Настройкой параметров регулятора (K, Ki1, Ki2) ее нужно подстроить по правой границе запретной области для НЧ.
В системах с астатизмом первого порядка надо определить положение 2-х асимптот. Возможные варианты определены положением постоянной времени объекта T1, относительно контрольной частоты:
K > K треб, но: затруднено демпфирование и увеличиваются ВЧ шум.
Kv > Kv треб, но: увеличиваются НЧ шум.
Истинная ЛАЧХ должна быть поднята на 3 дБ, для компенсации ослабления в 1,4142 раза в зоне частоты сопряжения.
Требования к ВЧ части желаемой ЛАЧХ Формировать ВЧ участок ЛАЧХ удобно при использовании показателя колебательности M, линии уровня которого, при скольжении вектора A, с фазой по окружностям M, можно нанести на ЛФЧХ.
В качестве типовых в НЧ части используются ЛАЧХ с наклоном не более -40 дБ/дек, которому соответствует нулевой запас по фазе, поэтому необходимо в области частоты среза формировать участок с наклоном -20 дБ/дек, т. е. сводить типовые ЛАЧХ к одному из 2-х видов:
1−2-1−2-30−1-2−1-2−4 1−2-30−1-2−3-4 Запретные зоны на ЛАЧХ определяют:
Для ЛАЧХ вида 2−1-2: а) начало корректирующего участка — Т2; и б) его длину — h = Т2/Тi, где i = [3, 4, …), и 3 = 2h или ср = 2M/(M-1) или 3 = срMM.
Для ЛАЧХ вида 1−2 максимальное значение суммы постоянных времени равно Тi, где i = [1, 2, …).
Если выше частоты среза имеется пик от колебательного звена, то его амплитуда не должна приблизиться к окружности с заданной колебательностью M, т. е. не должна достичь уровня на ЛАЧХ 20lg M/(M+1); а постоянная времени, при определении h, должна войти в сумму как 2T.
Построение ВЧ части желаемой ЛАЧХ Исходные данные: 0 и T1 — определены при построении НЧ части желаемой ЛАЧХ.
Для систем с астатизмом 2-ого порядка:
Задаются перерегулированием и определяют M:
, % 13,8 26,5 37,2 44,6 M 1,1 1,3 1,5 1,7 Зная M, определяют положение постоянной времени T2 (начало корректирующего участка), где; и его длину:.
Проверяют, чтобы резонансные пики высокочастотных колебательных звеньев не достигали вновь уровня 20lg M/(M+1).
Для систем с астатизмом 1-ого порядка проверяют возможность сведения желаемой ЛАЧХ к виду 1−2 или модификациям, путем уменьшения постоянных времени до значения:
где (M<1,3).
Если это невозможно, то формируют участок -20 дБ/дек аналогично методике для систем с астатизмом 2-ого порядка.
Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом Под качеством процесса регулирования понимают меру соответствия его определенным требованиям. Другими словами, качество характеризует степень пригодности САР осуществлять регулирование выходной величины y (t). Переходный процесс в САР зависит не только от свойств САР, но и от характера внешних воздействий, которые в общем случае могут быть сложными функциями времени. Поведение системы регулирования рассматривают при типовых воздействиях. Наиболее важным считают переходный процесс, возникающий при быстром изменении задающего воздействия g (t) или возмущения z (t) от одного значения до другого. Поэтому одной из оценок качества регулирования служит оценка качества переходной характеристики САР относительно задающего воздействия g (t). Считают, что, чем лучше переходная характеристика h (t), тем лучше САР будет отрабатывать задающее воздействие произвольного вида. Оценку, полученную при анализе переходной характеристики САР h (t), называют прямой.
Количественно процесс регулирования оценивают с помощью показателей качества, которыми характеризуют точность, быстродействие и затухание процесса регулирования.
К показателям качества, характеризующим точность САР, относят:
1) максимальное значение регулируемой величины yмакс1;
2) перерегулирование σ,
3) установившееся значение регулируемой величины yуст;
4) статическую ошибку (отклонение) ε(∞).
К показателям качества, характеризующим быстродействие САР, относят:
1) время регулирования tр, под которой понимают длительность переходного процесса;
2) время достижения регулируемой величиной y (t) первого максимума tмакс;
3) время нарастания переходной характеристики tн.
К показателям качества, характеризующим затухание процесса регулирования, относят:
1) декремент затухания (;
2) степень затухания ψ;
3) колебательность n;
4) период затухающих колебаний Т;
5) угловую частоту затухающих колебаний ω.
Согласно рисунку 7 без вычислений определяют максимальное значение регулируемой величины yмакс1 = 0,584; время достижения максимального значения tмакс = 2,66; установившееся значение регулируемой величины yуст = 0,444; время нарастания переходной характеристики от 0,1yуст до 0,9yуст tн = 1,05; период затухающих колебаний Т = 5,0. Найденные значения используют для расчета перерегулирования σ (динамической ошибки), статической ошибки ε((), частоты колебаний ω и других показателей качества регулирования.
