" ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ"

Введение

1. Содержание и задачи курса.

Основная задача автоматизации состоит в осуществлении автоматического управления технологическими или производственными процессами.

Изучение законов управления технологическими процессами составляет предмет области автоматического управления (регулирования).

Управление, имеющее своей задачей изменение по заданному закону или поддержание в установленных пределах физической величины, называется регулированием.

Теория автоматического управления (регулирования) ставит своей задачей познакомить студентов с общими принципами построения систем автоматического управления, с правилами и методами исследования процессов в этих системах.

2. Основные понятия и определения.

При решении любой задачи управления необходимо рассматривать объект управления.

Объектом управления может быть техническое устройство, технологический процесс или более простая система управления. Состояние объекта управление определяется рядом величин, характеризующих как воздействия на объект внешней среды и управляющих устройств, так и протекание процессов в нутрии объекта.

Внешнее влияние на объект — воздействие.

Воздействие, вырабатываемое управляющим устройством — управляющее воздействие. Воздействие, не зависящее от системы управления — возмущение.

Контролируемые величины, характеризующие состояние объекта, по которым ведётся управление, называется управляемыми (регулируемыми).

Блок схема объекта управления представлена на рисунке:

ОУ — объект управления;

x (t) — управляющее воздействие;

f (t) — возмущение;

y (t) — регулируемые величины.

При изображение системы управления (регулирования) применяются два принципа: функциональный и структурный.

Функциональная схема — блок-схема системы, заданная функциональным назначением элементов.

Структурная схема — блок-схема системы, заданная математическими характеристиками элементов.

3. Принципы регулирования.

В зависимости от способов формирования регулирующего воздействия различают следующие принципы регулирования:

— принцип по возмущению;

— принцип по отклонению регулируемой величины от заданного значения;

— комбинированный принцип регулирования.

Функциональная схема систем автоматического регулирования (САР) с принципом регулирования по возмущению имеет вид:

д (t) — действительное значение регулируемой величины;

б (t) — заданное значение регулируемой величины;

f (t) — возмущение;

м (t) — управляющее воздействие;

П — преобразователь;

ИЭ — измерительный элемент;

СУ — суммирующее устройство;

Зд — задатчик;

УУ — управляющее устройство;

ИМ — исполнительный механизм;

ОР — объект регулирования.

Принцип регулирования по возмущению состоит в том, что для уменьшения ли для устранения отклонения регулируемой величины от требуемого значения, вызываемого возмущающим воздействием, это воздействие измеряется с помощью измерительного элемента, преобразуется с помощью П, СУ, УУ и ИМ в регулирующее воздействие [м (t)], которое будучи приложено ко входу объекта регулирования, вызывает компенсирующее отклонение регулируемой величины противоположного знака по сравнению с отклонением, вызываемым возмущающим воздействием. Связь по возмущению [ ИЭ и П ], суммирующее устройство (СУ), управляющее устройство (УУ) и исполнительный механизм (ИМ) образуют автоматическое регулирующее устройстворегулятор.

Достоинство принципа по возмущению состоит в том, что возмущающее воздействие может быть устроено до того, как возникает рассогласование. Однако регулятор в таких системах реагирует только на один вид возмущения, поэтому возникает необходимость иметь на одном объекте столько регуляторов, сколько возмущений вызывает отклонение регулируемой величины.

Принцип регулирования по отклонению реализуется следующей функциональной схемой:

ЭС — элемент сравнения Принцип регулирования по отклонению состоит в том, что измеряется регулированная величина [д_oc(t)], сравнивается с требуемым значением (задающим воздействием) [б (t)] и выявляющееся при этом отклонение [Д (t)] преобразуется в регулирующее воздействие [м (t)]. Последнее, влияя на объект регулирования, стремится уменьшить или устранить это отклонение. ИЭ, ЭС, УУ, ИМ образуют регулятор.

В отличие от САР с принципом по возмущению здесь регулирующее воздействие является функцией не возмущающего или задающего воздействия, а отклонения регулируемой величины, вызванного этим воздействием.

Измерительный элемент, который измеряет регулируемую величину на выходе объекта и подает её на элемент сравнения (вход системы) образует главную обратную связь. Как видно из рисунка, в САР с принципом по отклонению регулируемая величина через главную обратную связь поступает на элемент сравнения (вход системы), т. е. САР с принципом по отклонению является замкнутой.

Замкнутые САР реагируют на любые возмущения, приводящие к изменению регулируемой величины, и в этом их достоинство.

Недостатком замкнутых САР является то, что при определенных условиях они могут оказаться неустойчивыми.

Принцип комбинированного регулирования сочетает принцип регулирования по отклонению и по возмущению.

В комбинированных системах принцип по отклонению реализуется с помощью главной обратной связи, а принцип регулирования по возмущению — с помощью связи по возмущению.

