Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Реферат по курсу общая электротехника и электроника На тему:

«Операторный метод расчета переходных процессов в линейных цепях«

1. Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов

2. Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения

3. Законы цепей в операторной форме

4. Эквивалентные операторные схемы замещения Список литературы

Электротехника — это наука о техническом (т.е. прикладном) использовании электрических и магнитных явлений. Большое значение электротехники заключается в том, что средствами электротехники

— эффективно получают и передают электроэнергию;

— решают вопросы

· передачи и преобразования сигналов и информации: звук человеческой речи преобразуют в электромагнитные колебания (телефон, радио);

· хранения информации (телеграф, радио, магнитная запись);

— выполняют математические операции: вычислительные машины с огромной скоростью выполняют любые математические операции, в том числе и решение сложных уравнений.

Теоретические основы электротехники заложены физикой (учением об электричестве и магнетизме) и математикой (методами описания и анализа электромагнитных явлений). Наряду с этом развитие электротехники привело к ряду новых физических понятий, новых формулировок физических законов, к развитию специальных математических методов, связанных с описанием и анализом типичных явлений, протекающих именно в электротехнических устройствах.

1 Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов

Этот метод основан на преобразовании Лапласа. Пусть f(t) — оригинал, а F(p) — изображение этого оригинала по Лапласу. Для сокращения применяют такие обозначения: f(t)F(p), F(p)=

Прямое преобразование Лапласа определяется интегралом:

Для большого числа функций составлена таблица соответствия изображения и оригинала, кроме того, знание свойств преобразований Лапласа позволяет по небольшому числу выученных изображений находить широкий класс изображений функций.

Основными свойствами являются:

1. Свойство линейности

=, ,

2. ,

3. .

Последними двумя свойствами очень удобно решать дифференциальные уравнения.

Смещение аргумента:

- ,

— .

Свертка:

— .

Предельные соотношения

Они позволяют не находя всего оригинала по изображению найти значение оригинала при t=0 и t> ?.

и .

Если известно изображение, то можно перейти к оригиналу одним из трех способов:

1) взять обратное преобразование;

2) взять таблицу;

3) воспользоваться формулами разложения.

Изображение стандартных функций:

1) Ступенчатое воздействие

.

2) Дельта-импульс

.

Если ступенчатая функция и д-импульс заданы в момент t₁, используя теорему смещения, получают:

.

3)

Пусть б=jщ, тогда:

,

с другой стороны по формулам Эйлера:

.

Изображение синусоиды с нулевой начальной фазой:

.

2 Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения

Эти формулы позволяют найти оригинал, если изображение задано дробно-рациональной функцией:

Собственно формулу разложения можно применять только в том случае, когда высшая степень знаменателя выше высшей степени числителя. Если это не так, то сначала нужно поделить числитель на знаменатель, что и позволит привести F(p) к требуемому виду.

Пример:

.

Если m<n, то изображение записывают в виде: .

Характеристическое уравнение — выражение F₂(p)=0 и, в зависимости от корней в оригинале, появляются соответствующего вида слагаемые, каждое из которых соответствует простейшей дроби.

Чтобы не искать коэффициенты дробей из систем уравнений, пользуются формулами разложения. Они имеют вид:

1) Каждому простому корню характеристического уравнения в оригинале, будет соответствовать слагаемое, где;

2) Среди корней есть пара комплексно сопряженных:,. Можно воспользоваться предыдущей формулой для каждого корня, но проверка показывает, что коэффициенты перед exp оказываются к.с.ч. и можно упростить процедуру, записывая ответ сразу для двух корней в виде:, где — корень с положительной мнимой частью.

Пример:

,

.

3) Среди корней есть кратные или одинаковые, в этом случае для группы кратных корней получаются сложные выражения, но если таких корней всего два, им в оригинале будет соответствовать такая запись:

Пример:

Из примеров видно, что корню p_х=0 в оригинале соответствует величина, которую в классическом методе называют принужденной составляющей. Используя все вышеизложенное, можно в таком порядке рассчитывать переходной процесс.

(1) В схеме до коммутации находят и .

(2) Для схемы после коммутации записывают полную систему уравнений Кирхгофа и применяют к ней прямое преобразование Лапласа. В результате получают систему операторных уравнений.

(3) Из этой системы находят изображение искомой величины и переходят к оригиналу. Так обычно поступают, когда вся схема описывается одним уравнением. В сложных цепях этот путь не эффективен, так как он позволит убрать только один недостаток классического метода (поиск начальных условий). Второй недостаток — уравнения можно писать только по законам Кирхгофа — остался. Чтобы и его убрать, формулируют в операторной форме законы цепей и строят операторные схемы замещения.

3 Законы цепей в операторной форме

Применим к законам Кирхгофа для мгновенных значений прямое преобразование Лапласа.

Пример:

В некоторой схеме для некоторого узла имеем уравнение:. Изображение источника легко находится (см. начало операторного метода). Например, если .

Пусть в некотором контуре выполняется уравнение:

.

Тогда применяя преобразования Лапласа, получим:

4 Эквивалентные операторные схемы замещения

Анализ полученных выражений позволяет раз и навсегда нарисовать операторные схемы замещения элементов, из которых можно строить операторную схему замещения всей послекоммутационной схемы.

Из примеров видно, что источник тока отображается изображением источника тока, а ЭДС — изображением источника ЭДС.

Если бы в схеме был управляемый источник, то. Аналогично с управляемым источником тока. Для учета взаимных индуктивностей можно поступить аналогично, при этом в схеме замещения появятся дополнительные источники ЭДС и .

Если же до коммутации в индуктивностях тока не было (расчет переходной и импульсной характеристики, передаточной функции), то никаких дополнительных источников не появится, а просто надо будет по прежним правилам учитывать напряжение взаимной индукции.

Пример:

С учетом сказанного, под операторным методом понимают такой порядок действий.

1) В схеме до коммутации рассчитывают и .

2) Рисуют операторную схему замещения цепи после коммутации.

3) Самым эффективным методом находят изображение той величины, которую надо найти.

4) Переходят от изображения к оригиналу.

1. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С. М. Милюков, В. П. Рынин; Под ред. В. П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с., 2004. 20 с. (№ 3282, № 3624)

2. Основы теории цепей: Методические указания к курсовой работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: В. Н. Зуб, С. М. Милюков. Рязань, 2005. 16 с.

3. Основы анализа и расчета линейных электрических цепей: Учеб. пособие/ Н. А. Кромова. -2-е изд., перераб. и доп.; Иван. гос. энерг. ун-т. -Иваново, 1999. -360 с.

4. Голубев А. Н. Методы расчета нелинейных цепей: Учеб. пособие/ Иван. гос. энерг. ун-т. -Иваново, 2002. -212 с.

5. Теоретические основы электротехники. / Г. И. Атабеков, С. Д. Купалян, А. В. Тимофеев, С. С. Хухриков.-М.: Энергия, 1979. 424 с.

6. М. Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.