Основные теоремы теории электрических цепей

Академия России Кафедра Физики Тема: «Основные теоремы теории электрических цепей«

Орел-2009

Основные понятия топологии электрических цепей Теорема замещения Теорема Теллегена. Баланс мощности Принцип дуальности Заключение Литература

Основные понятия топологии электрических цепей

При анализе конкретной электрической цепи, она представляется в виде совокупности соединенных между собой активных и пассивных элементов. Место соединения зажимов двух и более элементов называется узлом электрической цепи. В отдельных случаях целесообразно различать узлы простые и сложные.

Простым узлом называют место соединения зажимов двух элементов (рис. 1. 1, а), а сложным — место соединения зажимов трех и более элементов (рис. 1. 1, б).

а) простые узлы;

б) узел сложный.

Рис. 1. 1.

Обобщением понятия элемента как соединительного пути между двумя узлами цепи является понятие ветви цепи.

Ветвь — это часть цепи, которая включена между двумя узлами и взаимодействует (обменивается энергией) с остальной цепью только через эти два узла. Таким образом, ветвь — это двухполюсная электрическая цепь — двухполюсник. Графическое изображение совокупности узлов цепи и соединительных путей между ними, т. е. ветвей цепи, называется графом цепи. В качестве примера на рис. 1.2. показаны схема и граф цепи.

Рис. 1.2.

Последовательность ветвей, соединяющих два узла, определяет топологическое понятие пути. При этом предполагается, что через промежуточные узлы путь проходит один раз.

Под контуром электрической цепи принято понимать любой замкнутый путь на графе, который начинается и кончается в узле. Иными словами, контуром является связный подграф, в котором к каждому узлу присоединены по две ветви. На рис. 1.2 в качестве примера можно привести контуры: 1−2-4−1, 1−2-3−4-1 и др. Число контуров, которые вообще можно выделить в схеме цепи, отличается от числа так называемых независимых контуров. Независимыми будут, в частности, такие контуры, каждый из которых включает хотя бы один элемент (ветвь), не содержащийся в других контурах.

Дерево графа называют систему наименьшего числа ветвей, связывающих все узлы графа без образования контуров. Следовательно, дерево представляет связный подграф, который содержит все узлы графа и получается путем удаления всех ветвей, образующих контуры. Для заданного графа существует множество деревьев. На рис. 1.3. приведены некоторые из деревьев рассмотренного графа.

Рис. 1. 3.

Из рисунка видно, что между парой узлов дерева имеется единственный путь. Построение дерева разбивает ветви графа на ветви дерева и ветви, не вошедшие в дерево, называемые ветвями связи или хордами. Число ветвей дерева на единицу меньше числа узлов:

.

Это следует из того, что первая ветвь соединяет два узла, а каждая последующая ветвь присоединяет один узел.

Число ветвей связи (число независимых контуров) равно числу остальных ветвей, не вошедших в дерево:

.

Совокупность ветвей связного графа называется сечением, если, во-первых, устранение всех ветвей этой совокупности (узлы графа сохраняются) делает граф несвязным и, во-вторых, после восстановления любой из ветвей этой совокупности вновь образуется связный граф. На графе (схеме) цепи сечение цепи изображается в виде тонкой или штриховой линии, которая проходит через все ветви сечения. Для графа рис. 1.4., а одно из возможных сечений содержит ветви, включенные между узлами 1−2, 02, 0−3, 3−4.

Рис. 1. 4.

После удаления этих ветвей образуется несвязный граф рис. 1.4., б и, следовательно, выполняется первое из требований определения. Выполняется так же и второе требование, поскольку добавление к графу рис. 1.4., б любой из ветвей выбранного сечения приводит к связному графу.

Отмеченные выше понятия и положения будут использованы в дальнейшем при расчете электрических цепей по методам, вытекающим из законов Кирхгофа.

Теорема замещения

В теории электрических цепей как при доказательствах ряда ее положений, так и при численных расчетах используется теорема замещения: значения всех напряжений и токов в электрической цепи сохраняются неизменными, если любую ветвь цепи заменить источником напряжения, у которого задающее напряжение равно напряжению этой ветви до указанной замены.

Для доказательства теоремы обратимся к рис. 1.5. а, на котором выделена ветвь цепи, подлежащая замене источником напряжения.

а) б) в) Рис. 1.5.

Введем последовательно с этой ветвью два источника напряжения с задающими напряжениями и включим их так, как показано на

рис. 1.5., б. При этом все напряжения и токи сохраняют свои прежние значения, поскольку задающие напряжения источников компенсируют друг друга (разность потенциалов между узлами 1 и 3 цепи равна нулю, что эквивалентно соединению этих узлов накоротко). Но компенсируют друг друга также напряжение на зажимах выделенной ветви и задающее напряжение одного из источников, т. е. напряжение между узлами 0 и 2 цепи. Эти два элемента не влияют, следовательно, на токи и напряжения в цепи, и их можно исключить из цепи, соединив накоротко узлы 0 и 2. Но тогда в цепи вместо выделенной ветви оказывается включенным источник напряжения (рисунок 1.5., в), что и доказывает теорему.

Аналогично может быть доказана и двойственная (дуальная) формулировка теоремы замещения: значения всех напряжений и токов в электрической цепи сохраняются неизменными, если любую ветвь цепи заменить источником тока, у которого задающий ток равен току в этой ветви до указанной замены.

Доказательство предполагается выполнить самостоятельно.

В качестве примера применения теоремы на рисунке 1.6 приведены схемы трех цепей.

Рис. 1. 6.

