Последовательность случайных функций X1(t), …, Xn (t) сходится в среднеквадратичном к X (t), если
M[(Xn (t) — X (t))²] = 0.
Тогда X (t) — называется пределом в среднеквадратичном и вводится обозначение: X (t) = l.i.m. Xn (t), n → ∞.
Случайная функция X (t) дифференцируема в точке t если существует случайная функция (t) такая, что
M[(X (t + ∆t) — X (t))/∆t — (t)]2 = 0,
или (t) = l.i.m. (X (t+ ∆t)-X (t))/∆t, ∆t→0.
Теорема 1. Пусть существует производная случайной функции X (t) в точке t. Тогда
m (t) = mx (t).
Доказательство. Имеем (t) l.i.m. (X (t+ ∆t)-X (t))/∆t, ∆t→∞.
Тогда M[(t)] = M[ (X (t+∆t)-X (t))/∆t] = M[(X (t+∆t)-- X (t))/∆t] = (mx (t+∆t) — mx (t)) /∆t = mx (t).
Здесь использовалось (без доказательства) следующее свойство математического ожидания:
M[ (X (t+∆t)] = M[X (t+∆t)].
Теорема 2. Пусть существует производная случайной функции X (t) в точках t = t1 и t = t2. Тогда
= .
Доказательство. По определению имеем =
= M[], где = (). Тогда по теореме 1 получим требуемое равенство
= M[] = .
Пример. Пусть = 2 t1 t2. Найдем .
По теореме 2 имеем = 2.
Теорема 3. Пусть существует производная случайной функции X (t) в точках t = t1 и t = t2. Тогда
=, = .
По определению взаимной корреляционной функции, с учетом теоремы 1 и определения корреляционной функции, имеем
= M[] = M[()] =
= M[] = .
Второе равенство в теореме 3 доказывается аналогично.
Интеграл от случайной функции и его характеристики Интегралом от случайной функция X (t) по отрезку [0, T] называют следующую величину:
=, где = T/N, ti = i, i = 1, …, N.
Здесь предполагается, что случайная функция X (t) имеет непрерывную траекторию на отрезке [0, T].
Теорема 1. Пусть Y (t) =, t > 0.
Тогда my (t) =, t > 0.
Доказательство. По определению интеграла
Y (t) =, где = T/N, si = i, i = 1, …, N.
Тогда, согласно свойствам математического ожидания и определению интеграла от неслучайной функции, имеем
M[Y (t)] = M[] = M[] =
= = = .
Теорема 2. Пусть Y (t) =, t > 0.
Тогда = dsds.
Доказательство. По определению корреляционной функции
= M[]. (4)
Найдем выражение для и подставим его в правую часть равенства (4). Из определения центрированной случайной функции (см. свойство 4 математического ожидания) и теоремы 1 имеем
= -M[] = - = .
Тогда = .
Полученное выражение подставим в правую часть равенства (4), с учетом теоремы 1 и определения корреляционной функции, приходим к соотношениям:
= M[] =
= M[]dsds = dsds.
Заключение
При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, точно предсказать течение которых заранее невозможно. Эта неопределенность (непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Приведем несколько примеров таких процессов.
Напряжение в электросети, номинально равное 220 В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг этого значения под влиянием таких случайных факторов, как количество и вид включенных в сеть приборов, моменты их включений и выключений.
Население города меняется в течение времени случайным (непредсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность, миграция.
Частица совершает движение в жидкости под влиянием соударений с молекулами жидкости (Броуновское движение).
Строго говоря, в природе не существует совершенно неслучайных (детерминированных) процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что ими можно пренебречь (например, процесс обращения планет вокруг Солнца).
1. Тимошенко Е. И. Теория вероятностей: учеб. пособие / Е. И. Тимошенко, Ю. Е.
Воскобойников. Новосибирск: НГАС, 1998. — 68 с.
2. Воскобойников Ю. Е. Математическая статистика: учеб. пособие / Ю. Е.
Воскобойников, Е. И. Тимошенко. — Новосибирск: Наука, 1996. — 99 с.
3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В. Е. Гмурман. — М. :
Высш. шк., 1979. — 400 с.
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман.
— М.: Высш. шк.,
1997. — 479 с.
5. Боровков А. А. Теория вероятностей / А. А.
Боровков. — М.: Наука, 1976. — 354 с.
6. Боровков А. А. Математическая статистика / А. А. Боровков.
— М.: Наука, 1984. — 472 с.
