Курсовая

В данном случае расчетное значение критерия Фишера равно (823,1104 > 3,6 917). Уравнение в целом статистически значимо.

Однако параметры уравнения а1, a2 и a3 статистически незначимы, т.к. -tфакт- < tтабл (0,914 058 < 2,119 905; 0,711 639 < 2,119 905; -0,572 305 < 2,119 905).

Следовательно, полином 3-ей степени не может быть признан отражающим реальную тенденцию развития изучаемого явления.

Тогда выбираем уравнение тренда, следующее по величине коэффициента детерминации, а именно — полином 2-й степени. Уравнение в целом статистически значимо (1142,568 > 3,196 777), но параметр уравнения а1 статистически незначим, т.к. -tфакт- < tтабл (0,12 630 < 2,109 816).

Следовательно, полином 2-й степени также не может быть признан отражающим реальную тенденцию развития изучаемого явления.

Рассмотрим следующее по величине коэффициента детерминации уравнение — линейное. Уравнение в целом статистически значимо, т.к. (1722,603 >3,554 557), параметры a0 и a1 также статистически значимы следовательно, линейная модель тренда может быть признана отражающим реальную тенденцию изучаемого явления.

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции в остатках выбранного (лучшего) уравнения тренда.

Autocorrelation Function (Model is: v1=a0+a1*v2 (Spreadsheet61 in Workbook2_(Recovered)) in Workbook2_(Recovered)) Residuals AutoStd.Err. Box & p 1 0,538 253 0,223 607 6,70 922 0,9 596 2 0,35 359 0,281 019 6,73 978 0,34 406 3 -0,527 275 0,281 241 13,93 557 0,2 998

Рис. 90. Таблица коэффициентов автокорреляции по импорту Италии за период с 1981 по 2000 гг.

Таблица содержит расчетные значения коэффициентов автокорреляции (столбец Autocorrelations), стандартных ошибок (Standard Errors), так называемых Box & Ljung статистик и расчетного уровня значимости P.

Рис. 91. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках по линейной модели тренда импорта Италии за период с 1981 по 2000 гг.

График содержит графическое изображение статистик, рассмотренных в таблице (рис. 90). При этом горизонтальные столбцы означают коэффициенты корреляции. Графическое представление рассчитанных коэффициентов автокорреляции наглядно демонстрирует, что они статистически значимы, поскольку значения выходят на границы доверительных интервалов, обозначенных на графике пунктиром. 3.

2.4. Импорт за второй период (1999 — 2012 года)

Итак, рассмотрим первую модель тренда — линейную, .

Model is: v1=a0+a1*v2 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 244,8717 15,67 012 15,62 666 0,20 204,5904 285,1531 a1 50,9307 3,50 395 14,53 524 0,28 41,9235 59,9379

Рис. 92. Результаты расчета параметров линейной модели тренда Соответственно, уравнение линейной модели выглядит следующим образом:

Model is: v1=a0+a1*v2 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт 1 2 3 4 5 Regression 1 481 290 2,0 740 644,9 2154,453 0,0 Residual 1719 5,0 343,8 Total 1 483 009 7,0 Corrected Total 74 349 6,0 Regression vs. Corrected Total 1 481 290 2,0 740 644,9 59,770 0,109

Рис. 93. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда.

Model is: v1=a0+a1*v2 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Observed Predicted Residuals 2001 320,9730 295,8024 25,1706 2002 335,4380 346,7331 -11,2951 2003 380,7120 397,6639 -16,9519 2004 451,6800 448,5946 3,0854 2005 483,0170 499,5253 -16,5083 2006 547,4760 550,4560 -2,9800 2012 620,8660 601,3867 19,4793

Рис. 94. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда.

Рис. 95. Исходный динамический ряд и линейный тренд

Уравнение параболической модели тренда:

Model is: v1=a0+a1*v2²+a2*v2 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 289,3414 18,52 607 15,61 807 0,98 237,9048 340,7780 a1 3,7058 1,29 708 2,85 703 0,46 067 0,1045 7,3071 a2 21,2842 10,61 709 2,471 0,115 493 -8,1935 50,7620

Рис. 96. Результаты расчета параметров параболической модели тренда.

Соответственно, уравнение параболической модели выглядит следующим образом:

Model is: v1=a0+a1*v2²+a2*v2 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт 1 2 3 4 5 Regression 1 482 443 3,0 494 147,8 3496,562 0,0 Residual 565 4,0 141,3 Total 1 483 009 7,0 Corrected Total 74 349 6,0 Regression vs. Corrected Total 1 482 443 3,0 494 147,8 39,878 0,234

Рис. 97. Результаты дисперсионного анализа параболической модели тренда.