В комбинированных системах одновременно возможно достижение поной компенсации отклонений, вызываемых основными возмущающими воздействиями, а также уменьшение отклонений, вызываемых второстепенными возмущениями. Первые системы применяют, когда на объект действует 1−2 возмущения. Замкнутые САР — когда на ОР действует большое количество приблизительно одинаковых по величине возмущений. Наконец, комбинированные САР — когда среди большого количества возмущений можно выделить 1−2 максимальных по амплитуде.

4. Классификация замкнутых САР.

Замкнутые САР по характеру изменения задающего воздействия принято делить на:

I. Системы стабилизации — системы поддержания постоянства управляемой величины.

у (t) = const

f (t)= var

II. Системы программного регулирования — системы, у которых задан алгоритм функционирования или задан закон изменения регулируемой величины.

у (t)=F (t)

f (t)= var

III. В следящих системах алгоритм функционирования заранее неизвестен, регулируемая величина в таких системах должна воспроизводить изменение некоторого внешнего фактора, следить за ним.

у (t) = var

f (t)= var

IV. Системы с поиском экстремума показателя качества.

В ряде процессов показатель качества или эффективность процесса может быть выражен в каждый момент времени функцией текущих координат системы, и управление можно считать оптимальным, если оно обеспечивает поддержание этого показателя в точке max (min).

Элементы линейной теории автоматического регулирования

После выбора элементов функциональной схемы требуется произвести ее расчет с целью обеспечения заданных показателей качества работы САР. Этим занимается линейная теория автоматического регулирования (ЛТАР). С точки зрения ЛТАР безразлично, из каких элементов составлена САР, важно лишь математическое описание этих элементов.

Для получения математического описания системы обычно составляют описание её отдельных элементов. В частности, для получения управления системы, составляют уравнения отдельных элементов. Совокупность этих уравнений и даёт уравнение системы.

Уравнения, а также структурные схемы автоматической системы называют ее математической моделью.

Математические модели описывают элементы и системы автоматического регулирования в двух режимах: установившемся — статике и переходном — динамике.

Тема 1

Математическое описание САР в статике и динамике

1.Модели статики. Понятие о линейных элементах. Линеаризация реальных элементов САР, её способы и предпосылки.

Статикой называется установившийся режим звена или системы, при котором входной и выходной сигналы звена (или системы) постоянны во времени.

Поведение звена (системы) в статике наглядно отражается его статической характеристики, под которой понимается зависимость между установившимися значениями выходной и входной величин.

y вых. уст. = f (x вх. уст.)

По виду статической характеристики различают линейные и нелинейные звенья. Статическая характеристика линейного звена представляет собой уравнение прямой линии:

yвых = kxвх+ yo ,

где k = tg б

Звенья, статические характеристики которых не являются прямыми линиями, называются нелинейными.

В основном все звенья в природе являются нелинейными.

Вопрос линейности статических характеристик имеет чрезвычайно важное значение. Дело в том, что в динамике САР описываются дифференциальными уравнениями. И если в САР входит нелинейное звено, дифференциальное уравнение получается нелинейным. Решение нелинейных дифференциальных уравнений — процесс трудоёмкий и сложный. Поэтому на практике нелинейные элементы заменяют их линейными моделями для облегчения их описания. Этот процесс называется линеаризацией. Итак, линеаризация нелинейного звена — замена его линейной моделью с сохранением основных свойств нелинейного звена. Простейшими методами линеаризации являются метод касательной, метод секущей и кусочно-линейная линеаризация.

При линеаризации касательной полагают, что в процессе работы объекта рабочая точка статической характеристики будет совершать лишь незначительные колебания вокруг номинального режима и, следовательно, характеристику можно заменить касательной к характеристике в точке, А (системы стабилизации).

Для получения уравнения касательной перенесем начало координат в точку, А и запишем уравнение касательной в отклонениях от точки номинального режима:

у = kх Величина — отношение выходной величины к входной — статический коэффициент передачи. Для нелинейных звеньев «к» — величина не постоянная и зависит от положения рабочей точки А.

Метод секущей, может быть, применим к объектам, имеющим нелинейную статическую характеристику, кососимметричную относительно начала координат.

Характеристику такого типа можно заменить линейной секущей АА, причём провести её нужно так, чтобы ошибки? _1,? _2,? _3,? ₄ были минимальными.

Метод кусочно-линейной линеаризации применим для нелинейных объектов, статические характеристики которых могут быть представлены в виде суммы отрезков линейных характеристик (1, 2, 3, 4, 5).

Для каждого отрезка характеристики справедливо линейное дифференциальное уравнение. Переход от одного участка к другому осуществляется «припасовыванием» отдельных решений. При этом решение для конца одного участка является начальным условием для следующего и т. д.

В статике все звенья можно разделить на два больших класса: статические и астатические. Статические звенья — звенья, поведение которых в статике описывается статической характеристикой типа y_вых = kx_вх

Существует большой класс звеньев, для которых статическую характеристику не удается получить, т. е. в зависимость y_вых = f (x_вх) входит время. Такие объекты называются астатическими. Условно в качестве статической характеристики для астатических звеньев считают зависимость: т. е. в астатических объектах каждому значению входного сигнала соответствует определенная скорость входного сигнала.