Рисунок 7 — Переходная характеристика САР
Перерегулирование σ называют также динамической ошибкой и рассчитывают по формуле
Согласно формуле перерегулирование является относительным отклонением регулируемой величины от установившегося значения. Оно характеризует точность САУ в динамическом режиме.
Статическая ошибка ε(∞) характеризует точность САУ в установившемся режиме, т. е. по завершении переходного процесса, когда регулируемая величина принимает постоянное значение (y = const). Поэтому ошибку часто называют также остаточным отклонением и рассчитывают по формуле
Частоту затухающих колебаний вычисляют по формуле
.
Декремент затухания (аналогичен степени затухания ψ, т. к названные показатели рассчитывают по сходным между собой выражениям
;
Еще одним показателем затухания регулируемой величины служит логарифмический декремент затухания. Однако наиболее понятную оценку затухания обеспечивает степень затухания, возможные значения которой заключены в пределах 0 ≤ ψ ≤ 1. Незатухающие колебания характеризуются ψ = 0, т.к. yмакс1 = yмакс2. Напротив, отсутствие колебаний регулируемой величины в апериодическом переходном процессе характеризуется ψ = 1.
Без вычислений также определяют время регулирования tр и колебательность n. Для этого на переходной характеристике САР сначала необходимо построить зону допустимых отклонений согласно рисунку 8.
Рисунок 8 — Переходная характеристика САР
Обычно принимают допустимое значение Δ = ±5% от установившегося значения. Затем определяют момент времени tр, начиная с которого переходная характеристика h (t) не выходит за пределы зоны допустимых отклонений. Считают, что в этот момент времени tр переходный процесс завершается. На этом основании отрезок времени от 0 до tр называют временем регулирования. tр = 6,01.
Под колебательностью n понимают количество полных колебаний регулируемой величины относительно установившегося значения ууст за время регулирования tр. В рассматриваемом примере n = 1.
Таким образом, по каналу управляющего воздействия исследуемая САР характеризуется следующими показателями качества (таблица 2).
Таблица 2 — Показатели качества САР Δ, % yмакс1 yмакс2 yуст σ, % ε(∞) tр tмакс tн (ψ n T ω 2 0,58 0,46 0,44 31,5 0,56 8,36 2,66 1,05 9,33 0,893 1,5 5,0 1,26 5 0,58 0,46 0,44 31,5 0,56 6,01 2,66 1,05 9,33 0,893 1,0 5,0 1,26
Заключение
В результате выполнения работы показано, что заданная система является устойчивой. Доказательство проведено несколькими методами. Синтезирован коэффициент передачи системы, проведен синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик. Проведена проверка результатов синтеза.
Бесекерский В.А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — 4 изд., перераб. и доп. — СПб.: Профессия, 2004. — 752 с.
Теория автоматического управления / С. Е. Душин, Н. С. Зотов, Д. Х. Имаев и др.; Под ред. В. Б. Яковлева. — 2-е изд., перераб. — М.: Высш. шк., 2005. — 567с.
Ануфриев И.Е. MATLAB 7 / И. Е. Ануфриев, А. Б. Смирнов, Е. Н. Смирнова. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 1104 с.
Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Полное руководство пользователя. — М.: СОЛОН-Пресс. -2003. — 576 с.
Кетков Ю.Л. MATLAB 7: программирование, численные методы / Ю. Л. Кетков, А. Ю. Кетков, М. М. Шульц. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. -752 с.
Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. Учебный курс. — СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. — 512 с.
Медведев В.С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. — 287 с.
Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. — 832 с.
Ерофеев А. А. Теория автоматического управления. — 2 изд., перераб. и доп. — СПб.: Политехника, 2001. — 302 с.
Ким Д. П. Теория автоматического управления. В 2-х т. Т.
1. Линейные системы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 288 с.
Ким Д. П. Теория автоматического управления. В 2-х т. Т.
2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 с.
Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — СПб.: Питер, 2005. — 336 с.
Нестеров А.В., Нестеров С. В. Теория автоматического управления. — Краснодар: Изд-во Куб
ГТУ, 2006. — 191 с.
Теория автоматического управления. В 2-х частях. Ч.
1. / Л. С. Гольдфарб, А. В. Балтрушевич, Г. К. Круг и др.; Под ред. А. В. Нетушила. — М.: Высш. шк., 1967. — 424с.
Теория автоматического управления. В 2-х частях. Ч.
2. / Л. С. Гольдфарб, И. М. Александровский, А. В. Балтрушевич и др.; Под ред. А. В. Нетушила. — М.:Высш. шк., 1972. — 430с.