Model is: v1=a0+a1*v2²+a2*v2 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Observed Predicted Residuals 2001 320,9730 314,3315 6,6415 2002 335,4380 346,7331 -11,2951 2003 380,7120 386,5464 -5,8344 2004 451,6800 433,7713 17,9087 2005 483,0170 488,4079 -5,3909 2006 547,4760 550,4560 -2,9800 2012 620,8660 619,9158 0,9502

Рис. 98. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для параболической модели тренда.

Рис. 99. Исходный динамический ряд и параболический тренд Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид:

Model is: v1=exp (a0+a1*v2) (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 5,618 135 0,25 848 217,3536 0,0 5,551 691 5,684 580 a1 0,115 350 0,4 940 23,3485 0,3 0,102 650 0,128 049

Рис. 100. Результаты расчета параметров экспоненциальной модели тренда Таким образом, экспоненциальное уравнение тренда имеет вид:

Model is: v1=exp (a0+a1*v2) (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт 1 2 3 4 5 Regression 1 482 372 2,0 741 186,1 5822,635 0,0 Residual 636 5,0 127,3 Total 1 483 009 7,0 Corrected Total 74 349 6,0 Regression vs. Corrected Total 1 482 372 2,0 741 186,1 59,814 0,109

Рис. 101. Результаты дисперсионного анализа экспоненциальной модели тренда

Model is: v1=exp (a0+a1*v2) (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Observed Predicted Residuals 2001 320,9730 309,0444 11,9286 2002 335,4380 346,8299 -11,3919 2003 380,7120 389,2353 -8,5233 2004 451,6800 436,8254 14,8546 2005 483,0170 490,2342 -7,2172 2006 547,4760 550,1730 -2,6970 2012 620,8660 617,4402 3,4258

Рис. 102. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для логарифмической модели тренда

Рис. 103. Исходный динамический ряд и экспоненциальный тренд Уравнение степенной модели тренда:

Model is: v1=a0*v2^a1 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 268,7109 25,19 066 10,66 708 0,125 203,9563 333,4656 a1 0,3952 0,6 022 6,56 201 0,1 232 0,2404 0,5499

Рис. 104. Результаты расчета параметров степенной модели тренда Таким образом степенная модель тренда имеет вид:

Model is: v1=a0*v2^a1 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт 1 2 3 4 5 Regression 1 476 327 2,0 738 163,3 552,3390 0,1 Residual 6682 5,0 1336,4 Total 1 483 009 7,0 Corrected Total 74 349 6,0 Regression vs. Corrected Total 1 476 327 2,0 738 163,3 59,5700 0,110

Рис. 105. Результаты дисперсионного анализа степенной модели тренда

Model is: v1=a0*v2^a1 (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Observed Predicted Residuals 2001 320,9730 268,7109 52,2621 2002 335,4380 353,3763 -17,9383 2003 380,7120 414,7821 -34,0701 2004 451,6800 464,7181 -13,0381 2005 483,0170 507,5555 -24,5385 2006 547,4760 545,4715 2,0045 2012 620,8660 579,7304 41,1356

Рис. 106. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для степенной модели тренда Рис. 107. Исходный динамический ряд и степенной тренд

Модель тренда полинома третьей степени выглядит следующим образом:

Model is: v1=a0+a1*v2+a2*v2²+a3*v2³ (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 303,7914 38,60 627 7,868 964 0,4 276 180,929 426,6538 a1 4,8273 38,95 159 0,123 932 0,909 207 -119,134 128,7887 a2 8,5225 10,95 415 0,778 012 0,493 284 -26,339 43,3835 a3 -0,4014 0,90 480 -0,443 619 0,687 362 -3,281 2,4781

Рис. 108. Результаты расчета параметров для модели тренда полинома 3-ей степени

Соответственно, уравнение модели тренда полинома 3-ей степени выглядит следующим образом:

Model is: v1=a0+a1*v2+a2*v2²+a3*v2³ (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт 1 2 3 4 5 Regression 1 482 478 4,0 370 619,6 2095,888 0,17 Residual 530 3,0 176,8 Total 1 483 009 7,0 Corrected Total 74 349 6,0 Regression vs. Corrected Total 1 482 478 4,0 370 619,6 29,909 0,420

Рис. 109. Результаты дисперсионного анализа модели тренда полинома 3-ей степени

Model is: v1=a0+a1*v2+a2*v2²+a3*v2³ (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Observed Predicted Residuals 2001 320,9730 316,7398 4,23 320 2002 335,4380 344,3248 -8,88 682 2003 380,7120 384,1381 -3,42 610 2004 451,6800 433,7713 17,90 867 2005 483,0170 490,8162 -7,79 918 2006 547,4760 552,8643 -5,38 833 2012 620,8660 617,5074 3,35 856

Рис. 110. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для модели тренда полинома 3-ей степени.