2. Динамические характеристики линейных элементов и систем: переходные и весовые функции; частные характеристики, их применение и получение.

Динамика — в общем, философском смысле слова, движение. В динамике выходная величина звена (системы) изменяется во времени вследствие изменения входной величины. Связь между входным и выходным параметрами в отдельном элементе (или системе) в динамике описывается дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение аналитически выражает характер изменения во времени выходного параметра при определенном виде входного параметра.

В общем виде дифференциальное уравнение может быть записано следующим образом:

где m? n (условие физической реализуемости).

Решение дифференциальных уравнений высоких порядков представляет известные трудности, поэтому сделаны попытки упростить, решение дифференциальных уравнений. Для этого применяют операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что функции действительного переменного х (t) ставится в соответствие функция комплексного переменного x (p), т. е.

x (t)x (p), где x (t) — оригинал; x (p) — изображение.

Операция преобразования записывается так: L{x (t)}=x (p).

Соответствие выражается интегралом Лапласа:

Таким образом, с помощью этого интеграла можно от функции x (t) перейти к функции (p).

Для того, чтобы записать дифференциальное уравнение в операторной форме, найдем преобразование производной:

L {x'(t)} = ?

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

По формуле интегрирования по частям:

U = e^-pt; dV = x'(t)dt;

dU = -pe^-ptdt; V = x (t),

тогда

начальные условия, которые будем считать нулевыми.

При нулевых начальных условиях справедливо утверждение:

Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на оператор p:

Это свойство Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому и ввести понятие передаточной функции линейного элемента (системы):

a_npⁿy_вых(p) + a_n-1p^n-1y_вых(p) + … + a₁py_вых(p) + a₀y_вых(p)=b_mp^mx_вх(p) + … + b₁px_вх(p) + +b₀x (p)

Далее уравнение решается как обыкновенное алгебраическое:

Операции нахождения оригинала выходной величины по изображению, называется обратным преобразованием Лапласа:

Обратное преобразование совершается с помощью следующего интеграла:

Для облегчения задачи нахождения оригинала по изображению созданы таблицы преобразования Лапласа, позволяющие не решая интеграла, находить оригинал по изображению и обратно.

Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией:

Статистический коэффициент передачи тоже есть отношение выхода ко входу, но в установившемся режиме, т. е. ,

следовательно, k — частный случай W (p), т.к. в статике, то и p=0, следовательно:

Временные характеристики звена (системы) представляют собой изменение выходной величины во времени при передаче на ее вход типового апериодического воздействия. В качестве последнего используют единичное ступенчатое воздействие или единичный импульс.

При единичном ступенчатом воздействии входная величина мгновенно возрастает от 0 до 1 и далее остается неизменной, т. е.

Реакция звена на единичную ступенчатую функцию называется переходной характеристикой звена (обозначается h (t))

Очевидно h (t) представляет решение дифференциального уравнения для единичного ступенчатого входного сигнала.

Выражение для h (t) может быть получено из передаточной функции W (p).

По определению:

т. е.

Оригинал переходной характеристики находится из таблицы:

Реакция звена на единичный импульс [д (t) — дельта — функция] называется импульсной переходной характеристикой (весовой функцией).

Дельта — функцию [д (t)] определяют как импульс, длительность которого равна 0, амплитуда —, а площадь 1, т. е. д (t) можно определить как производную от 1(t):

Весовую функцию (обозначают щ (t)) также можно найти из передаточной функции звена (системы).

Оригинал весовой функции находится из таблиц преобразования Лапласа:

Частотные характеристики определяют поведение звена (системы) при подаче на его вход гармонического (синусоидального) сигнала.

Пусть x_вх(t)=A_вхsin щt, где А_вх=const, щ — круговая частота входного сигнала.

На выходе звена (системы) тоже появится гармонический (синусоидальный) сигнал, амплитуда и фаза которого будут другими, зависящими от частоты входного сигнала.

y_вых(t)=A_вых(щ)sin[щt+ц_вых(щ)]

Зависимость отношения выходного сигнала к входному от частоты входного сигнала называется комплексной передаточной функцией звена (системы).

Нас интересует одновременная зависимость 2-х величин: А_вых и ц_вых, поэтому входной и выходной сигналы удобно рассматривать в комплексной плоскости, а для их описания применить аппарат теории функций комплексного переменного.

Синусоидальный входной сигнал можно изобразить вектором ОА на комплексной плоскости, вращающимся вокруг начала координат.

x_вх(t)=A_вхsint;

Тогда ;

По аналогии: ;

По определению комплексная передаточная функция[K (jщ)] может быть записана как

;

Выражение K (j) можно найти из дифференциального уравнения системы:

x_вх(t) = А_вх e^{j t};

у_вых(t) = А_вых()e^{j[t + вых()]};

Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, найдем К (j)

Сравнив это выражение с выражением передаточной функции будем определять комплексную передаточную функцию звена (системы) из передаточной функции заменив в ней оператор «р» на оператор «j»,

Из выражения K (j) видим, что каждой частоте соответствует вектор K (j), который при изменении частоты от 0 до описывает в комплексной плоскости кривую (годограф), называемую амплитудно-фазо-частотной характеристикой звена (системы) (АФЧХ).

