Поверхностные акустические волны

Министерство образования и науки российской федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра вычислительных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Поверхностные акустические волны»

Факультет компьютерных технологий и прикладной математики, 32гр.

Специальность 10 501 — Прикладная математика и информатика

Краснодар 2011

1 Постановка задачи

1.1 Уравнение Ламе

1.2 Граничные условия

1.3 Матрица Грина

2.Энергетические характеристики

3. Работа с Vibros

Заключение

Список литературы

В данной курсовой работе мы будем рассматривать поверхностные акустические волны (ПАВ). ПАВ — упругие волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности твёрдого тела или вдоль границы твёрдого тела с другими средами и затухающие при удалении от границ. ПАВ бывают двух типов: с вертикальной поляризацией, у которых вектор колебательного смещения частиц среды в волне расположен в плоскости, перпендикулярной к граничной поверхности (вертикальная плоскость), и с горизонтальной поляризацией, у которых вектор смещения частиц среды параллелен граничной поверхности и перпендикулярен направлению распространения волны.

Развитые методы энергетического анализа и созданный на их основе комплекс программ позволили организовать систематическое накопление численных результатов с целью выявления общих закономерностей распределения энергии поверхностного источника в стратифицированном полупространстве. Расчеты проводились в основном для двухслойных моделей. Сравнение полученных результатов с аналогичными результатами для однородного полупространства дает количественную информацию о влиянии слоистости среды на перераспределение энергии.

1. Постановка задачи

Расчеты проводились в основном для целей вибросейсморазведки, поэтому рассматривались в первую очередь среды, моделирующие свойства грунтов. Приводятся результаты для следующих сред (скорость в км/с, плотность в г/см³)

1) Почва, суглинок сухой

1.1) х_р=0.2, х_s=0.12, с=1.4,

1.2) х_р=0.8, х_s=0.32, с=1.6;

2) Водонасыщенные породы

2.1) х_р=0.7, х_s=0.07, с=1.4,

2.2) х_р=1, х_s=0.17, с=1.6,

2.3) х_р=1.3, х_s=0.65, с=1.8;

3) Известняк

3.1) х_р=4, х_s=1.8, с=2.2;

Остановимся на трех двуслойных моделях (назовем их А, В, С) со следующими свойствами слоев (в числителе свойства верхнего слоя, в знаменателе — нижнего полупространства):

А — 1.½.2, В — 1.2/2.4, С — 2.2/3, h=4м;

hтолщина слоя.

Плотности слоев во всех моделях примерно одинаковы, их изменение в диапазоне 1.3−2.2 несущественно сказывается на результатах. Среды с пониженной скоростью распространения Р-волн (звука) обычно называют более мягкими, а с повышенной — жесткими.

В качестве источника берется нагрузка P?^-imt, равномерно распределенная в круге радиуса б. Рассматривается два случая приложения нагрузки:

А) вертикальный источник

ф_xz= ф_yz=0,

Б) горизонтальный источник

у_xz= ф_yz=0,

Результаты, полученные для вертикального источника, помечаются индексом z, а для горизонтального х, например, Е_V,x, E_R,x и Е_V,z, E_R,z.

При переходе к безразмерному виду в качестве характерных величин взяты l₀ = 1 м, х₀= 1000 кг/м³, с₀= 1000 м/с.

Указанные энергетические характеристики для двуслойных сред А, В, С даны на рисунках 8.17−8.29.

1.1 Уравнение Ламе

Уравнение Ламе — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка в комплексной области

где — эллиптическая функция Вейерштрасса, А и В — константы. Это уравнение было впервые изучено Г. Ламе [1]; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в эллиптических координатах. Уравнение (1) называется формой Вейерштрасса для у.Л. Существует такая замена независимой переменной в уравнении (1), в результате которой получается форма Якоби для у.Л.:

Имеются также многочисленные алгебраические формы у.Л., переход к которым осуществляется различными преобразованиями независимой переменной уравнения (1), например:

поверхностная акустическая волна упругая энергетическая Для практических приложений форма Якоби является наиболее подходящей. Особенно важен случай, когда в уравнении (1) (или (2)) В=n (n+1), где n — натуральное число. В этом случае решения уравнения (1) мероморфны во всей плоскости и их свойства довольно хорошо изучены. Среди решений уравнения (2) при В=n (n+1) первостепенное значение имеют функции Ламе.

1.2 Граничные условия

1) До начального момента времени t=0 точки тела находятся в покое:

?0, ?0.

2) Начиная с момента t=0 к телу наряду с объемными силами F, заданными в некотором ограниченном объеме среды V₀, прикладываются поверхностные нагрузки

=q,

Не равные нулю в некоторой ограниченной области поверхности Щ; вне Щ всюду q(x, y, t)?0.

Обозначим z₁, l=2,…, N, точки разрывов функций л, м, упорядоченные следующим образом z₁=0>z₂>z₃>…>z_N> ?h? ?? (z₁ не является точкой разрыва, а введена для дальнейшего единообразия). Плоскости z=z₁, ?? ?x, y ??, l=2,…, N, являются границами раздела слоев. Предположим, что слои жестко сцеплены между собой, в этом случае должны выполняться условия непрерывности напряжений и перемещений на границе раздела слоев

3) +,, l=2,…, N.

Чтобы полностью замкнуть постановку задачи, необходимо к условию 1−3 добавить условия на бесконечности

u>0 при R=>?,

дополненные некоторыми условиями излучения.

1.3 Матрица Грина

Для полуограниченных сред с плоско-параллельными границами раздела представление решения для некоторой поверхностной нагрузки _z=0=q(x, y) получают через матрицу Грина k(x), столбцы которой k_i являются решениями для сосредоточенных поверхностных нагрузок

₌₀=e_i(x), i=1,2,3:

. (4)

Здесь — область приложения нагрузки q к поверхности полупространства = 0.