Рис. 111. Исходный динамический ряд и тренда полинома 3-ей степени для первого периода.

Выбор наилучшего тренда

Приведем таблицу значений коэффициентов детерминации для рассмотренных моделей тренда (таб. 12).

Таблица 12

Уравнения моделей трендов и коэффициенты детерминации

№ Модель Уравнение 1 Линейная 0,9769 343,8 2 Полином 2-й степени 0,9924 141,3 3 Экспоненциальная 0,9914 127,3 4 Степенная 0,9101 1336,4 5 Полином 3-й степени 0,9929 176,8

Сопоставив значения коэффициентов детерминации для различных типов кривых можно сделать вывод о том, что для исследуемого динамического ряда лучшей форма тренда будет полином 3-ей степени.

В данном случае расчетное значение критерия Фишера равно (2095,888 > 9,117 182) Уравнение в целом статистически значимо.

Однако параметры уравнения а1, a2 и a3 статистически незначимы, т.к. -tфакт- < tтабл (0,123 932 < 3,182 446; 0,778 012 < 3,182 446; -0,443 619 < 3,182 446).

Следовательно, полином 3-ей степени не может быть признан отражающим реальную тенденцию развития изучаемого явления.

Тогда выбираем уравнение тренда, следующее по величине коэффициента детерминации, а именно — полином 2-й степени. Уравнение в целом статистически значимо (3496,562 > 6,591 382), но параметр уравнения a2 статистически незначим, т.к. -tфакт- < tтабл (2,471 < 2,776 445).

Следовательно, полином 2-й степени также не может быть признан отражающим реальную тенденцию развития изучаемого явления.

Рассмотрим следующее по величине коэффициента детерминации уравнение — экспоненциальное. Уравнение в целом статистически значимо, т.к. (5822,635 > 5,786 135), параметры a0 и a1 также статистически значимы следовательно, линейная модель тренда может быть признана отражающим реальную тенденцию изучаемого явления.

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции в остатках выбранного (лучшего) уравнения тренда.

Autocorrelation Function (Model is: v1=exp (a0+a1*v2) (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) in Workbook3) Residuals AutoStd.Err. Box & p 1 -0,410 994 0,377 964 1,773 617 0,182 945 2 -0,430 708 0,437 171 4,111 035 0,128 043 3 0,522 387 0,494 087 8,409 026 0,38 290

Рис. 112. Таблица коэффициентов автокорреляции по импорту Италии за период с 2001 по 2012 гг.

Таблица содержит расчетные значения коэффициентов автокорреляции (столбец Autocorrelations), стандартных ошибок (Standard Errors), так называемых Box & Ljung статистик и расчетного уровня значимости P.

Рис. 113. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках по импорту Италии за период с 2001 по 2012 гг.

График содержит графическое изображение статистик, рассмотренных в таблице (рис. 112). При этом горизонтальные столбцы означают коэффициенты корреляции. Графическое представление рассчитанных коэффициентов автокорреляции наглядно демонстрирует, что они статистически значимы, поскольку значения выходят на границы доверительных интервалов, обозначенных на графике пунктиром.

4. Экстраполяция трендов и доверительные интервалы прогноза

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т. е. в продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Экстраполяция тенденций динамических рядов сравнительно широко применяется в практических исследованиях в силу ее простоты, возможности осуществления на основе относительно небольшого объема информации, наконец, ясности принимаемых допущений. Отсутствие иной информации помимо отдельно рассматриваемого динамического ряда часто оказывается решающим аргументом при выборе этого метода прогнозирования.

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер признака, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить порознь их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

1) развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной (эволюторной) траекторией — трендом;

2) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (экспоненциальный) для экспорта за второй период:

Так же проведем прогнозировании для лучшей формы тренда (экспоненциальный) для импорта за второй период:

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания, поскольку «попадание» в точку имеет нулевую вероятность. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т. е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.

4.