АФЧХ показывает одновременно, как изменяется амплитуда и фаза выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала.

Можно построить отдельно амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики, показывающие как изменяется амплитуда и фаза в функции от частоты ().

Тема 2 Типовые динамические звенья САР

По виду динамических характеристик звенья САР делятся на

1. Безинерционные (усилительные или статические) звенья.

К безинерционным звеньям относят элементы, которые в динамике описываются дифференциальным уравнением нулевого порядка вида

y_вых(t) = kх_вх(t), (1)

где k-статический коэффициент передачи звена.

Для получения выражения передаточной функции запишем уравнение (1) в операторной форме (на основании основного свойства преобразования Лапласа:)

y_вых(p) = kx_вх(p)

По определению передаточная функция находится как отношение выхода ко входу в операторной форме при нулевых начальных условиях:

(2)

Из передаточной функции найдем статический коэффициент передачи звена (в статике все производные равны 0)

Выражение передаточной функции совпадает со статическим коэффициентом передачи, поэтому звено называют статическим.

Из передаточной функции находят переходную и весовую функции в операторной форме:

(3)

Оригинал переходной характеристики находят из таблиц преобразования Лапласа.

Переходная характеристика безинерционного звена имеет вид:

Весовая функция в операторной форме

щ (p)=W (p) (4)

Оригинал весовой функции

щ (t) = L^-1 {k } = k (t)

д (t) — дельта-функция импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, площадь которого равно 1.

Частотные характеристики звена найдем из выражения комплексной передаточной функции:

(5)

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики звена имеют вид:

АЧХ:

ФЧХ:

Графическое изображение частотных характеристик представлено на рисунках:

АФЧХгодограф вектора K (j) в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

2. Инерционное звено первого порядка.

В динамике описывается дифференциальным уравнением первого порядка, которое может быть приведено к виду:

(1)

где T — постоянная времени звена;

k — статический коэффициент передачи звена;

В операторной форме уравнение имеет вид:

Т py (p) + y (p) = kx (p)

А передаточная функция находится как:

Статический коэффициент передачи звена:

Переходная характеристика в операторской форме:

(3)

Оригинал переходной характеристики:

Графическое изображение переходной характеристике имеет вид:

Касательная к начальной точке переходной характеристики отсекает на линии установившегося режима отрезок, равный Т.

T — время, за которое выходная величина достигает установившегося значение, если изменяется с начальной постоянной скоростью.

Весовая функция инерционного звена первого порядка в операторной форме

(4)

Оригинал весовой функции находит из таблиц преобразования Лапласа:

Частные характеристики звена находим из выражения К (j):

Амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристи находим следующим образом:

_вых(w) = arg K (j) = - arctg

Графический вид характеристик показан на рисунки:

3. Идеальное дифференцирующее звено.

Дифференциальное уравнение звена:

(1)

Уравнение в операторной форме:

y_вых(р) = kpx_вх(p)

Передаточная функция:

(2)

т.е. в статике идеальные дифференцирующие звенья отсутствуют. Применяются такие звенья при реализация гибких обратных связей (в статике характеристике равны 0, динамические характеристики отмечаются от 0).

Переходная характеристика звена в операторной форме:

(3)

Оригинал переходной характеристики находим из таблиц:

h (t) = L^-1 {k} = k (t).

Частотные характеристики звена определим из выражения K (jw):

(4)

АЧХ: A_вых() = K (j)_Aвх=1 = k ,

ФЧХ: _вых() = arg K (j) = +/2,

то есть дифференцирующее звено вносит в систему опережение по фазе, равное 90^о.

Графический вид характеристик дифференцирующего звена:

4. Идеальное интегрирующее звено.

Дифференциальное уравнение звена:

Уравнение в операторной форме:

py_вых(p) = kx_вх(p)

Передаточная функция и статический коэффициент передачи:

то есть интегрирующее звено не имеет статической характеристики в явно выраженной форме, она не определена. В статике такое звено является астатическим.

Условная статическая характеристика (статический коэффициент) может быть определена:

Переходная характеристика в операторной форме Оригинал переходной характеристики:

Частотные характеристики звена определяются из

А_вых() = | K (j) |_Авх=1 = k/ _вых() = arg K (j) = - /2

5. Инерциальное звено второго порядка. Колебательное звено.