В схемах в соответствии с теоремой замещения напряжения и токи в одноименных ветвях имеют одинаковые значения. Необходимо обратить внимание на то, что теорема применима как к линейным, так и к нелинейным электрическим цепям. Так как при ее доказательстве на выделенную ветвь не накладывается никаких ограничений, кроме того, что она обменивается энергией с остальной частью цепи только через зажимы 1−0 с помощью тока.

Теорема Теллегена. Баланс мощности

Теорема Теллегена является одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей. Рассмотрим граф произвольной электрической цепи, содержащей n_в ветвей и n_у узлов. Для согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Теллегена гласит: сумма произведений напряжений u_k и токов i_k всех ветвей графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю.

.

Докажем эту теорему на примере цепи, изображенной на рис. 1. 7.

Рис. 1.7.

Составим сумму произведений для каждой из ветвей:

.

Согласно второго закона Кирхгофа должны выполняться условия:

Подставим данные выражения напряжений в сумму:

так как выражения, стоящие в скобках, согласно первого закона Кирхгофа равны нулю, это и доказывает теорему. Необходимо подчеркнуть, что поскольку теорема Теллегена следует непосредственно из законов Кирхгофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных; цепей, параметры которых изменяются во времени (параметрических цепей). В общем случае эта теорема справедлива и для случая попарных произведений и разных ветвей, если для них выполняются законы Кирхгофа.

Из теоремы Теллегена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведение представляет собой мгновенную мощность k-ветви, поэтому в соответствии с формулой алгебраическая сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

Пример. Составит баланс мощности для цепи, изображенной на рис. 1.8.

Рис. 1.8.

Алгебраическая сумма мгновенных мощностей, развиваемых источниками напряжения и тока:

.

Потребляемая мощность с учетом законов Ома:

В соответствии с балансом мощностей:

.

Следует отметить, что при определении произведение ei, берется со знаком «+», если направления задающего напряжения e и тока i совпадают с друг другом, и со знаком «-» в противном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока: если напряжение на зажимах источника совпадает с направлением задающего тока i₀, берется знак «+», а если напряжение направлено навстречу задающему току — знак «-». Баланс мощности выражает не что иное, как закон сохранения энергии в электрической цепи.

Принцип дуальности

Сопоставление уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, а также соотношений для последовательного и параллельного соединения элементов свидетельствуют о существовании таких цепей, у которых токи в одной цепи изменяются как напряжения в другой цепи. Уравнения таких цепей сходны по форме и отличаются лишь обозначениями. Эти цепи называют дуальными.

Дуальными являются, например, цепи, схемы которых изображены на рисунке 1.9, поскольку напряжение в одной схеме изменяется по такому же закону, как ток в другой схеме.

Рис. 1.9.

Действительно, для схемы рис. 1.9, а согласно первому закону Кирхгофа:

или .

Учитывая соотношения между напряжением и током для элементов:

и ,

получим уравнение для напряжения цепи:

(1)

Для схемы рис. 1.9, б по второму закону Кирхгофа или . Учитывая соотношения и получим уравнение для тока в цепи:

(2)

Уравнения (1) и (2) сходны по форме. Эти обыкновенные линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Второе уравнение получается из первого, если заменить u на i, С на L, G на R, i₀ на e.

Приведенные пары величин также называются дуальными величинами.

Таким образом, дуальными являются напряжение и ток, емкость и индуктивность, проводимость и сопротивление, источник тока и источник напряжения. Параллельному соединению элементов исходной схемы соответствует последовательное соединение дуальных элементов в дуальной цепи.

Дуальные величины приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

Следовательно, чтобы получить цепь, дуальную заданной, необходимо в простейших случаях параллельное соединение элементов заменить последовательным, элемент проводимости — сопротивлением, емкость — индуктивностью, индуктивность — емкостью, источник тока — источником напряжения.

Для цепи, схема которой изображена на рис. 1.10, а, дуальной будет цепь — рис. 1.10, б.

Рис. 1.10.

Уравнение для напряжения в первой цепи и уравнение для тока во второй цепи будут отличаться лишь обозначениями. Если получено решение одного из уравнений, то в новых дуальных обозначениях это же будет решением второго уравнения.

Принцип дуальности (двойственности) гласит: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи.

В этом и заключается содержание принципа дуальности. Использование принципа дуальности позволяет сократить выкладки и формулировки. Например, результаты анализа цепи (рис. 1.10, а), именуемой параллельным колебательным контуром, можно использовать для дуальной цепи — последовательного колебательного контура (рис. 1.10, б) путем замены всех величин дуальными. Тогда напряжение на элементе индуктивности (емкости) последовательного контура будет изменяться по такому же закону, как ток в элементе емкости (индуктивности) параллельного контура, напряжение на сопротивлении R — как ток в элементе G.

Заключение

Использование принципа дуальности на практике позволяет в два раза сократить работу по исследованию схем или, наоборот, расширить область применения найденных решений в два раза применив их также и для дуальных цепей. В данной лекции может быть использована дуальная формулировка теоремы замещения (дуальная формулировка дана в лекции).

В теории электрических цепей показывается, что для всех цепей, схемы которых можно изобразить на листе бумаги, не допуская пересечения соединительных проводников (планарные цепи), можно найти соответствующие дуальные схемы. В этих схемах будут иметь место указанные выше соответствия между элементами цепей и способами их соединения, а также и между величинами, которые являются дуальными.

Методика нахождения дуальных схем в общем случае может быть достаточно сложной. Однако для простейших примеров она может быть рассмотрена.

1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1986.

2. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. — М.: Радио и связь, 1998.

3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.

4. В. П. Попов Основы теории цепей — М.: Высшая школа, 2000