1. Доверительные интервалы прогноза

При определении прогностических значений того или иного явления с помощью экстраполяции наибольший интерес представляет, по-видимому, не сама экстраполяция — это более или менее механический прием, а определение доверительных интервалов прогноза.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

где- средняя квадратическая ошибка тренда;

— расчетное значение yt;

— значение t-статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения Sy можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле для Sy, то есть остаточной дисперсии. Остается только извлечь из него квадратный корень.

Sy = 12 для экспорта, Sy = 11,28 для импорта.

Значение коэффициента доверия t находим по таблице Стьюдента с учетом доверительной вероятности 95%. (t = 2,5706)

Необходимо отметить, что в прогнозе для уравнений авторегрессии и факторно-временной функции нет необходимости, так как у обеих функций есть незначимые параметры уравнения, а, значит, прогноз по ним будет статистически не существенен. Отметим, что его построение осуществляется аналогично экстраполяции тренда.

Таким образом, доверительный интервал прогноза на 2008 год по экспорту и импорту Италии, выполненного на основе уравнения тренда, определяется:

Для экспорта на 2008:

477,9356 501,2538

Для импорта на 2008:

681,9746 703,8938

Заметим, что только фактическое значение экспорта в 2008 году попадает в доверительный интервал прогноза.

Рис. 114. Прогноз на основе экспоненциальной модели тренда для экспорта Италии и доверительные интервалы Рис. 115. Прогноз на основе экспоненциальной модели тренда для импорта Италии и доверительные интервалы

4.

2. Экстраполяция на основе среднего темпа роста

Если в основу прогностического расчета положен средний темп роста, то экстраполируемое значение уровня получают по формуле

где — средний темп роста;

— уровень, принятый за базу для экстраполяции.

Средний темп определяется или на основе изучения прошлого, или оценивается каким-либо другим путем (например, подбор вариантов для различных ситуаций). В качестве исходного (базового) уровня для экстраполяции представляется естественным взять последний уровень ряда, т. е., поскольку будущее развитие начинается именно с этого уровня. Для расчета доверительного интервала используется формула, в которой в качестве выступают прогнозные уровни динамического ряда, рассчитанные на основе среднего темпа роста в каждый момент времени.

Итак, на основе среднего темпа роста прогноз выглядит следующим образом:

Для экспорта на 2008:

451,5502 474,8684

Для импорта на 2008:

666,9683 688,8875

Заметим, что только значение импорта в 2008 году попало в доверительные интервалы прогноза.

Рис. 116. Прогноз на основе среднего темпа роста для экспорта Италии и доверительные интервалы Рис. 117. Прогноз на основе среднего темпа роста для импорта Италии и доверительные интервалы

5. Автокорреляция в динамических рядах. Авторегрессионные модели.

Еще одним подходом к описанию основной тенденции временного ряда и прогнозированию является авторегрессионная модель. Ее построению предшествует оценка наличия автокорреляции в изучаемом ряду.

При анализе динамических рядов особый интерес представляет оценка степени зависимости изменений в уровнях одного ряда от изменений, происходящих в уровнях другого ряда .

Вторая особенность состоит в том, что одним из основных условий применения методов корреляции является независимость отдельных наблюдений.

Автокорреляция — это зависимость между последовательными значениями (уровнями) временного ряда. Автокорреляция первого порядка (first-order autocorrelation) оценивает степень зависимости между соседними значениями временного ряда. Автокорреляция второго порядка (second-order autocorrelation) оценивает тесноту связи между значениями, разделенными двумя временными интервалами, и т. д. Интервал времени, разделяющий зависимые уровни динамического ряда, называется лагом (lag). Автокорреляционная зависимость может быть представлена как зависимость между уровнями исходного ряда:

у1, у2, у3, …, уn

и того же ряда, но смещенного на i периодов (моментов) времени:

у2-i, у3-i, …, уn-i.

Интервал смещения i — временной лаг (i = 1, i = 2, i = 3 и т. д.).

Если при изучении отдельных динамических рядов наличие автокорреляции помогало выявлению тенденции развития явления, то при анализе корреляционной зависимости между рядами ее следует исключить.

Наличие автокорреляции проверяется на основе коэффициентов автокорреляции. При этом в качестве результативного признака принимается переменная, содержащая фактические значения уровней исходного ряда динамики, а в качестве факторного признака переменная, содержащая фактические уровни смещенного ряда. Величина временного лага определяет порядок коэффициента автокорреляции.