Дифференциальное уравнение инерциального звена второго порядка:

в операторной форме:

Т²₂p²y_вых(p) + T₁py_вых(p) + y_вых(p) = kx_вх(p)

Передаточная функция:

Переходную характеристику звена можно найти классическим способом, решая дифференциальное уравнение звена, когда в правой части 1(t)=x_вх(t)

Решение однородного уравнения определяются корнями характеристического уравнения звена, которое имеет вид:

Т²₂p² + T₁p + 1 = 0

Возможно два случая:

1) Т₁2Т₂ (Т₁/2Т₂ = d 1); p_1,2 = - _1,2

В этом случае полное решение уравнения, т. е. переходная характеристика, может быть записана следующим образом:

где С₁, С₂ — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Характеристика звена в этом случае имеет вид:

Звено в этом случае называется инерционным второго порядка.

2) T₁ < 2T₂ (T₁/2T₂ = d < 1) p_1,2 = - j .

В этом случае в общем виде переходную характеристику можно записать как:

h (t) = k [1 + Ae-^t sin (t +)],

где, А и определяются из начальных условий.

Переходная характеристика в этом случае представляется затухающими колебаниями, и звено в этом случае называется колебательным звеном.

Переходные характеристики звена второго порядка можно определить также в операторной форме из передаточной функции, а оригинал найти из таблиц преобразования Лапласа.

Уравнение звена второго порядка для случая T₁/2T₂<1 переписывается через параметры колебательного звена в виде:

где ₀ — частота собственных колебаний звена; d-коэффициент затухания. Параметры колебательного звена связаны с параметрами инерционного звена второго порядка соотношениями:

Частотные характеристики звена определяются из комплексной передаточной функции:

ФЧХ:

Тема 3

Структурные схемы САР. Правила структурных преобразований

При математическом описании САР обычно изображают в виде блок-схемы и для каждого «блока» (элемента) записывают уравнения, исходя из физических законов, которым подчиняются процессы в нём. Структурную схему можно составить на основании этой блок-схемы и полученных уравнений (передаточных функций). И дальнейшие преобразования необходимые для получения уравнений и передаточных функций системы проще и нагляднее производить по структурной схеме.

1. Последовательное соединение звеньев.

При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием последующего звена.

При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией W_экв(p), которую находят следующим образом:

Записывают уравнения последовательно соединенных звеньев:

x₁(p)= x (p)•W₁(p); x₂(p)= x₁(p)•W₂(p), …;

y (p)=x_n-1(p)•W_n(p).

Исключив из этой системы x₁, x₂, …, x_n-1, получим:

y (p)= W₁(p)•W₂(p)• … •W_n(p)•x (p);

откуда т. е. передаточная функция последовательного соединения звеньев определяется как произведение передаточных функций звеньев, включенных последовательно.

2. Параллельное соединение звеньев.

При параллельном соединении на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходящие величины алгебраически складываются:

Эту цепь нужно заменить одним звеном с передаточной функцией W_экв(p):

Составим уравнения для каждого из звеньев цепочки:

x₁p)= x (p)•W₁(p); x₂(p)=x (p)•W₂(p); … ;

x_n(p)=x (p)•W_n(p); y (p)=x₁(p)x₂(p)…x_n(p)

Исключив из этой системы x₁, x₂,…, x_n, получим:

y (p)=x (p)[W₁(p)+W₂(p)+…+W_n(p)], откуда т. е. передаточная функция параллельного соединения звеньев определяется как алгебраическая сумма передаточных функций звеньев, включенных паралле

3. Звено, охваченное обратной связью.

Звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на выход.

Необходимо заменить эту цепочку эквивалентным звеном с передаточной функцией W_экв (p).

Уравнения, описывающие эту цепочку звеньев:

y (p) = (p) W_nр(p); x_ос(p) = y (p) W_ос(p);

(p) = x (p) x_ос(p).

Отсюда уравнения, связывающие выход и вход системы:

y (p)=[x (p)y (p)•W_ос(p)]•W_пр(p)

или Передаточная функция замкнутой цепи равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (о.о.с.) или минус (п.о.с.) передаточная функция цепи обратной связи, умноженная на передаточную функцию прямой цепи.

4. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы.

Пусть исследуемая система имеет следующую структурную схему:

Используя правила структурных преобразований, приведем исходную систему к одноконтурной:

Замкнутая система называется одноконтурной, если при её размыкании в какой-либо точке получается цепь, не содержащая параллельных и обратных связей.

Рассмотрим полученную одноконтурную систему.

Найдём передаточную функцию по входу x (p) и выходу y (p).

Участок по ходу сигнала от точки приложения входного воздействия до точки съёма выходного сигнала назовем прямой, а цепь при отсутствии обратной связи — разомкнутой цепью.

Передаточная функция одноконтурной системы с отрицательной обратной связью определяется как:

5. Статика САР. Способы уменьшения статизма.

Описания линейной системы в статике можно получить, зная передаточную функцию системы. Поскольку структурные схемы в статике можно получить из структурных схем в динамике, заменить в передаточные функции звеньев статическими коэффициентами передачи, найденными по этой формуле.

Правила структурных схем, справедливые для динамики, можно применить и для структурных преобразований в статике.

Качество систем автоматического регулирования в статике определяется статической ошибкой — разница между заданным и действительным значениями регулируемой величин в установившемся режиме.