На практике используют интегральное представление k через Фурье символ К(₁,₂,):

(5)

где K — матрицы Грина однородного полупространства в изотропном случае:

(6)

2. Энергетические характеристики

3. Работа с Vibros

1. В фортрановском проекте Vibros0303 считаем полюса со следующей входной информацией в файле inpv. dat:

wdzSt.dat UxSt. dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'

0 1 ! Mode Nr

1000. 1000. 2000. 5000. ! r (j) [m]

0.1 100. 0. 1 ! f1, f2,hf [Hz]

0.0001 0.001 5. ! eps, hpol, rwmax

2 ! Ns

800. 320. 1600. 4. ! Vp, Vs, Ro, h (St)

2500. 1250. 2000. 200. ! Vp, Vs, Ro, h

2. Вызываем матлаб программу PolRes ('wdzSt.dat', 0,100) для контроля найденных полюсов.

3. Уточняем эти частоты с пропущенными полюсами более мелким шагом hpol=0.0001:

wdzSt.dat UxSt. dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'

0 1 ! Mode Nr

1000. 1000. 2000. 5000. ! r (j) [m]

0.1 100. 0. 1 ! f1, f2,hf [Hz]

0.0001 0.0001 5. ! eps, hpol, rwmax

2 ! Ns

800. 320. 1600. 4. ! Vp, Vs, Ro, h (St)

2500. 1250. 2000. 200. ! Vp, Vs, Ro, h

В выходном файле outv. dat видно, что на первой из этих частот (27.4 и 33.5) по-прежнему найден только один полюс. Пропускаем эту частоту с еще более мелким шагом hpol=0.3:

wdzSt.dat UxSt. dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'

0 1 ! Mode Nr

1000. 1000. 2000. 5000. ! r (j) [m]

0.1 100. 0. 1 ! f1, f2,hf [Hz]

0.0001 0.3 5. ! eps, hpol, rwmax

2 ! Ns

800. 320. 1600. 4. ! Vp, Vs, Ro, h (St)

2500. 1250. 2000. 200. ! Vp, Vs, Ro, h

4. Для контроля еще раз строим графики: PolRes ('wdzSt.dat', 0,100)

Теперь все полюса найдены.

5. Считаем частотные спектры по интегралам (для rwmax < 5) и вычетам (для rwmax > 5) и посылаем их в файлы UxSt. dat и UzSt. dat:

wdzSt.dat UxSt. dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'

0 1 ! Mode Nr

1000. 1000. 2000. 5000. ! r (j) [m]

0.1 100. 0. 1 ! f1, f2,hf [Hz]

0.0001 0.001 5. ! eps, hpol, rwmax

2 ! Ns

800. 320. 1600. 4. ! Vp, Vs, Ro, h (St)

2500. 1250. 2000. 200. ! Vp, Vs, Ro, h

5. Делаем активным проект TVibrm.

Считаем u_x (t) по сплайнам с входной информацией в inpt. dat:

UxSt.dat uxtSt-sp.dat ! Names of files 'Uw', 'Ut'

0. 10. 0.01 ! [t1,t2] ht

1000. ! TN

1 1 ! jr1, jr2 for r (j), j=jr1,jr2

2 100. ! nf, b

1 1 ! iuv, met (iuv = 1 -> u (t), else — v (t); met=1 — TVSpl else TVFFT)

А потом по FFT:

UxSt.dat uxtSt-fft.dat ! Names of files 'Uw', 'Ut'

0. 10. 0.01 ! [t1,t2] ht

1000. ! TN

1 1 ! jr1, jr2 for r (j), j=jr1,jr2

2 100. ! nf, b

1 2 ! iuv, met (iuv = 1 -> u (t), else — v (t); met=1 — TVSpl else TVFFT)

6. Строим графики u_x (t) с помощью матлаб-программы TVplot:

TVplot ('uxtSt-sp.dat', 4) — для первого случая (по сплайнам)

TVplot ('uxtSt-fft.dat', 5) — для второго (FFT)

Заключение

Анализ приведенных здесь численных результатов позволяет сделать следующие выводы:

1) Для двуслойной среды по сравнению с однородной возрастает доля энергии поверхностных и каналовых волн, появляются резонансные периодически чередующиеся частоты. Период чередования зависит от толщины и свойств слоев, т. е. от отношения h/л_p, h/л_s (л_p, л_s — длина продольных и поперечных волн).

2) Количество энергии объемных волн Е_v (z), переносимой через плоскость z=const, остается постоянным для всех z.

3) В многослойном полупространстве, как и в слое, возникают «обратные» волны, т. е. имеются точки дисперсионных кривых, которым соответствуют волны с противоположным направлением фазовой и групповой скоростей. Точкам щ, отмеченным звездочками, соответствуют двукратные о_R, энергия на этих частотах стремится к бесконечности.

Список литературы

1) Lame G., «J. math. pures et appl.», 1837, t. 2, p. 147−88;

2) С т р е т т М. Д. О., Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, пер. с нем., Хар.- К., 1935;

3) Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963;

4) Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламели Матье, пер. с англ., М., 1967;

5) Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952. Н. Х. Розов.

6) В. А. Бабешко, Е. В. Глушков, Ж. Ф. Зинченко, Динамика неоднородных линейно-упругих сред, — М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1989.-344с.-ISBN 5−02−14 001−5.

7) Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова, Интегральные преобразования в задачах теории упругости (учебное пособие)

8) Интернет-энциклопедия «Викпедия».