Математической статистикой разработаны циклический и нециклический коэффициент автокорреляции. На практике чаще используется нециклический коэффициент автокорреляции, который может быть рассчитан по формуле:

Если динамический ряд y (t) достаточно большой, а i = 1, то дисперсии рядов y (t), y (t-i), а также их средние уровни практически равны. Поэтому формулу можно записать следующим образом:

Для проверки нулевой гипотезы об отсутствии автокорреляции фактическая величина коэффициента сопоставляется с табличным значением для соответствующего уровня значимости. Поскольку таблицы содержат критические значения коэффициента автокорреляции, то нулевая гипотеза может быть принята, если фактическое значение коэффициента меньше табличного. Когда фактическая величина коэффициента превышает табличное значение, нулевая гипотеза отвергается и признается наличие автокорреляции в исследуемом ряду.

Экспорт во втором периоде (2001;2012 гг.)

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции для экспорта за 2 период.

Autocorrelation Function (Spreadsheet30 in Workbook2_(Recovered)) ЭКСПОРТ AutoStd.Err. Box & p 1 0,635 326 0,377 964 4,238 205 0,39 532 2 0,157 547 0,508 117 4,550 949 0,102 765 3 -0,186 654 0,515 048 5,99 672 0,164 665

Рис. 118. Таблица коэффициентов автокорреляции переменной Экспорта за второй период.

Рис. 119. Графическое изображение коэффициентов автокорреляции переменной Экспорта за второй период.

Напомним, что в STATISTICA красным цветом высвечиваются статистически значимые оценки. Таким образом, статистически значим коэффициент автокорреляции первого порядка, но он не превышает теоретического значения (0, 754 492). Значение коэффициента на первом лаге = 0,635 326

Фактическое значение меньше табличного, следовательно, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции в изучаемом динамическом ряду.

Хоть мы сделали вывод об отсутствии автокорреляции в ряду, в учебных целях построим авторегрессионную модель. Авторегрессионная модель первого порядка (lag=1):

.

Model is: v1=a0+a1*v2 (Spreadsheet31 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: ЭКСПОРТ Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 26,57 578 51,4 870 0,520 597 0,630 136 -115,158 168,3097 a1 1,413 0,15 181 6,614 336 0,2 709 0,583 1,4256

Рис. 120. Результаты расчета параметров авторегрессионной модели Рис. 121. Графическое представление динамического ряда экспорта и авторегрессионной функции

Соответственно, уравнение авторегрессии имеет вид:

.

Как правило, авторегрессионная модель позволяет лучше, чем трендовая, описать предысторию процесса и получить более точный прогноз. Но для этого необходимо, чтобы уравнение и все его параметры были статистически значимы.

Импорт во втором периоде (2001;2012 гг.)

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции для импорта за 2 периоды.

Autocorrelation Function (Spreadsheet86 in Workbook2_(Recovered)) ИМПОРТ AutoStd.Err. Box & p 1 0,571 056 0,377 964 3,424 104 0,64 260 2 0,164 260 0,485 829 3,764 067 0,152 297 3 -0,140 818 0,493 699 4,76 384 0,253 354

Рис. 121. Таблица коэффициентов автокорреляции переменной импорта за второй период.

Рис. 122. Графическое изображение коэффициентов автокорреляции переменной импорта за второй период.

Таким образом, статистически незначимы все коэффициенты автокорреляции. Значение коэффициента при лаге = 0,571 056

Фактическое значение меньше табличного (0,754 492), следовательно, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции в изучаемом динамическом ряду.

Хоть мы сделали вывод об отсутствии автокорреляции в ряду, в учебных целях построим авторегрессионную модель. Авторегрессионная модель первого порядка (lag=1):

.

Model is: v1=a0+a1*v2 (Spreadsheet26 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: ИМПОРТ Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 -17,6247 45,51 135 -0,38 726 0,718 286 -143,985 108,7350 a1 1,1610 0,10 641 10,91 066 0,401 0,866 1,4565

Рис. 123. Результаты расчета параметров авторегрессионной модели.

Рис. 124. Графическое представление динамического ряда импорта и авторегрессионной функции.

Соответственно, уравнение авторегрессии имеет вид:

.

Как правило, авторегрессионная модель позволяет лучше, чем трендовая, описать предысторию процесса и получить более точный прогноз. Но для этого необходимо, чтобы уравнение и все его параметры были статистически значимы.