Пусть структурная схема САР в статике имеет вид:

По определению статическая ошибка = x_уст — y_уст. Найдем Д через параметры системы

Тогда

где k_р· k_о = k_раз — статический коэффициент передачи разомкнутой системы.

Тогда зависит не только от параметров системы, но и от входного сигнала.

Поэтому для оценки качества САР применяют относительную статическую ошибку — статизм, которую определяют как отношение абсолютной статический ошибки к заданному значению регулируемой величины.

Качество системы в статике тем лучше, чем меньше статическая ошибка, которая зависит от величины k_раз.

Для уменьшения статической ошибки нужно:

1. Увеличивать k_раз. Однако увеличение k_раз ведёт к уменьшению запаса устойчивости поэтому увеличивать k_раз нужно очень осторожно;

2. Включать в прямую цепь регулирования астатического (интегрирующего) звена.

3.

Астатическое звено уменьшает статическую ошибку системы до 0. Систему с нулевой статической ошибкой (при отсутствии остаточного отклонения между заданными и действительными значениями регулируемой величины) называется астатической.

Система с наличием статической ошибки (при наличии остаточного отклонения между заданными и действительными значениями регулируемой величины) называется статической.

Тема 4

Устойчивость систем автоматического регулирования

1. Физическое и математическое определение устойчивости.

Система автоматического регулирования называется устойчивость, если после снятия возмущающего воздействия, которое вывело её из состояния равновесия, она вновь возвращается в состояние равновесия. Если система не возвращается в состояние равновесия после снятия возмущения, она неустойчива.

устойчивая система (кривые 1, 2)

неустойчивая (3).

Для определения математического условия устойчивости САР необходимо решить дифференциальное уравнение системы, когда правая часть этого уравнения равна 0 (при снятии возмущающего воздействия), и посмотреть, как ведет y_вых (t) при t .

Пусть

Тогда дифференциальное уравнение системы в операторной форме:

a_npⁿy (p) + … + a₁py (p) + a_oy (p) = b_mp^mx (p) + … + b₁px (p) + b_ox (p)

Оригинал дифференциального уравнения:

Для определения устойчивости системы, описываемой этим уравнением, снимем возмущения x (t)=0 и решим уравнение:

Для этого запишем характеристическое уравнение:

H (p) = a_npⁿ + … + a₁p + a_o = 0.

Как видно из последнего выражения, характеристическое уравнение звена или системы — это знаменатель передаточной функции звена или системы, приравненный к нулю.

Если p₁, p₂, …, p_n — корни характеристического уравнения, то решение этого уравнения имеет вид:

где C_i — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Рассмотрим отдельные случаи решения дифференциального уравнения:

1) p₁, p₂, …, p_n — отрицательные действительные корни: p_i = -_i. Решение уравнения в этом случае:

.

2) p₁, p₂, …, p_n — положительные действительные корни: p_i = +_i.

— решение уравнения в этом случае

.

3) p₁, p₂, …, p_n — корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью:

p_i = - _i j_i .

4) p₁, p₂, …, p_n — корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью:

p_i = + _i j_i

Анализируя все случаи решения дифференциального уравнения для случая x (t) = 0, можно сделать вывод:

система автоматического регулирования устойчива, если все корни ее характеристического уравнения отрицательные действительные или комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью. Если же среди корней характеристического уравнения системы имеется хотя бы один положительный действительный корень или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью, такая система неустойчива.

Математические правила, позволяющие определить знаки корней алгебраического (характеристического) уравнения, не решая это уравнение, в ТАУ называют критериями устойчивости.

2. Алгебраический критерий Гурвица.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Система автоматического регулирования устойчива, если все коэффициенты её характеристического уравнения имеют одинаковые знаки, а главный диагональный определитель системы (определитель Гурвица) и его диагональные миноры будут положительными.

Пусть — характеристическое уравнение системы;

1) Необходимые условия: а₀ > 0, а₁ > 0,…, а_n 0 или а₀<0, а₁<0,…, а_n<0.

2) Для проверки достаточного условия, составляют из коэффициентов уравнения главный диагональный определитель:

— по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго.

— столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициенты с последовательно убывающими индексами;

столбцы вниз — коэффициентами с последовательно возрастающими индексами;

— i^ый диагональный минор получают отчёркивая i^ый столбец и i^ую строку.

Для исследуемой системы:

₁= а_n-1>0;

₂= = а_n-1 а_n-2 — а_n а_n-3 >0;

₃= >0; _n= >0;

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является Н (р), следовательно, по Гурвицу определяют устойчивость замкнутых и разомкнутых систем.

Пример 1. Определить по Гурвицу устойчивость системы первого порядка, заданной характеристическим уравнением:

Н (р)=а₁р+а₀=0

1)а₁ >0; а₀ >0

2)=| а₀| >0, т. е. для того, чтобы система первого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 2. Определить по Гурвицу устойчивость системы второго порядка заданной характеристическим уравнением:

Н (р)=а₂р²+а₁р+а₀=0

1)а₁> 0; а₂>0; а₀>0

2)₂= = а₁ а₀ — а₂ 0 >0

т.е. для того чтобы система второго порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 3. Определить по Гурвицу устойчивость системы, заданной следующей структурной схемой:

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является характеристическое уравнение замкнутой САР, которое находится как знаменатель ее передаточной функции.

