октябре 1913 г.

В России в ракетном двигателе сопло Лаваля впервые было использовано генералом М. М. Поморцевым в 1915 г. В ноябре 1915 года в Аэродинамический институт обратился генерал М. М. Поморцев с проектом боевой пневматической ракеты. Ракета Поморцева приводилась в движение сжатым воздухом, что существенно ограничивало ее дальность, но зато делало ее бесшумной. Ракета предназначалась для стрельбы из окопов по вражеским позициям. Боеголовка оснащалась тротилом. В ракете Поморцева было применено два интересных конструктивных решения: в двигателе имелось сопло Лаваля, а с корпусом был связан кольцевой стабилизатор.

6. Принцип действия

Феномен ускорения газа до сверхзвуковых скоростей в сопле Лаваля был обнаружен в конце XIX в. экспериментальным путём.

Позже это явление нашло теоретическое объяснение в рамках газовой динамики.

При следующем анализе течения газа в сопле Лаваля принимаются следующие допущения:

· Газ считается идеальным.

· Газовый поток является изоэнтропным (то есть имеет постоянную энтропию, силы трения и диссипативные потери не учитываются) и адиабатическим (то есть теплота не подводится и не отводится).

· Газовое течение является стационарным и одномерным, то есть в любой фиксированной точке сопла все параметры потока постоянны во времени и меняются только вдоль оси сопла, причём во всех точках выбранного поперечного сечения параметры потока одинаковы, а вектор скорости газа всюду параллелен оси симметрии сопла.

· Массовый расход газа одинаков во всех поперечных сечениях потока.

· Влияние всех внешних сил и полей (в том числе гравитационного) пренебрежимо мало.

· Ось симметрии сопла является пространственной координатой .

Отношение локальной скорости к локальной скорости звука обозначается числом Маха, которое также понимается местным, то есть зависимым от координаты :

(1)

Из уравнения состояния идеального газа следует:, эдесь — локальная плотность газа, — локальное давление. С учётом этого, а также с учётом стационарности и одномерности потока уравнение Эйлера принимает вид:

что, учитывая (1), преобразуется в

(2)

Уравнение (2) является ключевым в данном рассуждении.

Рассмотрим его в следующей форме:

(2.1)

Величины и характеризуют относительную степень изменяемости по координате плотности газа и его скорости соответственно. Причем уравнение (2.1) показывает, что соотношение между этими величинами равно квадрату числа Маха (знак минус означает противоположную направленность изменений: при возрастании скорости плотность убывает). Таким образом, на дозвуковых скоростях плотность меняется в меньшей степени, чем скорость, а на сверхзвуковых — наоборот. Как будет видно дальше, это и определяет сужающуюся-расширяющуюся форму сопла.

Поскольку массовый расход газа постоянен:

где — площадь местного сечения сопла,

дифференцируя обе части этого уравнения по, получаем:

После подстановки из (2) в это уравнение, получаем окончательно:

(3)

Заметим, что при увеличении скорости газа в сопле знак выражения положителен и, следовательно, знак производной определяется знаком выражения:

одномерный поток жидкость газ Рис 5. Иллюстрация сопла Лаваля Иллюстрация работы сопла Лаваля. По мере движения газа по соплу, его абсолютная температура Т и давление Р снижаются, а скорость V возрастает. М — число Маха.

Из чего можно сделать следующие выводы:

· При дозвуковой скорости движения газа, производная - сопло сужается.

· При сверхзвуковой скорости движения газа, производная - сопло расширяется.

· При движении газа со скоростью звука, производная — площадь поперечного сечения достигает экстремума, то есть имеет место самое узкое сечение сопла, называемое критическим.

Итак, на сужающемся, докритическом участке сопла движение газа происходит с дозвуковыми скоростями. В самом узком, критическом сечении сопла локальная скорость газа достигает звуковой. На расширяющемся, закритическом участке, газовый поток движется со сверхзвуковыми скоростями.

Перемещаясь по соплу, газ расширяется, его температура и давление падают, а скорость возрастает. Внутренняя энергия газа преобразуется в кинетическую энергию его направленного движения. КПД этого преобразования в некоторых случаях (например, в соплах современных ракетных двигателей) может превышать 70%, что значительно превосходит КПД реальных тепловых двигателей всех других типов. Это объясненяется тем, что рабочее тело не передаёт механическую энергию никакому посреднику (поршню или лопастям турбины). В других тепловых двигателях на этой передаче имеют место значительные потери. Кроме того, газ, проходя через сопло на значительной скорости, не успевает передать его стенкам заметное количество своей тепловой энергии, что позволяет считать процесс адиабатическим. У реальных тепловых двигателей других типов нагрев конструкции составляет существенную часть потерь. Автомобильный двигатель, например, работает больше на радиатор охлаждения, чем на выходной вал.

7. Тест

1) Площадь поперечного сечения потока в гидрогазодинамике, перпендикулярная направлению движения называется

а) открытым сечением;

+ б) живым сечением;

в) полным сечением;

г) площадь расхода.

2) Расход потока в гидрогазодинамике обозначается латинской буквой

+ а) Q;

б) V;

в) P;

г) H.

3) Уравнение Бернулли для идеальной жидкости имеет вид

4) Член уравнения Бернулли, обозначаемый буквой z, называется

+ а) геометрической высотой;

б) пьезометрической высотой;

в) скоростной высотой;

г) потерянной высотой.

5) Член уравнения Бернулли, обозначаемый выражением называется

а) пьезометрической высотой;

+ б) скоростной высотой;

в) геометрической высотой;

г) такого члена не существует.

6) Уравнение Бернулли для реальной жидкости имеет вид

7). Расход потока измеряется в следующих единицах

а) мі;

б) мІ/с;

в) мі с;

+ г) мі/с.

8) В каком случае давление струи на площадку будет максимальным

б) +

9) Что является источником потерь энергии движущейся жидкости?

а) плотность;

+б) вязкость;

в) расход жидкости;

г) изменение направления движения.

10) Что такое сопло?

а) диффузор с плавно сопряженными цилиндрическими и коническими частями;

б) постепенное сужение трубы, у которого входной диаметр в два раза больше выходного;

+в) конфузор с плавно сопряженными цилиндрическими и коническими частями;

г) конфузор с плавно сопряженными цилиндрическими и параболическими частями.

1. Башта Т. М., Руднев С. С., Некрасов Б. Б. и др. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: Учебник. 2-е изд., перераб. — М.: Машиностроение, 1982. — 423 с.

2. Копырин М. А. Гидравлика и гидравлические машины. — М.: Высшая школа, 1961. — 302 с.

3. Кременецкий Н. Н., Штеренлихт Д. В., Алышев В. М. и др. Гидравлика: Учебник. — М.: Энергия, 1973. — 424 с., с ил.