Построение прогноза на основе авторегрессионной модели Для экспорта полученное уравнение авторегрессии выглядит следующим образом:

= 26,57 578 + 1,413 * 435,023 = 463,395 425

Для импорта:

= -17,6247 + 1,1610 * 620,866 = 703,201 226

Теперь построим доверительные интервалы:

Для экспорта на 2008:

451,7363 475,0546

Для импорта на 2008:

692,2411 714,1603

Заметим, что ни одно фактическое значение экспорта и импорта в 2008 году не попадает в доверительный интервал прогноза.

Рис. 125. Прогноз на основе авторегрессионной функции для экспорта Италии и доверительные интервалы Рис. 126. Прогноз на основе авторегрессионной функции для импорта Италии и доверительные интервалы

6. Корреляция рядов динамики

При изучении тенденции развития явления во времени часто возникает необходимость определить степень зависимости между динамическими рядами.

Корреляционная связь между уровнями двух динамических рядов называется кросс-корреляцией.

CrossCorrelation Function (Spreadsheet8 in Workbook2_(Recovered)) First: ЭКСПОРТ Lagged: ИМПОРТ Cross Std.Err. -3 0,287 765 0,500 000 -2 -0,208 126 0,447 214 -1 -0,87 757 0,408 248 0 0,254 355 0,377 964 1 -0,232 931 0,408 248 2 0,449 484 0,447 214 3 -0,474 222 0,500 000

Рис. 127. Параметры кросс-корреляции 2 периода Италии Рис. 128. График кросс-коррелляций переменных экспорта и импорта

На основании рассчитанных коэффициентов кросс-корреляции определяется лаг наиболее существенной взаимосвязи между динамическими рядами, то есть тот лаг, которому соответствует максимальный коэффициент кросс-корреляции (значимые коэффициенты помечается красным цветом в таблице; на графике столбцы, соответствующие значимым коэффициентам кросс-корреляции, выходят за границы доверительных интервалов). В нашем случае максимально значение достигается при i=2 и составляет r = 0,449 484.

Это является достаточным основанием возможности прогнозирования значений одного динамического ряда (экспорта) по соответствующим уровням другого (импорта).

Описанный выше прием непосредственного включения в уравнение связи фактора времени, позволяет не только оценить зависимость между рядами, но и получить модель для прогнозирования:

где i — лаг наибольшей взаимосвязи между рядами, в нашем случае i = 2.

Model is: v1=a0+a1*v2+a2*v3 (Spreadsheet32 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Экспорт Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 189,0487 126,4471 1,495 082 0,273 519 -355,009 733,1065 a1 0,3147 0,4791 0,656 818 0,578 773 -1,747 2,3760 a2 20,9882 21,5262 0,975 004 0,432 392 -71,632 113,6081

Рис. 129. Расчет параметров факторно-временной функции экспорта

Рис. 130. Графическая интерпретация факторно-временной функции экспорта

Model is: v2=a0+a1*v1+a2*v3 (Spreadsheet262 in Workbook2_(Recovered)) Dep. Var.: Импорт Level of confidence: 95.

0% (alpha=0.050) Estimate Standard t-value p-level Lo. Conf Up. Conf a0 109,1317 233,9195 0,466 535 0,686 717 -897,343 1115,606 a1 0,5639 0,8585 0,656 818 0,578 773 -3,130 4,258 a2 24,3855 30,4584 0,800 619 0,507 346 -106,666 155,437 Рис. 131. Расчет параметров факторно-временной функции импорта

Рис. 132. Графическая интерпретация факторно-временной функции импорта Построение прогноза на основе факторно-временной функции

Итак, уравнение факторно-временной функции для экспорта выглядит следующим образом:

Теперь построим доверительные интервалы:

Для экспорта на 2008:

475,6085 498,9277

Заметим, что фактические значения экспорта 2008 года попадает в доверительные интервалы прогноза.

Рис. 133. Прогноз на основе факторно-временной функции для экспорта Италии и доверительные интервалы Выводы

В рамках работы были затронуты вопросы изучения показателей изменения уровней динамического ряда, определения тенденции в динамических рядах, периодизации данных, аналитического выравнивания динамического ряда, корреляции динамических рядов и автокорреляции, экстраполяции трендов и прогнозирования.

Умение анализировать динамические ряды необходимо, так как большие массивы статистической информации по всем социально-экономическим направлениям представлены в виде именно динамических рядов. Изучение, анализ и прогнозирование таких рядов помогает глубже вникнуть в суть развития явления, выявить закономерности его развития и с определенной долей вероятности спрогнозировать его дальнейшую динамику.