где:

Первое условие:

Второе условие:? =

?₁ = а₂ >0, если выполняется первое условие;

?₂= = а₂ а₁ — а₃ а₀ >0, в этом случае система устойчива;

?₃ = (-1)³⁺³ а₀ ?₂^>0 всегда, если а₂>0 и выполняется первое условие.

Для того, чтобы система третьего порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения имели одинаковые знаки, а произведение внутренних коэффициентов было больше произведения крайних.

Но может оказаться, что а₂<0, тогда система неустойчива, и ее необходимо скорректировать, не прибегая к структурной коррекции. Это, возможно меняя статический коэффициент передачи разомкнутой САР. Для данной системы k_раз = b₀, а коэффициент характеристического уравнения а₀=f (k_раз).

В этом случае находят критическое значение k_раз, при котором система находится на границе устойчивости, т. е. ?₂=0.

?₂= а₂ а₁ — а₃ а_{0 кр}=0

а_{0 кр}= а₂ а₁/а₃

k_{раз кр} (для данной системы)= а_{0 кр} — 1

Выбирают k_{раз ск} < k_{раз кр} и а_{0 ск} = 1+ k_{раз ск}

?_{2 скор. сист.} а₂ а₁ — а₃ а_{0 ск} >0, т. е. скорректированная система устойчива.

3. Частотный критерий Михайлова.

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

(1)

Заменив в Н (р) оператор р на оператор jщ, получим вектор Н (jщ) Пусть p₁, p₂,…, p_n — корни характеристического уравнения. Тогда в соответствии с теоремой Безу характеристическое уравнение (1) можно переписать в виде:

или

Н (jщ) (2)

Величина (jщ-p_j) геометрически изображается векторами в комплексной плоскости, а Н (jщ) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов (jщ-p_i), модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов.

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным, тогда при изменении щ от 0 до? каждый элементарный вектор повернется на некоторый угол.

Пусть p₁ — отрицательный действительный корень («левый», т. е. слева от мнимой оси), равный «-б ₁». При изменении щ от 0 до ?

arg (jщp₁)

т. е. каждый «левый» действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении щ от 0 до? на угол в положительном направлении.

Если p₂ — положительный действительный корень («правый»), равный «+б₂», то при изменении щ от 0 до ?

arg (jщp₂)

т. е. каждый «правый» действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении щ от 0 до? на угол в отрицательном направлении.

Если p_3,4 — корень комплексно-сопряженный с отрицательной действительной частью равныеб₃ ± jв₃, то при изменении щ от 0 до ?

arg (jщp₃) (jщp₄)

т. е. пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении щ от 0 до? на угол +2(р/2).

Если p_5,6 — комплексно-сопряженные корни с положительной вещественной частью, равные +б₄ ± jв₄, то при изменении щ от 0 до ?

arg (jщp₅) (jщp₆)

комплексно-сопряжённых корней с положительной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении щ от 0 до? на угол 2р?2 в отрицательном направлении.

Анализируя выше изложенные случаи, можно сделать вывод:

Если система устойчива — все корни левые, и каждый даёт поворот на +р?2. Произведение векторов (jщ-p_i) — тоже вектор. При изменении щ от 0 до? его конец описывает кривую, называемую годографом Михайлова.

Следовательно, если все корни левые, угол поворота вектора характеристического уравнения (вектор Михайлова) равен сумме углов поворота векторов (jщ-p_i), который в свою очередь равен +nр?2. Если же хоть один корень правый, угол поворота вектора Михайлова меньше nр?2, где nпорядок характеристического уравнения.

Таким образом, критерий Михайлова формулируется так:

САР устойчива, если при изменении щ от 0 до? годограф Михайлова проходит последовательно n квадрантов, не обращаясь в 0, или САР устойчива, если при изменении щ от 0 до? вектор Михайлова поворачивается на угол nр?2 в положительном направлении, где nпорядок характеристического уравнения.

Годограф устойчивых систем

При увеличении статического коэффициента передачи разомкнутой САР, коэффициент а₀ растёт и годограф смещается вправо, параллельно самому себе. При некотором а_{0 кр} годограф проходит через начало координат. Это граница устойчивости. Очевидно а_{0 кр}=АВ, т. е. отрезку действительной оси, отсекаемому годографом Михайлова.

4. Частотный критерий Найквиста.

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутых САР по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой САР.

Замкнутая САР устойчива, если устойчива разомкнутая САР и её АФЧХ не охватывает точки с координатами (-1, j0)

Пусть W_раз=N (p)/M (p), тогда К (jщ)_раз=N (jщ)/M (jщ) — выражение для АФЧХ. Построим АФЧХ разомкнутой САР.

Пусть АФЧХ проходит через точку (-1, j0). Что это значит?

Пусть на выход разомкнутой САР подан сигнал x_вх=Аsinщt. При некоторой частоте щ, К (jщ1)=-1=1е^-jр, т. е. амплитуда сигнала на выходе системы равна амплитуде на входе. Далее: Отрицательная обратная связь сдвигает фазу колебаний нар, кроме того, сама система сдвигает фазу колебаний нар, т. е. общий сдвиг равен 2р. Входные и выходные колебания в фазе. Если замкнуть теперь САР, то выходные колебания совпадут с выходными. Входные можно отключить, а в системе всё равно останутся незатухающие колебания. Следовательно, САР находится на границе устойчивости.

Пусть К_об(jщ)=A_об е^jцоб

К_рег(jщ)=A_рег е^jцрег

тогда К_раз(jщ)= К_об(jщ)+ К_рег(jщ)=-1,

т.е А_об · А_рег = 1

ц_об + ц_рег = - р условие возникновения незатухающих колебаний

Если же АФЧХ охватывает точку (-1, j0), то при этом

А_об · А_рег >1

ц_об + ц_рег = -р и следовательно, возникнут расходящиеся колебания.

Если же А_об · А_рег <1

ц_об + ц_рег = -р, т. е АФЧХ не охватывает точку (-1, j0), в системе возникают затухающие колебания и система устойчива.

5. Структурно-неустойчивые (устойчивые) системы

автоматического регулирования.

Пусть структурная схема САР имеет вид:

Определим, используя критерий Найквиста, устойчивость данной системы. Для этого построим АФЧХ разомкнутой САР:

Из приведённого выражения видно, что АФЧХ разомкнутой САР совпадает с отрицательной полуосью и имеет направление из -? в 0

Замкнутая система, AФЧX разомкнутой которой имеет вид (*), неустойчива и будет оставаться неустойчивой при любых значениях параметров k₁ и k₂, т.к. будет иметь тот же вид. Такая система будет называться структурно неустойчивой, т.к. только изменяя структуру системы, можно сделать систему устойчивой.

Если охватить одно из интегрирующих звеньев жёсткой отрицательной обратной связью, АФЧХ разомкнутой системы изменится следующим образом:

Как видно из рисунка, К_{раз ск}(jщ) не охватывает точку (-1, j0) и не будет её охватывать ни при каких значениях параметров k₁ и k₂, т.к. никогда не пересечёт отрицательную действительную полуось. Таким образом, скорректированная система не просто устойчива, а структурно устойчива.

Признаком структурной неустойчивости системы является наличие двух интегрирующих звеньев в прямой цепи системы автоматического регулирования.

Тема 5

Качество САР

Устойчивость является необходимым, но не достаточным показателем САР. При исследовании систем автоматического регулирования приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирование, характеризующих точность и плавность протекания процесса.

Показатели качества принято определять по кривой переходного процесса и называть прямыми. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически (как решение дифференциального уравнения системы, когда правая часть уравнения [входной сигнал] единичная ступенька) или экспериментальная.

Пусть кривая переходного процесса системы имеет вид:

1. Максимальное динамическое отклонение — максимальная разность между заданными и действительными значениями регулируемой величины в переходном режиме.

?_{max дин} =h_уст

2. Максимальное перерегулирование — максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения переходной величины, выраженное в относительных единицах.

Обычно у_max? 20?30%.

3. Колебательность процесса:

(определяется как отношение разности двух соседних амплитуд, направленных в одну сторону, к большей из них в относительных единицах)

Для работоспособных систем ш? 75?90%

4. Время регулирования — t_регул — минимальное время от начала нанесения возмущения до момента, когда регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью; т. е.

|h (t) — h_уст|? ?, где

? — постоянная величина, значение которой нужно оговаривать (обычно ?=2?5% h_уст).

В настоящее время при бурном развитии вычислительной техники трудности, связанные с расчётом переходных процессов существенно уменьшаются, поэтому роль прямых оценок качества при проектировании САР возрастает.

Для получения общей оценки быстродействия системы и отклонения регулируемой величины от установившегося значения применяют интегральные оценки качества переходных процессов, которые являются интегральными от некоторых функций переходного процесса.

Простейший интегральный критерий — линейный I₁ определяется выражением

(с геометрической точки зрения I₁ есть площадь между кривой h (t) и линией h_уст) Величина I₁ зависит от всех показателей качества. При этом с уменьшение ?_дин и t_регул (т.е. улучшением качества регулирования) I₁ падает, а с увеличением колебательности (ш >0) I₁ тоже уменьшается, хотя качество регулирования при этом ухудшается.

Итак, уменьшение I₁ свидетельствует об улучшении качества регулирования только для хорошо затухающих переходных процессов и применения для оценки апериодических и слабо колебательных процессов. Критерий I₁ может быть вычислен через коэффициенты дифференциального уравнения или передаточной функции разомкнутой САР.